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方程的根与函数的 零点


2.4.1

方程的根与函数的零点

学习目标 1.知道函数零点的定义,会求函数的 零点; 2.能说出函数零点的存在定理,会判 断函数零点的存在性及存在区间; 3.能利用数形结合的方法分析方程根 的个数或分布情况; 4.会根据一元二次方程根的分布情况 求参数范围.

重点难点 重点:明确函数零点的概念,会用零点 存在定理

判断零点的情况; 难点: 根据一元二次方程根的分布情况 求参数范围; 疑点:函数的零点与几何中的点的区 别.

1.函数零点的定义 (1)对于函数 f(x),把方程 f(x)=0 的实数根叫作函数 y=f(x)的零点; (2)求方程 f(x)=0 的实数根,就是确定函数 y=f(x)的零点; (3)函数 y=f(x)的零点,也就是函数 y=f(x)图象与 x 轴交点的横坐标. 预习交流 1 函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点与函数 y=f(x)的零点有何联系与区别? 提示:函数与 x 轴交点是一个点,用坐标(x0,0)表示.函数 y=f(x)的零点是一个数值, 是与 x 轴交点的横坐标,用 x0 表示.两者联系在于函数的零点即为函数与 x 轴交点的横坐标. 预习交流 2 所有的函数都有零点吗? 1 2 提示:并非所有的函数都有零点,例如 y= ,y=x +1 就没有零点.

x

2.函数零点的存在定理 设 f(x)的图象是一条连续不断的曲线,当 x 从 a 到 b 逐渐增加时,如果 f(x)连续变化而 且 f(a)·f(b)<0,则方程 f(x)=0 在(a,b)内至少有一根,即存在 x0∈(a,b),使 f(x0)= 0. 预习交流 3 若 y=f(x)的图象连续不断,且 f(x)在(a,b)内有零点,那么是否一定有 f(a)·f(b)< 0? 2 提示:不一定.例如函数 f(x)=x -1 在(-2,2)内有零点 1 和-1,但 f(-2)·f(2)> 0. 预习交流 4 若函数 y=f(x)的图象连续不断,且在[a,b]上是单调函数,那么当 f(a)·f(b)<0 时, f(x)的零点有何特点? 提示:f(x)的零点存在且唯一.

一、求函数的零点 求下列函数的零点: x+3 3 x (1)f(x)= ;(2)f(x)=x -4x;(3)f(x)=2 -3;(4)f(x)=1-log3x.

x

思路分析:求函数 f(x)的零点,只需解方程 f(x)=0,所得解便是零点.
-1-

x+3 x+3 =0,解得 x=-3,所以函数 f(x)= 的零点是-3. x x 3 (2)令 x -4x=0,即 x(x+2)(x-2)=0, 所以 x=0 或 x=-2 或 x=2. 所以函数 f(x)的零点是 0,-2,2. x (3)令 2 -3=0,解得 x=log23, x 所以函数 f(x)=2 -3 的零点是 log23. (4)令 1-log3x=0,解得 x=3, 所以函数 f(x)=1-log3x 的零点是 3.
解:(1)令 1.函数 f(x)=x +3x 的零点是__________. 答案:0 和-3 2 2 解析:令 x +3x=0,解得 x=0 或 x=-3,所以函数 f(x)=x +3x 的零点是 0 和-3. 2 2.若函数 f(x)=x +ax+b 的零点是 2 和-4,则 a=________,b=________. 答案:2 -8 2 解析:由题意,知 2 和-4 是方程 x +ax+b=0 的两根, ? ? ?2+(-4)=-a, ?a=2, ∴? 即? ?2×(-4)=b, ?b=-8. ? ? 1.函数零点的求法: (1)代数法:求方程 f(x)=0 的实数根; (2)几何法:对于不能用求根公式的方程 f(x)=0,可以将它与函数 y=f(x)的图象联系 起来,图象与 x 轴的交点的横坐标即为函数的零点. 2.已知函数的零点求参数值时,就是已知方程根的情况求参数值,对于二次函数,可借 助根与系数的关系求参数值. 二、判断函数零点的个数 判断下列函数零点的个数: 1 2 (1)f(x)=lg |x|;(2)f(x)=x - .
2

x

思路分析:判断函数零点的个数就是看方程 f(x)=0 有几个根,因此实际上就是求方程 f(x)=0 的根的个数,另外也可以画出函数的图象进行直观判断. 解:(1)方法一:令 f(x)=0,即 lg |x|=0,则|x|=1,x=±1,故函数有两个零点. 方法二:利用图象法,画出 f(x)的图象(如下图),由图象可知,f(x)的图象与 x 轴有两 个交点,因此函数有两个零点.

1 2 (2)方法一:令 f(x)=0,即 x - =0.

x

x -1 =0. x 3 2 ∵x≠0,∴x -1=0.∴(x-1)(x +x+1)=0. 2 ∴x=1 或 x +x+1=0. 2 2 ∵方程 x +x+1=0 的根的判别式 Δ =1 -4=-3<0, 2 ∴方程 x +x+1=0 无实数根. ∴函数 f(x)只有一个零点.

-2-

3

1 1 2 2 方法二:由 x - =0,得 x = .

x

x

令 h(x)=x (x≠0),g(x)= .

2

1

x

在同一坐标系中画出 h(x)和 g(x)的图象,可知两图象只有一个交点,故函数 f(x)=x - 1

2

x

只有一个零点.

1 函数 f(x)=2x- 的零点的个数是(

x

).

A.0 答案:C

B.1

C.2

D.不存在
2

1 2x -1 2 解析:令 f(x)=0 得 2x- =0,即 =0,解得 x=± ,所以函数有 2 个零点,选 x x 2 C. 1.对于二次函数,判断其零点个数可转化为判断相应一元二次方程根的 个数,从而根据判别式 Δ 进行判断. 2.对于非二次函数的函数,可采用两种方法判断零点个数:方法一是直接求出函数的零 点进行判断;方法二是利用图象法,若函数本身的图象容易画出,可直接画出图象,观察它 与 x 轴的交点个数; 若函数 f(x)的图象本身不易画出, 则可由 f(x)=0 得 g(x)=h(x), 而 g(x) 与 h(x)的图象较易画出,这时 g(x)与 h(x)两图象交点个数就是 f(x)零点的个数.(如活动与 探究 2 中(2)). 三、判断函数零点所在的区间 2 函数 y=f(x)=ln x- 的零点的大致区间是( ).

x

? 1? B.?1, ?和(3,4) ? e? C.(2,3) D.(e,+∞) 思路分析:先根据图象判断零点的个数,再利用零点的存在性定理判断零点所在的大致 区间. 答案:C
A.(1,2) 解析:先根据函数 g(x)=ln x 与 h(x)=

2 的图象只有一个交点,说明函数 y=f(x)=ln x- x

2 只有一个零点. x

-3-

∵f(1)= -2<0,f(2)=ln 2-1<0, ∴在(1,2)内函数无零点,A 不对.

2 >0,∴f(2)·f(3)<0. 3 2 ∴f(x)=ln x- 在(2,3)内有一个零点,选 C. x
又 f(3)=ln 3- 函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间是( ). A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 答案:B 1 1 解析:由于 f(-2)= -6<0,f(-1)= -3<0,f(0)=1>0,f(1)=5>0,f(2)=10 4 2 >0, 因此 f(-1)f(0)<0,故零点所在区间是(-1,0),选 B. 判断一个函数的零点所在的区间时,主要就是考察函数在这个区间的两个 端点的函数值的符号是否相反,若符号相反,则该区间内一定存在零点. 四、函数零点的应用 关于 x 的方程 mx +2(m+3)x+2m+14=0 有两实根,且一个大于 4,一个小于 4,求 m 的 取值范围. 思路分析:本题可先根据题意,将方程化归为函数,画出函数的图象,通过图形抽象概 括出有用信息,再转化为不等式组进行求解. 2 解:令 f(x)=mx +2(m+3)x+2m+14,画出草图如图所示,
2

x

依题意得 ? 或?

? ? m ? 0, ? ? f ? 4? ? 0

? ?m ? 0, ?m ? 0, 即? ? ? f ? 4 ? ? 0, ?26m ? 38 ? 0

或?

?m ? 0, 19 解得 ? <m<0. 13 ?26m ? 38 ? 0,
2

已知关于 x 的方程 x +(n+1)x+2n=0 有一个根小于-1,另一个根大于 1,求实数 n 的 取值范围. 2 解:设 f(x)=x +(n+1)x+2n,
-4-

由题意得,函数 f(x)的图象与 x 轴有两个交点,图象开口向上,且一个交点的横坐标小 于-1,另一个交点的横坐标大于 1,由此画出草图如图所示, 由图可得 ? 即?

? ? f ? ?1? ? 0, ? ? f ?1? ? 0,

? 2 ?1 ? ? n ? 1? ? 2n ? 0, 解得 n ? ? . 3 ? ?1 ? n ? 1 ? 2n ? 0,

所以实数 n 的取值范围为 ? ??, ?

? ?

2? ?. 3?

解决有关根的分布问题应注意以下几点: (1)首先画出符合题意的草图,转化为函数问题. (2)结合草图考虑四个方面: ①Δ 与 0 的大小;②对称轴与所给端点值的关系;③端点 的函数值与零的关系;④开口方向. (3)写出由题意得到的不等式. (4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意,这类问题充分体现了函数与方程的思想, 也体现了方程的根就是函数的零点.在写不等式时,要注意条件的完备性. 1.下列函数没有零点的是( ). A.f(x)=0 B.f(x)=2 1 2 C.f(x)=x -1 D.f(x)=x-

x

答案:B 2 2.函数 y=x -5x+6 的零点是( ). A.2,3 B.-2,-3 C.1,6 答案:A
1

D.-1,-6

?1?x 3.(2012 北京高考,文 5)函数 f(x)= x 2 -? ? 的零点个数为( ?2? A.0 B.1 C.2 D.3 答案:B
1 1

).

?1?x ?1?x 解析:函数 f(x)= x 2 -? ? 的零点个数即为方程 x 2 =? ? 的根的个数,因此可以利用数 2 ? ? ?2? ?1?x 形结合, 在同一坐标系内画出函数 y= x 和函数 y=? ? 的图象, 两图象的交点个数即为 f(x) ?2? ?1?x = x 2 -? ? 的零点个数,如图所示,其零点个数为 1. ?2? 4.函数 f(x)=log2x+2x-1 的零点必落在区间( ?1 1? ?1 1? A.? , ? B.? , ? ?8 4? ?4 2? ?1 ? C.? ,1? D.(1,2) ?2 ? 答案:C
1 1 2

).

-5-

1 1 ?1? ?1? ?1? 解析:f? ?=-3+ -1<0,f? ?=-2+ -1<0,f? ?=-1+1-1<0,f(1)=0+2- 4 2 ?8? ?4? ?2? 1 1 ? ? ? ? 1>0,f? ?·f(1)<0,故 f(x)零点所在区间是? ,1?,选 C. ?2? ?2 ? 2 5.已知方程 x +(a-1)x+(a-2)=0 的一个根比 1 大,另一个根比 1 小,则有( ). A.a<1 B.a≤1 C.a>1 D.a≥1 答案:A 解析:方程的一个根比 1 大,另一个根比 1 小,亦即函数的零点一个比 1 大,另一个比 1 小,于是可画出二次函数的图象如图所示.

由题意,设 f(x)=x +(a-1)x+(a-2),则 f(1)<0,即 1+(a-1)+(a-2)<0,∴a<1.

2

-6-


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