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2014年各省高考理科数学试题精编5.三角函数与正余弦定理


2014 年全国高考理科数学试题选编
五.三角函数及解三角形试题 一.选择题和填空题
1 全国课标Ⅰ6.如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上 的定点, P 是圆上的动点, 角 x 的始边为射线 OA, 终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂 足为 M, 将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函 数 f(x),则 y=f(x)在[0,π]的

图像大致为( ).

A.

π B.π C.2π D.4π 2

7.(安徽.6)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sin x.当 0≤x<π 时, f(x)=0,则 f ?

? 23π ? ). ? =( ? 6 ? 1 1 3 A. B. C.0 D. ? 2 2 2
).

8.(浙江 4)为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图象, 可以将函数 y ? 2 cos 3x 的图象( A.向右平移

π π 个单位 B.向左平移 个单位 4 4 π π C. 向右平移 个单位 D. 向左平移 个单位 12 12
9.(江西 4)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边 分别为 a,b,c,若 c2=(a-b)2+6, C ? 则△ABC 的面积是( ). C.

π , 3

? π? ? π? 2.全国课标Ⅰ.8..设 ? ? ? 0, ? , ? ? ? 0, ? , ? 2? ? 2? 1 ? sin? 且 tan? ? ,则( ). cos? π π A. 3? ? ?= B. 3? ? ? ? 2 2 π π C. 2? ? ? ? D. 2? ? ? ? 2 2 1 3.(课标全国Ⅱ4)钝角三角形 ABC 的面积是 , 2 AB=1, BC ? 2 ,则 AC=( ). A.5 B. 5 C.2 D.1 πx 4.(2014 课标全国Ⅱ .12) 设函数 f (x ) ? 3sin . m 若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x02 +[f (x0 )]2 ? m2 ,
则 m 的取值范围是( ). A.(-∞,-6)∪(6,+∞) B.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 5. (大纲全国.3)设 a=sin 33° ,b=cos 55° , c=tan 35° ,则( ). A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b

3 3 D. 3 3 2 π? ? 10.( 辽宁 9)将函数 y ? 3sin ? 2 x ? ? 的图象向右 3? ? π 平移 个单位长度, 所得图象对应的函数( ). 2 ? π 7π ? A.在区间 ? , ? 上单调递减 ?12 12 ? ? π 7π ? B.在区间 ? , ? 上单调递增 ?12 12 ? ? π π? C.在区间 ? ? , ? 上单调递减 ? 6 3? ? π π? D.在区间 ? ? , ? 上单调递增 ? 6 3?
A.3 B. 11.(四川 3)为了得到函数 y=sin(2x+1)的图象, 只需把函数 y=sin 2x 的图象上所有的点( ).

9 3 2

1 个单位长度 2 1 B.向右平行移动 个单位长度 2
A.向左平行移动 C.向左平行移动 1 个单位长度 D.向右平行移动 1 个单位长度 12.(重庆 10)已知△ABC 的内角 A,B,C 满足 sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+

π? ? 6.(陕西 2)函数 f ? x ?=cos ? 2 x ? ? 的最小正 6? ?
周期是( ).

1 , 2

面积 S 满足 1≤S≤2,记 a,b,c 分别为 A,B,C 所对的边,则下列不等式一定成 立的是( ).
1 数学教研组

虢镇中学

A.bc(b+c)>8 B.ab(a+b)> 16 2 C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24 13.全国课标Ⅰ.16.已知 a,b,c 分别为△ABC 三 个内角 A,B,C 的对边,a=2, 且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C, 则△ABC 面积的最大值为__________. 14.(全国课标Ⅱ.14)函数 f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最 大值为__________. 15.(大纲全国.16)若函数 f(x)=cos 2x+asin x 在区间 ?

分别为 a,b,c. (1)若 a,b,c 成等差数列, 证明:sin A+sin C=2sin(A+C); (2)若 a,b,c 成等比数列,求 cos B 的最小值. 3. (北京 15 满分 13 分)如图, 在△ABC 中, ?B ?

π ,AB=8, 3

点 D 在 BC 边上,且 CD=2,

cos?ADC ?

?π π? , ? 是减函数,则 a 的取值范围是__. ?6 2?

1 . 7

16.(北京 14)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ

(1)求 sin∠BAD; (2)求 BD,AC 的长. 4. (天津 15 满分 13 分)已知函数

?π π? ? ? ?π? ? 2π ? ?π? 具有单调性,且 f ? ? ? f ? ?? f ? ?, ?2? ? 3 ? ?6?
则 f(x)的最小正周期为__________. 17.(安徽.11)若将函数 f ? x ?=sin ? 2 x ?

是常数,A>0,ω>0).若 f(x)在区间 ? , ? 上 6 2

π? 3 ? ,x∈R. f ? x ? =cosx ? sin ? x ? ? ? 3cos2 x+ 3? 4 ?
(1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在闭区间 ? ?

? π π? , 上的最大值和最小值. ? 4 4? ?

? ?

π? ? 的图 4?

象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称, 则 φ 的最小正值是__________. 18.(天津.12)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的 边分别是 a, b, c.已知 b ? c ?

5. (安徽 16 满分 12 分)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1, A=2B. (1)求 a 值;(2)求 sin(A ?

π ) 的值. 4
1 . 2

1 a ,2sin B=3sin C, 4

6. (福建 16 满分 13 分)已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)- (1)若 0 ? ? ?

则 cos A 的值为__________. 19. ( 福 建 .12) 在 △ ABC 中 , A = 60° , AC = 4 , BC ? 2 3 ,则△ABC 的面积等于_____. 20. (广东 12)在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的 边分别为 a,b,c,已知 bcos C+ccos B=2b, 则

π 2 ,且 sin? ? ,求 f(α)的值; 2 2

a =________. b

(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 7. ( 湖北 .17 满分 11 分 )某实验室一天的温度 (单 位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数关 系:f ? t ? =10 ? 3cos ?

21.(四川 13)如图, 从气球 A 上测得正前方的河流的 两岸 B,C 的俯角分别为 67° ,30° ,此时气球的 高 是 46 m , 则 河 流 的 宽 度 BC 约 等 于 __________m . ( 用四舍五入法将结果精确到个 位.参考数据:sin 67° ≈0.92,cos 67° ≈0.39,sin 37° ≈0.60,cos 37° ≈0.80, 3 ≈1.73)

π π t ? sin t , t∈[0,24). 12 12

(1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于 11 ℃,则在哪段时 间实验室需要降温? 8. (湖南 18 满分 12 分)如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2, AC ? 7 .

(1)求 cos∠CAD 的值;

二.解答题
1. (大纲全国 117 满分 10 分)△ABC 的内角 A,B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 3acos C=2ccos A,

(2)若 cos?BAD ? ?

21 7 , sin?CBA ? , 6 14

1 tan A ? ,求 B. 3
2. (陕西 16 满分)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边
虢镇中学 2

求 BC 的长. 9. (浙江 18 满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a≠b, c ? 3 ,
数学教研组

cos2 A ? cos2 B= 3 sin A cos A ? 3 sin B cos B . (1)求角 C 的大小;
(2)若 sin A ?

图象关于直线 x ?

π 对称, 且图象上相邻两个最 3

4 ,求△ABC 的面积. 5

高点的距离为 π. (1)求 ω 和 φ 的值;

10. (广东.16 满分 12 分)已知函数

π? ? f ( x) ? A sin ? x ? ? ,x∈R,且 4? ?
(1)求 A 的值;

? 5π ? 3 f ? ?? . ? 12 ? 2 π? 2?

?? 3?π 2π ? ,求 (2)若 f ? ? ?? ? ?? ? ? 2 4 6 3 ? ? ? ?

(2)若 f ?? ? +f (?? )= , ? ? ? 0, ? , 求f?

3 2

? ?

3π ? ? cos ? ? ? ? 的值. 2 ? ?

? 3π ? ?? ? . ? 4 ?

11. (江西 16 满分 12 分)已知函数 f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),

? π π? , ?. ? 2 2? π (1)当 a ? 2 , ? ? 时,求 f(x)在区间[0,π] 4
其中 a∈R, ? ? ? ? 上的最大值与最小值; (2)若 f ?

?π? ? ? 0 ,f(π)=1,求 a,θ 的值. ?2?

.

12. (辽宁 17 满分 12 分)在△ABC 中,内角 A,B, C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 且 a > c. 已 知

1 BA? BC? 2 , cosB ? ,b=3.求: 3
(1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值. 13. (山东 16 满分 12 分)已知向量 a=(m,cos 2x), b=(sin 2x,n),函数 f(x)=a· b,且 y=f(x)的 图象过点 ?

?π ? ? 2π ? , 3 ? 和点 ? , ?2 ? . ? 12 ? ? 3 ?

(1)求 m,n 的值; (2)将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位 后得到函数 y=g(x)的图象,若 y=g(x)图象上各 最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1, 求 y=g(x) 的单调递增区间. 14. (四川 16 满分 12 分)已知函数

π? ? f ? x ?=sin ? 3x ? ? . 4? ?
(1)求 f(x)的单调递增区间; (2)若 α 是第二象限角,

π? ?? ? 4 ? f ? ? ? cos ? ? ? ? cos 2? , 4? ?3? 5 ?
求 cos α-sin α 的值. 15. (重庆 17 满分 13 分)已知函数

1 π? ? f(x) = 3 sin(? x+? ) ? ? ? 0, ? ? ? ? ? 的 2 2? ?
虢镇中学 3

五.三角函数及解三角形试题解析 一.选择题和填空题
1 全国课标Ⅰ6.如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上
数学教研组

的定点, P 是圆上的动点, 角 x 的始边为射线 OA, 终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂 足为 M, 将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函 数 f(x),则 y=f(x)在[0,π]的图像大致为( ).



1 1 2 ? ?1? 2sin B ,解得 sin B ? . 2 2 2

∴B=45° 或 B=135° . 当 B=45° 时,AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos B = 1 +( 2) ? 2 ?1? 2 ?
2 2

此时 AC2+AB2=BC2,△ABC 为直角三角形, 不符合题意; 当 B=135° 时,AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos B = 1 +( 2) ? 2 ?1? 2 ? (?
2 2

2 = 1. 2

2 )=5 , 2
3sin

解得 AC ? 5 .符合题意.故选 B. 4.(2014 课标全国Ⅱ .12) 设函数 f (x ) ? 解析:由题意|OM|=|cos x|,f(x)=|OM||sin x|

πx . m 若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x02 +[f (x0 )]2 ? m2 ,

1 sin 2x ,由此可知 C 正确. 2 ? π? ? π? 2.全国课标Ⅰ.8..设 ? ? ? 0, ? , ? ? ? 0, ? , ? 2? ? 2? 1 ? sin? 且 tan? ? ,则( ). cos? π π A. 3? ? ?= B. 3? ? ? ? 2 2 π π C. 2? ? ? ? D. 2? ? ? ? 2 2 sin? 1 ? sin? ? 解析:由已知,得 , cos? cos?
=|sin xcos x|= ∴sin αcos β=cos α+cos αsin β. ∴sin αcos β-cos αsin β=cos α. ∴sin(α-β)=cos α,

则 m 的取值范围是( ). A.(-∞,-6)∪(6,+∞) B.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析:∵x0 是 f(x)的极值点,

πx π ? 3 ? cos 0 ? 0 , m m π π 得 x0 ? kπ ? ,k∈Z, m 2 1 即 x0 ? mk ? m ,k∈Z. 2
∴f′(x0)=0,即 ∴x02+[f(x0)]2<m2 可转化为
2

1 ? ? π? 1 ?? ? 2 ? mk ? m ? ? ? 3sin ? mk ? m ? ? ? m , 2 ? ? m? 2 ?? ?
k∈Z, 即?k ? 即?k ?

2

?π ? ∴sin(α-β)= sin ? ? ? ? . ?2 ? ? π? ? π? ∵ ? ? ? 0, ? , ? ? ? 0, ? , ? 2? ? 2? π π π π ∴ ? ? ?- ? ? , 0 ? ? ? ? , 2 2 2 2 π π ∴ ? ? ? ? ? ? ,∴ 2? ? ? ? .故选 C. 2 2 1 3.(课标全国Ⅱ4)钝角三角形 ABC 的面积是 , 2 AB=1, BC ? 2 ,则 AC=( ). A.5 B. 5 C.2 D.1 1 解析:由题意知 S△ABC= AB· BC· sin B, 2

? ?
? ?

1? 2 2 ? m +3 ? m ,k∈Z, 2?
1? 3 ? ? 1 ? 2 ,k∈Z. 2? m
2
2

2

要使原问题成立,只需存在 k∈Z,

3 ? 1? 使 1 ? 2 ? ? k ? ? 成立即可. m ? 2? 2 1 1? ? 又 ? k ? ? 2 的最小值为 , 4 2? ? 3 1 ∴ 1 ? 2 ? ,解得 m<-2 或 m>2.故选 C. m 4
5. (大纲全国.3)设 a=sin 33° ,b=cos 55° , c=tan 35° ,则( ). A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b
4 数学教研组

虢镇中学

解析:∵a=sin 33° ,b=cos 55° =sin 35° ,

sin 35? c ? tan 35? ? , cos 35? sin 35? ? sin 35? ? sin 33? . ∴ cos 35?
∴c>b>a,选 C.

分别为 a,b,c,若 c2=(a-b)2+6, C ? 则△ABC 的面积是( A.3 B. ). C.

π , 3

9 3 2

3 3 2

D. 3 3

π? ? 6.(陕西 2)函数 f ? x ?=cos ? 2 x ? ? 的最小正 6? ?
周期是( A. ).

解析:在△ABC 中,由已知条件及余弦定理可 得 c2=(a-b)2+6=a2+b2- 2abcos 整理得 ab=6, 再由面积公式 S ?

π , 3

1 absin C ,得 2 1 π 3 S?ABC ? ? 6 ? sin ? 3 .故选 C. 2 3 2 7.(安徽.6)设函数 f(x)(x∈R)满足 π? ? 10.( 辽宁 9)将函数 y ? 3sin ? 2 x ? ? 的图象向右 f(x+π)=f(x)+sin x.当 0≤x<π 时, 3? ? ? 23π ? π f(x)=0,则 f ? ). ? =( 平移 个单位长度, 所得图象对应的函数( ). ? 6 ? 2 1 1 3 ? π 7π ? A. B. C.0 D. ? A.在区间 ? , ? 上单调递减 2 2 2 ?12 12 ? 解析:由题意得 ? π 7π ? , 上单调递增 17π 11π B.在区间 17 π ? 23π ? ? 17 π ? ? 11π ? ? f? ?f? +sin ?12 12 ? ? ?? f ? ? ? sin ? ? sin 6 6 6 ? 6 ? ? 6 ? ? 6 ? ? π π? C.在区间 ? ? , ? 上单调递减 7π ? 17π 11π 17π ? 11π ? ? f? +sin ? 6 3? ? ? sin ? ? sin 6 ? 6 6 6 ? 6 ? ? π π? D.在区间 ? ? , ? 上单调递增 5π 11π 17 π ? 5π ? =f? +sin ? 6 3? ? +sin +sin 6 6 6 ? 6 ? 解析:设平移后的函数为 f(x),则 1 1 1 1 ? ? π ? π? =0? ? ? ? . f ? x ? ? 3sin ?2 ? x ? ? ? ? 2 2 2 2 2 ? 3? ? ? 8.(浙江 4)为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图象, π π? ? ? ? 可以将函数 y ? 2 cos 3x 的图象( ). ? 3sin ? 2 x ? ? π ? ? ?3sin ? 2 x ? ? .令 3 3? ? ? ? π A.向右平移 个单位 π π π 4 2kπ ? ? 2 x ? ? 2kπ ? ,k∈Z,解得 f(x) 2 3 2 π B.向左平移 个单位 5 π π? ? 4 的递减区间为 ? kπ ? ,kπ+ ? ,k∈Z, 12 12 ? ? π C.向右平移 个单位 π 7π ? ? 12 同理得递增区间为 ? kπ ? ,kπ+ ,k∈Z. π 12 12 ? ? ? D.向左平移 个单位 从而可判断得 B 正确. 12 11. 3) y=sin(2x+1)的图象, π? ? (四川 π 为了得到函数 ? ? ?? 解析: y ? sin 3x ? cos 3x ? 2 cos ? 3x ? ? ? 2 cos ? 3 x ? 只需把函数 ). ? ? ? y=sin 2x 的图象上所有的点( 4? ? ? ? 12 ? ? 1 A.向左平行移动 个单位长度 π? ? ? π ?? ? 2 = 2 cos ?3 ? x ? ? ? cos ? 3x ? ? ? 4? ? ? ? 12 ?? 1 B.向右平行移动 个单位长度 π 2 因此需将函数 y ? 2 cos 3x 的图象向右平移 12 C.向左平行移动 1 个单位长度
个单位.故选 C. 9.(江西 4)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边
虢镇中学 5

π B.π C.2π D.4π 2 2π ? π. 解析:f(x)的最小正周期 T ? 2

D.向右平行移动 1 个单位长度
数学教研组

1? ? 解析:∵y=sin(2x+1)= sin 2 ? x ? ? , 2? ?
∴需要把 y=sin 2x 图象上所有的点向左平移 个单位长度即得到 y=sin(2x+1)的图象. 12.(重庆 10)已知△ABC 的内角 A,B,C 满足 sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+

∵a=2,∴a2-b2=c2-bc,即 b2+c2-a2=bc.

1 2

由余弦定理,得 cosA ? ∴ sinA ?

b2 ? c2 ? a 2 1 ? . 2bc 2

1 , 2

由 b2+c2-bc=4,得 b2+c2=4+bc. ∵b2+c2≥2bc,即 4+bc≥2bc,∴bc≤4.

3 . 2

面积 S 满足 1≤S≤2,记 a,b,c 分别为 A,B,C 所对的边,则下列不等式一定成 立的是( ). A.bc(b+c)>8 B.ab(a+b)> 16 2 C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24 解析:由 sin 2A+sin(A-B+C) =sin(C-A-B)+

1 bc ? sinA ? 3 , 2 即(S△ABC)max= 3 .
∴ S?ABC ? 14.(全国课标Ⅱ.14)函数 f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最 大值为__________. 解析:∵f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ) =sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ) =sin(x+φ)cos φ+cos(x+φ)sin φ -2sin φcos(x+φ) =sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin φ =sin[(x+φ)-φ]=sin x. ∴f(x)max=1. 15.(大纲全国.16)若函数 f(x)=cos 2x+asin x 在区间 ?

1 2

得,sin 2A+sin[A-(B-C)]+sin[A+(B-C)] =

1 , 2

1 . 2 1 所以 2sin A[cos A+cos(B-C)]= , 2
所以 sin 2A+2sin Acos(B-C)=

?π π? , ? 是减函数,则 a 的取值范围是__. ?6 2?

1 所以 2sin A[cos(π-(B+C))+cos(B-C)]= , 2 1 所以 2sin A[-cos(B+C)+cos(B-C)]= , 2 1 即得 sin Asin Bsin C= . 8 1 根据三角形面积公式 S= absin C,① 2 1 1 S= acsin B,② S= bcsin A,③ 2 2
因为 1≤S≤2,所以 1≤S3≤8. 将①②③式相乘得 1≤S3=

解析:f(x)=cos 2x+asin x =1-2sin2x+asin x.

?π π? ?1 ? , ? , ∴ t ? ? ,1? , ?6 2? ?2 ? 1 ∴g(t)=1-2t2+at=-2t2+at+1 ? t ? 1 , 2 a 1 ? ,∴a≤2, 由题意知 ? 2 ? ??2? 2
令 t=sin x,∵x∈ ? ∴a 的取值范围为(-∞,2]. 16.(北京 14)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是 常数,A>0,ω>0).若 f(x)在区间 ? , ? 上 6 2

1 2 22 a b c sin Asin Bsin C≤8, 8

即 64≤a2b2c2≤512, 所以 8≤abc≤ 16 2 ,故排除 C,D 选项, 而根据三角形两边之和大于第三边, 故 b+c>a, 得 bc(b+c)>8 一定成立,而 a+b>c,ab(a+b) 也大于 8, 而不一定大于 16 2 ,故选 A. 13.全国课标Ⅰ.16.已知 a,b,c 分别为△ABC 三 个内角 A,B,C 的对边,a=2, 且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C, 则△ABC 面积的最大值为__________. 解析:由正弦定理,可得(2+b)(a-b)=(c-b)· c.
虢镇中学 6

?π π? ? ? ?π? ? 2π ? ?π? 具有单调性,且 f ? ? ? f ? ?? f ? ?, ?2? ? 3 ? ?6?
则 f(x)的最小正周期为__________.

解析:由 f(x)在区间 ? , ? 上具有单调性, 6 2

?π π? ? ? ?π? ?π? ?π ? 且 f ? ? ? ? f ? ? 知,f(x)有对称中心 ? , 0 ? , ?2? ?6? ?3 ? ?π? ?2 ? 由 f ? ? ? f ? π ? 知 f(x)有对称轴 ?2? ?3 ? 1?π 2 ? 7 x ? ? ? π ? ? π .记 f(x)的最小正周期 2 ? 2 3 ? 12
数学教研组

π π 2 ? ,即 T ? π . 2 6 3 7 π π T π ? ? ? ,解得 T=π. 故 12 3 4 4 π? ? 17.(安徽.11)若将函数 f ? x ?=sin ? 2 x ? ? 的图 4? ?
为 T,则 T ?

1 2



a =________. b

解析:因为 bcos C+ccos B=2b,所以由正弦定 理可得 sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B, 即 sin(B+C)=2sin B, 所以 sin(π-A)=2sin B,即 sin A=2sin B. 于是 a=2b,即

象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称, 则 φ 的最小正值是__________.

a ?2. b

π? ? 解析:把函数 f ? x ?=sin ? 2 x ? ? 的图象向右平 4? ?
移 φ 个单位,得到

π? π ? f ? x ?=sin ? 2( x ? ? ) ? ? ? sin(2 x ? 2? ? ) 4? 4 ?
的图象.

21.(四川 13)如图, 从气球 A 上测得正前方的河流的 两岸 B,C 的俯角分别为 67° ,30° ,此时气球的 高 是 46 m , 则 河 流 的 宽 度 BC 约 等 于 __________m . ( 用四舍五入法将结果精确到个 位.参考数据:sin 67° ≈0.92,cos 67° ≈0.39,sin 37° ≈0.60,cos 37° ≈0.80, 3 ≈1.73)

π? ? 的图象关于 y 轴 4? π π 对称,所以 ?2? ? ? kπ ? ,k∈Z. 4 2 kπ π ? ,k∈Z. 即? ? ? 2 8 3π 当 k=-1 时,φ 的最小正值是 . 8
由 f ? x ?=sin ? 2 x ? 2? ? 18.(天津.12)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的 边分别是 a, b, c.已知 b ? c ?

? ?

解析:如图所示,过 A 作 AD⊥CB 且交 CB 的延 长线于 D.

1 a ,2sin B=3sin C, 4

则 cos A 的值为__________. 解析: 由 2sin B=3sin C, 结合正弦定理得 2b=3c,

在 Rt△ADC 中,由 AD=46 m,∠ACB=30° 得 AC=92 m. 在△ABC 中,∠BAC=67° -30° =37° , ∠ABC=180° -67° =113° ,AC=92 m,

1 3 a ,所以 b ? c ,a=2c. 4 2 2 b ? c2 ? a2 由余弦定理得 cos A= 2bc 2 ?3 ? 2 2 ? c ? ? c ? ? 2c ? 1 ?2 ? = =? . 3 4 2? c?c 2
又b ? c ? 19. ( 福 建 .12) 在 △ ABC 中 , A = 60° , AC = 4 ,

AC BC ? , sin?ABC sin?BAC 92 BC 92 BC ? ? 得 ,即 , sin113? sin37? sin67? sin37? 92sin37? ? 60m . 解得 BC ? sin67? 二.解答题
由正弦定理 1. (大纲全国 117 满分 10 分)△ABC 的内角 A,B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 3acos C=2ccos A,

BC ? 2 3 ,则△ABC 的面积等于_____.
解析:由题意及余弦定理得

tan A ?

1 ,求 B. 3

b2 ? c 2 ? a 2 c 2 ? 16 ? 12 1 cos A ? ? ? , 2bc 2? 4? c 2
解得 c=2.

分析:通过 3acos C=2ccos A,借助于正弦定理 把 a,c 转化成关于 A,C 的三角函数值,由已知

tan A ?

1 1 bcsin A= ×4×2×sin 60° =2 3. 2 2 故答案为 2 3 .
所以 S= 20. (广东 12)在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的 边分别为 a,b,c,已知 bcos C+ccos B=2b,
虢镇中学 7

1 ,从而求出 tan C,再利用公式 3

tan B=-tan(A+C)求出 B. 解:由题设和正弦定理得 3sin Acos C=2sin Ccos A. 故 3tan Acos C=2sin C, 因为 tan A ?

1 ,所以 cos C=2sin C, 3
数学教研组

tan C ?

1 . 2

所以 sin?ADC =

所以 tan B=tan[180° -(A+C)]

4 3 . 7

tan A ? tan C =-tan(A+C)= =-1, tan A tan C ? 1
即 B=135° . 2. (陕西 16 满分)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边 分别为 a,b,c. (1)若 a,b,c 成等差数列,证明:sin A+sin C= 2sin(A+C); (2)若 a,b,c 成等比数列,求 cos B 的最小值. 分析:在(1)问中结合等差数列性质,得出 a,b, c 之间关系,再利用正弦定理转化为角的关系, 进而结合三角形内角和为 π,利用诱导公式将角 B 转化为用角 A 和 C 来表示,从而达到证明目标 等式. 在(2)问利用等比数列基本性质, 得出 a, b, c 之间关系, 再结合余弦定理, 表达出 cos B 的式 子,依据基本不等式得出其范围,注意等号成立 的条件. 解:(1)∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b. 由正弦定理得 sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), ∴sin A+sin C=2sin(A+C). (2)∵a,b,c 成等比数列,∴b2=ac. 由余弦定理得
a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 , cos B ? ? ? ? 2ac 2ac 2ac 2

所以 sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B =

4 3 1 1 3 3 3 . ? ? ? ? 7 2 7 2 14
8?

(2)在△ABD 中,由正弦定理得

3 3 AB ? sin?BAD 14 ? 3 . BD= ? sin?ADB 4 3 7
在△ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos B =82+52-2×8×5×

1 =49. 2

所以 AC=7. 4. (天津 15 满分 13 分)已知函数

π? 3 ? ,x∈R. f ? x ? =cosx ? sin ? x ? ? ? 3cos2 x+ 3? 4 ?
(1)求 f(x)的最小正周期; (2) 求 f(x) 在闭区间 ? ?

? π π? , 上的最大值和最小 ? 4 4? ?

当且仅当 a=c 时等号成立. ∴cos B 的最小值为

1 . 2

值. 分析: (1)先利用两角和与差的正弦公式及二倍角 的正弦、余弦公式,化简函数解析式为一个角的 三角函数的形式,再求周期. (2) 可利用函数 f(x) 在区间 ? ?

3. (北京 15 满分 13 分)如图,在△ABC 中,

? π π? , 上的单调性 ? 4 4? ?

?B ?

π ,AB=8,点 D 在 BC 边上,且 CD=2, 3 1 cos?ADC ? . 7

求最值. 解:(1)由已知,有 ?1 ? 3 3 2 f ? x ? =cosx ? ? ? 2 sinx ? 2 cosx ? ? ? 3cos x+ 4 ? ?

(1)求 sin∠BAD; (2)求 BD,AC 的长. 分析:(1)先利用三角形中角之间的关系可得 ∠BAD=∠ADC-∠B,然后即可利用两角差的 正弦公式求解;(2)在△ABD 中,根据正弦定理, 结合(1)即可求得 BD,然后在△ABC 中,直接利 用余弦定理求 AC 即可. 解:(1)在△ADC 中,因为 cos?ADC ?

1 , 7

1 3 3 sinx ? cosx- cos2 x ? 2 2 4 1 3 3 = sin 2x ? (1+cos 2x)+ 4 4 4 1 3 cos 2x = ? sin 2x ? 4 4 1 π? ? = sin ? 2 x ? ? . 2 ? 3? 2π ? π. 所以,f(x)的最小正周期 T = 2 π? ? π (2)因为 f(x)在区间 ? ? , ? ? 上是减函数, ? 4 12 ? ? π π? 在区间 ? ? , ? 上是增函数, ? 12 4 ?

8 数学教研组

虢镇中学

1 1 ? π? ? π? f ?? ? ? ? , f ?? ? ? ? , 4 2 ? 4? ? 12 ? ?π? 1 f ? ?? , ?4? 4 ? π π? 所以,函数 f(x)在闭区间 ? ? , ? 上的最大 ? 4 4? 1 1 值为 ,最小值为 ? . 4 2
5. (安徽 16 满分 12 分)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A =2B. (1)求 a 值; (2)求 sin(A ?

得出结果. 在第(2)问中,结合式子特点,利用二倍角公式、 两角和与差的三角函数公式以及辅助角公式,得 出最终的目标——y=Asin(ωx+φ)+B 形式,运 用T ?



?

得出周期,再结合三角函数的图象与

性质等基础知识求得单调区间,此时要注意复合 函数的单调性. 另外,也可先化简再分别求解. 解法一:(1)因为 0 ? ? ?

π 2 , sin? ? ,所以 2 2

cos? ?
所以 f

π ) 的值. 4

2 . 2

分析:(1)通过观察给出的条件及求解的问题,先 将角的关系化为边的关系. 首先由 A=2B, 得 sin A=sin 2B,再由倍角公式将 2B 的三角函数化为 B 的三角函数,再由正弦定理、余弦定理将角的 关系化为边的关系进行求解. (2)由(1)知三边都已确定,先由余弦定理求出 cos A 的值, 再利用平方关系求出 sin A 的值, 最后利 用两角和的正弦公式求解. 解:(1)因为 A=2B, 所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos B.

a 2 ? c2 ? b2 由正弦定理、余弦定理得 a ? 2b ? . 2ac 因为 b=3,c=1,所以 a2=12, a ? 2 3 .
(2)由余弦定理

b 2 ? c 2 ? a 2 9 ? 1 ? 12 1 ? ?? . 得 cos A ? 2bc 6 3
由于 0<A<π,
2

2 2 2 1 1 ( ? )? ? . 2 2 2 2 2 1 (2)因为 f(x)=sin xcos x+cos2x- 2 1 1 ? cos2 x 1 ? = sin 2x ? 2 2 2 1 1 = sin 2x ? cos2 x 2 2 2 π = sin (2x ? ) , 2 4 2π ? π. 所以 T ? 2 π π π 由 2kπ ? ? 2 x ? ? 2kπ ? ,k∈Z, 2 4 2 3π π ? x ? kπ ? ,k∈Z. 得 kπ ? 8 8

?? ? ?

所以 f(x)的单调递增区间为

π c o? s 4

3π π? ? 1 2 2 ,k∈Z. k π ? , k π ? ? 所以 sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? . 8 8? ? ? 9 3 1 x)=sin π π π 2 2 2 解法二: 1 f(2 4 ?xcos 2 x+cos2x- ? ? (? ) ? ? 故 sin(A ? ) ? sin A cos ? cos A sin ? 2 4 4 4 3 2 3 2 6 1 1 ? cos2 x 1 ? = sin 2x ? 2 2 2 π 2 2 2 1 2 ?4 2 Ac o s ? sin ? ? ? ? ( )? . 1 1 4 3 2 3 2 6 = sin 2x ? cos2 x 2 2 6. (福建 16 满分 13 分)已知函数 2 π? ? 1 = sin ? 2 x ? ? . f(x)=cos x(sin x+cos x)- . 2 4? ? 2
(1)若 0 ? ? ?

π 2 ,且 sin? ? ,求 f(α)的值; 2 2

(1)因为 0 ? ? ? 所以 ? ?

π 2 , sin? ? , 2 2

(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 分析:首先结合已知角的范围,利用同角三角函 数的基本关系式及已知的正弦值,求出余弦值, 注意符号的判断,然后代入已知的函数关系式,
虢镇中学 9

π , 4
2 4 2 4 2

从而 f ?? ? ? 2 sin(2? ? π ) ? 2 sin 3π ? 1 .
数学教研组

2π ? π. 2 π π π 由 2kπ ? ? 2 x ? ? 2kπ ? ,k∈Z, 2 4 2 3π π ? x ? kπ ? ,k∈Z. 得 kπ ? 8 8
(2) T ? 所以 f(x)的单调递增区间 为 ? kπ ?

π? ?π t + ? ? 11 , ? 12 3 ? π? 1 ?π 即 sin ? t + ? ? ? . 2 ? 12 3 ? 7π π π 11π ? t? ? 又 0≤t<24,因此 , 6 12 3 6
故有 10-2sin ? 即 10<t<18. 在 10 时至 18 时实验室需要降温. 8. (湖南 18 满分 12 分)如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2, AC ? 7 .

? ?

3π π? , kπ ? ? ,k∈Z. 8 8?

7. ( 湖北 .17 满分 11 分 )某实验室一天的温度 (单 位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数关 系:f ? t ? =10 ? 3cos ?

π π t ? sin t , t∈[0,24). 12 12
(1)求 cos∠CAD 的值; (2)若 cos?BAD ? ?

(1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于 11 ℃,则在哪段时 间实验室需要降温? 分析:由函数 f(t)为 acos t+bsin t 型,故可利用 辅 助 角 公 式 对 f(t) 化 简 为 f(t) = 10 -

21 7 , sin?CBA ? , 6 14

π π π? ? π 2sin ? t ? ? , 再根据 t∈[0,24), 把 t? 的 1 2 3 3? ? 12
范围求出, 再利用单位圆或者正弦函数的图象求 出 sin ?

π? ?π 从而求得 f(t)的最大与 t ? ? 的范围, ? 12 3 ?

最小值.对于第(2)问,要求实验室温度不高于 11 ℃,即满足不等式 f(t)>11 的 t 的范围就是实 验室需要降温的时间段, 可利用正弦曲线或单位 圆来解三角不等式. 解:(1)因为
? 3 π 1 π ? π? ? π f ? t ?=10-2 ? cos t ? sin t ? ? ? ? 10 ? 2sin ? t ? ? 2 12 2 12 12 3? ? ? ?

求 BC 的长. 分析: 对于第(1)问, 由已知△ACD 中三边求角, 很容易想到利用余弦定理进行求解.对于第 (2)问, 目标为求 BC 的长度, 而 BC 是△ABC 中 的边.又 AC 已知,AC 所对的角∠CBA 的正弦 已知,所以联想到利用正弦定理来求,但需要 ∠BAC 的正弦值.而已知中有 cos∠BAD 的值, 发现∠BAC=∠BAD-∠CAD, 因此用两角差的 正弦公式求得 sin∠BAC,从而问题得解. 解:(1)如题图,在△ADC 中,由余弦定理,



π π π 7π ? t+ < , 3 12 3 3 π? ?π - 1 ? sin ? t + ? ? 1 . ? 12 3 ? π? ?π 当 t=2 时, sin ? t + ? ? 1 ; ? 12 3 ? π? ?π 当 t=14 时, sin ? t + ? ? 1 . ? 12 3 ?
又 0≤t<24,所以 于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度 为 8 ℃,最大温差为 4 ℃. (2)依题意,当 f(t)>11 时实验室需要降温. 由(1)得 f ? t ? =10-2sin ?

AC 2 ? AD 2 ? CD 2 . 2 AC ? AD 7 ?1? 4 2 7 故由题设知, cos?CAD ? . ? 7 2 7
得 cos?CAD ? (2)如题图,设∠BAC=α, 则 α=∠BAD-∠CAD. 因为 cos?CAD ? 所以
cos?CAD ? 1 ? cos2?CAD ? 1 ? (
sin?BAD ? 1 ? cos2?BAD ? 1 ? (?

2 7 7 , cos?BAD ? ? , 7 14
2 7 2 21 , ) ? 7 7

7 2 3 21 . ) ? 14 14

于是 sin α=sin(∠BAD-∠CAD) =sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD =

π? ?π t+ ? , ? 12 3 ?
10

3 21 2 7 ? 7? 21 3 ? ?? ? ? ? . ? ? 14 ? 7 14 7 2 ? ?
BC AC ? . sin? sin?CBA
数学教研组

在△ABC 中,由正弦定理,

虢镇中学

AC ? sin ? ? 故 BC ? sin?CBA

7?

3 2 ?3 21 6

π? ? ? 5π ? 3 f ( x) ? A sin ? x ? ? ,x∈R,且 f ? ? ? . 4? ? ? 12 ? 2
(1)求 A 的值; (2)若 f ?? ? +f (?? )= , ? ? ? 0, ? , 求f?

9. (浙江 18 满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a≠b, c ? 3 ,

3 2

? ?

π? 2?

cos2 A ? cos2 B= 3 sin A cos A ? 3 sin B cos B . (1)求角 C 的大小;
(2)若 sin A ?

? 3π ? ?? ? . ? 4 ?

4 ,求△ABC 的面积. 5

解:(1)∵ f ( x) ? A sin ? x ? 且f?

? ?

π? ?, 4?

分析:(1)将已知等式运用二倍角的正、余弦公 式和辅助角公式化为 2A,2B 的三角函数式,结 合角 A,B 的范围求出 2A,2B 的关系式,然后求 出角 C. (2) 由 (1) 知 C , 又 已 知 sin A , c , 则 可 由

a c ? 求出 a,则由 sin A sin C 1 S ABC= ac sin B 知,只需求 sin B 即可.结 2
合 B = π - (A + C) 运用两角和的正弦公式可求 sin B. 解:(1)由题意得
1 ? cos 2 A 1 ? cos 2 B 3 3 ? ? sin 2 A ? sin 2 B , 2 2 2 2 即 3 sin 2 A ? 1 cos 2 A ? 3 sin 2 B ? 1 cos 2 B , 2 2 2 2

? 5π ? 3 ?? , ? 12 ? 2 2π ? 5π ? ? 5π π ? ∴f? ? ? A sin ? ? ? ? A sin 3 ? 12 ? ? 12 4 ? 3 3 = A? ? . 2 2 ∴ A? 3 . π? ? (2)∵ f ( x) ? 3 sin ? x ? ? , 4? ? 3 且 f ?? ? +f (?? )= , 2
π? π? ? ∴ f ?? ? ? f (?? ) ? 3 sin ? ? ? ? ? ? 3 sin ? ?? ? ? 4? 4? ? ? = 3 ?? sin ? cos π ? cos? sin π ? ? ? sin π cos? ? cos π sin ? ??
?? ?? 4 ? ? 4? ? 4 4 ?? ??

π? π? ? ? sin ? 2 A ? ? ? sin ? 2 B ? ? , 6? 6? ? ?
由 a≠b,得 A≠B,又 A+B∈(0,π),

π π ? 2B ? ? π , 6 6 2π π 即 A? B ? ,所以 C ? . 3 3 4 a c = (2)由 c ? 3 , sin A= , , 5 sin A sin C 8 得 a= . 5 3 由 a<c,得 A<C,从而 cos A ? , 5
得 2A ? 故 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C =

π 3 = 6 cos ? = , 4 2 6 ? π? ∴ cos ? ? ,且 ? ? ? 0, ? . 4 ? 2?
= 3 ? 2 cos ? sin

10 . 4 π? ? 3π ? ? 3π ∵f? ? ? ? = 3 sin ? ? ? ? ? 4? ? 4 ? ? 4
∴ sin

? ? 1 ? cos 2 ? ?

= 3 sin( π ? ? )= 3 sin

?=

30 . 4

11. (江西 16 满分 12 分)已知函数 f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),

4?3 3 . 10

所以△ABC 的面积为

1 8 3 ? 18 S ? ac sin B ? . 2 25
10. (广东.16 满分 12 分)已知函数

? π π? , ?. ? 2 2? π (1)当 a ? 2 , ? ? 时,求 f(x)在区间[0,π] 4
其中 a∈R, ? ? ? ? 上的最大值与最小值; (2)若 f ?

?π? ? ? 0 ,f(π)=1,求 a,θ 的值. ?2?
数学教研组

虢镇中学

11

分析:(1)先将 a ?

2 ,? ?

π 代入 f(x),再利 4

(2)在△ABC 中,

用两角和的正弦公式和余弦公式对 f(x)进行化 简,最终化成一个三角函数值的形式,根据所 给角的范围,借助于数形结合求出最大值和最 小值; (2)利用所给条件列出方程联立成方程组求 出 a,θ.

2 2 ?1? sinB ? 1 ? cos 2 B ? 1 ? ? ? ? , 3 ?3?
由正弦定理, 得 sinC ?

2

c 2 2 2 4 2 . sinB ? ? ? b 3 3 9

因 a=b>c,所以 C 为锐角,

π? π? 2 ? ? 解:(1) f (x) ? sin ? x ? ? ? 2cos ? x ? ? ?4 2? 7 2 4? 2? 因此 cosC ? 1 ? sin C ? 1 ? ? . ? ? ? 9 ? ? ?9 ? ? 2 2 2 ?π ? = (sin x+cos x) ? 2sin x ? cos x ? sin x ? sin ? x 于是 c C)=cos Bcos C+sin Bsin C ?os(B-? 2 2 2 ?4 ? 1 7 2 2 4 2 23 2 2 ?π ? ? ? ? ? ? +cos x) ? 2sin x ? cos x ? sin x ? sin ? ? x ? , 3 9 3 9 27 2 2 ?4 ? π ? 3π π ? 13. (山东 16 满分 12 分)已知向量 a=(m,cos 2x), 因为 x∈[0,π],从而 ? x ? ? ? , ?. b=(sin 2x,n),函数 f(x)=a· b,且 y=f(x)的 4 4 4 ? ? ?π ? ? 2π ? 2 图象过点 ? , 3 ? 和点 ? , ?2 ? . 故 f(x)在[0,π]上的最大值为 , ? 12 ? ? 3 ? 2
最小值为-1.

? π ? f ( ) ? 0, ?cos ? (1 ? 2asin ? ) ? 0, (2)由 ? 2 得? 2asin 2 ? ? sin ? ? a ? 1, ? ? f ( π) ? 0, ? ? π π? 又 ? ? ? ? , ? ,知 cos θ≠0, ? 2 2? ?a ? ?1, ? 解得 ? π ? ?? . ? 6 ?
12. (辽宁 17 满分 12 分)在△ABC 中,内角 A,B, C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 且 a > c. 已 知

1 BA? BC? 2 , cosB ? ,b=3.求: 3
(1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值. 分析:(1)将条件中的 BA ? BC ? 2 ,转化为边角 的量表示, 可得 a 与 c 的关系, 再结合余弦定理 列方程组求解. (2)由(1)及正弦定理可得 sin C, 进而求出 cos C, 再由两角差的余弦公式求出 cos(B-C)的值. 解:(1)由 BA ? BC ? 2 ,得 c· acos B=2. 又 cosB ?

(1)求 m,n 的值; (2)将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位 后得到函数 y=g(x)的图象,若 y=g(x)图象上各 最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1, 求 y=g(x) 的单调递增区间. 分析:在第(1)问中,可先根据向量数量积坐标 运算整理出 f(x)的解析式,再由图象过两点,代 入整理可得关于 m,n 的方程组,利用此方程组 即得 m,n 的值.在第(2)问中,通过图象平移知 识, 可得含参数 φ 的 g(x)的解析式, 从中设出最 高点,然后根据两点距离为 1,可确定最高点的 坐标, 代入可求出 g(x)确定的解析式, 从而求出 单调区间. 解:(1)由题意知 f(x)=a· b=msin 2x+ncos 2x. 因 为 y = f(x) 的 图 象 过 点 ?

?π ? , 3? 和 ? 12 ?

由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accos B. 又 b=3,所以 a2+c2=9+2×2=13. 解?

1 ,所以 ac=6. 3

? ac ? 6,
2 2 ? a ? c ? 13,

得 a=2,c=3 或 a=3,c=2.

? 2π ? ? , ?2 ? , ? 3 ? π π ? 3 ? msin ? ncos , ? ? 6 6 所以 ? ??2 ? msin 4 π ? ncos 4 π , ? 3 3 ? ? 1 3 n, ? 3 ? m? ? 2 2 即? ??2 ? ? 3 m ? 1 n, ? ? 2 2 解得 m ? 3 ,n=1.
(2)由(1)知 f ? x ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x
12 数学教研组

因 a>c,所以 a=3,c=2.
虢镇中学

π? ? ? 2sin ? 2 x ? ? . 6? ?
由题意知

为 ??

? π 2kπ π 2kπ ? ,k∈Z. ? , ? 3 12 3 ? ? 4 ? ? ? π? 4 π? ? 2 2 ? ? cos ? ? ? ? (cos α-sin α), 4? 5 4? ?

(2)由已知, 有 sin ? ? ? 所以

π? ? g ? x ? ? f ( x ? ? ) ? 2sin ? 2 x ? 2? ? ? . 6? ?
设 y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2), 由题意知 x0 ? 1 ? 1 ,所以 x0=0,
2

即到点(0,3)的距离为 1 的最高点为(0,2). π π 4 π π π? ? sin ?, cos ? cos ? sin ? (cos ? cos ? sin ? sin )(cos 2 ? ? sin 2 ? ) 将其代入 y=g(x)得 sin ? 2? ? ? ?1 4 4 5 4 4 6? ? 即 sin α+cos α π 4 因为 0<φ<π,所以 ? ? . = (cos α-sin α)2(sin α+cos α). 6

sin ? cos

π π 4 π π ? cos ? sin ? ,(cos ? cos ? sin ? sin )(c 4 4 5 4 4

π? ? 因此 g ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? 2cos 2 x , 2? ? π ?k π, 由 2kπ-π≤2x≤2kπ, k∈Z, 得 kπ ? ? x 2
k∈Z, 所以函数 y=g(x)的单调递增区间 为 ? kπ ?

5

当 sin α+cos α=0 时,由 α 是第二象限角,

3π +2kπ,k∈Z. 4 此时,cos α-sin α= ? 2 .
知 α= 当 sin α+cos α≠0 时, 有(cos α-sin α)2=

? ?

π ? , kπ ? ,k∈Z 2 ?

5 . 4

由 α 是第二象限角,知 cos α-sin α<0, 此时 cos α-sin α= ?

14. (四川 16 满分 12 分)已知函数

π? ? f ? x ?=sin ? 3x ? ? . 4? ?
(1)求 f(x)的单调递增区间; (2)若 α 是第二象限角,

5 . 2
5 2

综上所述,cos α-sin α= ? 2 或 ? 15. (重庆 17 满分 13 分)已知函数

π? ?? ? 4 ? f ? ? ? cos ? ? ? ? cos 2? , 4? ?3? 5 ?
求 cos α-sin α 的值. 分析:在第(1)问,通过整体思想,将 3 x ?

π 看 4

1 π? ? 3 sin(? x+? ) ? ? ? 0, ? ? ? ? ? 的 2 2? ? π 图象关于直线 x ? 对称, 且图象上相邻两个最 3
f(x) = 高点的距离为 π. (1)求 ω 和 φ 的值;

作一个整体,借助 y=sin x 的单调递增区间,解 不等式求出 x 的范围得到 f(x)的单调递增区间, 要注意 k∈Z 不要漏掉;在第(2)问,利用已知条 件求出 f ?

?? ? ? ,然后利用和角公式展开整理, ?3?

?? 3?π 2π ? ,求 (2)若 f ? ? ?? ? ?? ? ? 3 ? ? 2? 4 ?6

得到关于 sin α+cos α 与 cos α-sin α 的方程, 再对 sin α+cos α 与 0 的关系进行讨论,得到 cos α-sin α 的值. 解: (1)因为函数 y = sin x 的单调递增区间为

3π ? ? cos ? ? ? ? 的值. 2 ? ?
分析:在第(1)问中主要考查了三角函数的周期 和对称性,两最高点之间的距离是一个周期, 从而根据公式 T ?

π ? π ? ? ? 2kπ, ? 2kπ ? ,k∈Z, ? 2 ? 2 ? π π π 由 ? ? 2kπ ? 3x ? ? ? 2kπ ,k∈Z, 2 4 2 π 2kπ π 2kπ ?x? ? 得? ? ,k∈Z. 4 3 12 3
所以,函数 f(x)的单调递增区间
虢镇中学 13



?

,准确求出 ω;而求 φ,

则根据对称轴处取最值并结合 φ 的取值范围给 k 赋 值 才 能 准 确 求 出 φ. 第 (2) 问 中 已 知

3 ?? ? ,结合 α 的范围判断并求出 f ? ?? ?2? 4
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π? ? cos ? ? ? ? 的值,然后进一步将 6? ? 3 ? ? cos ? ? ? π ? 转化成 sin α,而后将 α 写成 2 ? ? π π ? ? 加上 的形式,从而求出最后的值, 6 6
该题解答过程中,必须熟练运用诱导公式及两 角和差的三角函数公式. 解:(1)因 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离 为 π, 所以 f(x)的最小正周期 T=π,从而 ? ? 又因 f(x)的图象关于直线 x ? 所以 2 ?

2π =2 . T

π 对称, 3

π π ? ? ? kπ+ ,k=0,± 1,± 2,…. 3 2 π π 因 ? ? ? ? 得 k=0, 2 2 π 2π π ?? . 所以 ? ? ? 2 3 6 3 ?? ? ? ? π? (2)由(1)得 f ? ? ? 3 sin ? 2 ? ? ? ? , ?2? ? 2 6? 4 π? 1 ? 所以 sin ? ? ? ? = . 6? 4 ? π 2π π π 由 ?? ? 得0 ?? ? ? , 6 3 6 2
所以 cos ? ? ?
2

? ?

π? π? 2? ? ? 1 ? sin ? ? ? ? 6? 6? ?

15 ?1? ? 1? ? ? ? . 4 ?4?
因此

3π ? ?? π ? π? ? cos ? ? ? ? ? sin? ? sin ?? ? ? ? ? ? 2 ? 6 ? 6? ? ??

π? π π? π 1 3 15 1 3 ? 15 ? ? ? sin ? ? ? ? cos ? cos ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? 6? 6 6? 6 4 2 4 2 8 ? ?

π? π 1 3 15 1 3 ? 15 ? . cos ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? 6? 6 4 2 4 2 8 ?

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