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2013年济南市文科高考数学模拟试题及答案


2013 年 3 月济南一模数学考试
1.锥体的体积公式: V ? 2.方差 s 2 ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高; 3

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ], 其中 x 为 x1 , x 2 ,?, xn 的平均数. n

r />第 I 卷(选择题
项是符合题目要求的.

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中只有一

1. 已知全集 U ? {0,1,2,3,4,5,6} ,集合 A ? {1, 2} , B ? {0,2,5} ,则集合 (CU A) ? B ? A.{3,4,6} B.{3,5} C.{0,5} D.{0,2,4}

2. 设复数 z ? (3 ? 4i)(1 ? 2i) ( i 是虚数单位) ,则复数 z 的虚部为 A. ? 2 3. 若 a ? 3
0.6

B. 2 , b ? log 3 0.2 , c ? 0.6 ,则
3

C. ? 2i

D. 2i

A. a ? c ? b
2

B. a ? b ? c

C. c ? b ? a

D. b ? c ? a

4. 设 x ? R ,则“ x ? 3x ? 0 ”是“ x ? 4 ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
开 始 n=6, i=1

5. 若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 A.2 B.3 C.4 D.5 6. 已知两条直线 l1 : (a ? 1) x ? 2 y ? 1 ? 0 ,
是 n=3n-5

n 是奇数

l2 : x ? ay ? 3 ? 0 平行,则 a ?
A.-1 C.0 或-2 B.2 D.-1 或 2

否 n n= 2

i=i+1 n =2 是 输出 i 结 束
第 5 题图



7. 若抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点在直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 上,则该抛物线的准线方程为
2

A. x ? ?2

B. x ? 4

C. x ? ?8

D. y ? ?4

8. 等差数列 {a n } 中, a2 ? a8 ? 4 ,则它的前 9 项和 S 9 ? A.9 B.18 C.36 D.72

9. 已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? A. [k? ? C. [k? ?

?
6

)(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则 f ( x) 的单调递增区间
B. [2k? ? D. [k? ?

?
?
3

, k? ?

, k? ? ]( k ? Z ) 3 6
1

?

5? ]( k ? Z ) 6

?

?

,2k? ? ]( k ? Z ) 6 3

?

, k? ? ]( k ? Z ) 6 3

?

10. 函数 y ? x ? x 3 的图象大致为

11. 一个几何体的三视图如右图所示,则它的体积为 A.

20 3

B.

40 3

C. 20

D. 40

12. 若函数 f ( x) ? 2 sin(

?

x ? )( ?2 ? x ? 10) 的图象与 x 轴交于点 6 3
第 11 题图

?

A,过点 A 的直线 l 与函数的图象交于 B、C 两点,则

(OB ? OC ) ? OA ?
A.-32 B.-16 C.16 D.32

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 为了均衡教育资源,加大对偏远地区的教育投入,调查了某地若干户家庭的年收入 x(单 位:万元)和年教育支出 y(单位:万元) ,调查显示年收入 x 与年教育支出 y 具有线性

? ? 0.15 x ? 0.2 .由回归直线方程 相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程: y
可知,家庭年收入每增加 1 万元,年教育支出平均增加____________万元.

?x ? y ? 5 ? 0 ? 14. 已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 z ? x ? 3 y 的最小值是 ?x ? 3 ?
15. 下列命题正确的序号为 . ①函数 y ? ln(3 ? x) 的定义域为 (??,3] ; ②定义在 [a, b] 上的偶函数 f ( x) ? x ? (a ? 5) x ? b 最小值为 5 ;
2

.

③若命题 p : 对 ?x ? R ,都有 x ? x ? 2 ? 0 ,则命题 ?p : ?x ? R ,有 x ? x ? 2 ? 0 ;
2 2

④若 a ? 0, b ? 0 , a ? b ? 4 ,则

1 1 ? 的最小值为1 . a b

16. 若双曲线

x2 y 2 则实 ? ? 1 渐近线上的一个动点 P 总在 平面区域 ( x ? m) 2 ? y 2 ? 16 内, 9 16
.

数 m 的取值范围是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,边 a 、b 、c 分别是角 A 、 B 、C 的对边,且满足 b cos C ? (3a ? c) cos B . (1)求 cos B ; (2)若 BC ? BA ? 4 , b ? 4 2 ,求边 a , c 的值.

??? ? ??? ?

18. (本小题满分 12 分) 以下茎叶图记录了甲组 3 名同学寒假假期中去图书馆 A 学习 的次数和乙组 4 名同学寒假假期中去图书馆 B 学习的次数. 乙 组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 x 表示. (1)如果 x =7,求乙组同学去图书馆学习次数的平均数 和方差; (2)如果 x =9,从学习次数大于 8 的学生中选两名同学,求选 出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数 和大于 20 的概率.

甲组 9 1 2 0 1
第 18 题图

乙组 x 8 2 9

19. (本小题满分 12 分) 正项等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a4 ? 16 ,且 a2 , a3 的等差中项为 S 2 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

n a2 n ?1

,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

20. (本小题满分 12 分) 已知在如图的多面体中, AE ⊥底面 BEFC , AD // EF // BC ,
A
D

BE ? AD ? EF ?

1 BC , G 是 BC 的中点. 2
F

(1)求证: AB // 平面 DEG ; (2)求证: EG ? 平面 BDF .
B

E
G C

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

第 20 题图

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 和 F2,由 4 个点 M(-a,b)、N(a,b)、 a 2 b2

F2 和 F1 组成了一个高为 3 ,面积为 3 3 的等腰梯形. (1)求椭圆的方程; (2)过点 F1 的直线和椭圆交于两点 A、B,求 ? F2AB 面积的最大值. 22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (ax ? x ? 1)e ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R .
2 x

(1)若 a ? 1,求曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (3)若 a ? ?1 ,函数 f ( x) 的图象与函数 g ( x) ? 点,求实数 m 的取值范围.

1 3 1 2 x ? x ? m 的图象有 3 个不同的交 3 2

2013 年 3 月济南市一模文科数学参考答案
1.C 2.B 3.A 4.B 5.C 6.D 7.A 8.B 9.D 10.A 11.B 12.D 15.②③④ 16. (??,?5] ? [5,??)

13.0.15 14. ? 21

17. 解: (1)由正弦定理和 b cos C ? (3a ? c) cos B ,得

sin B cos C ? (3sin A ? sin C) cos B ,
化简,得 sin B cos C ? sin C cos B ? 3sin A cos B 即 sin (B ? C) ? 3sin A cos B , 故 sin A ? 3sin A cos B .

…………………2 分

…………………4 分

1 . …………………6 分 3 ??? ? ??? ? (2)因为 BC ? BA ? 4 , 所以 BC ? BA ?| BC | ? | BA | ? cos B ? 4
所以 cos B= 所以 BC ? BA ? 12 ,即 ac ? 12 .

??? ? ??? ?

(1)

…………………8 分

又因为 cos B =

a 2 ? c2 ? b2 1 ? , 2ac 3
(2) ,解得 ? …………………10 分

整理得, a 2 ? c 2 ? 40 . 联立(1) (2) ?

? a 2 ? c 2 ? 40 ? ac ? 12

?a ? 2 ?a ? 6 或? . ?c ? 6 ?c ? 2

…………………12 分

18. 解(1)当 x=7 时,由茎叶图可知,乙组同学去图书馆学习次数是:7,8,9,12,所以

7 ? 8 ? 9 ? 12 …………………3 分 ? 9; 4 1 7 2 2 2 2 2 方差为 s ? [(7 ? 9) ? (8 ? 9) ? (9 ? 9) ? (12 ? 9) ] ? . ……………6 分 4 2
平均数为 x ? (2)记甲组 3 名同学为 A1,A2,A3,他们去图书馆学习次数依次为 9,12,11;乙 组 4 名同学为 B1,B2,B3,B4,他们去图书馆学习次数依次为 9,8,9,12;从 学习次数大于 8 的学生中人选两名学生,所有可能的结果有 15 个,它们是: A1A2,A1A3,A1B1,A1B3,A1B4,A2A3,A2B1,A2B3,A2B4,A3B1,A3B3,A3B4, B1 B3,B1B4,B3B4. …………………9 分

用 C 表示: “选出的两名同学恰好在两个图书馆学习且学习的次数和大于 20”这一事件, 则 C 中的结果有 5 个,它们是:A1B4,A2B4,A2B3,A2B1,A3B4, 故 选 出 的 两 名 同 学 恰 好 分 别 在 两 个 图 书 馆 学 习 且 学 习 的 次 数 和 大 于 20 概 率 为

P(C ) ?

5 1 ? . 15 3

…………………12 分

19. 解: (1)设等比数列 {an } 的公比为 q(q ? 0) ,
3 ? ?a1 ? 2 ?a1q ? 16 由题意,得 ? ,解得 ? . 2 ? ?q ? 2 ?a1q ? a1q ? 2( a1 ? a1q )

…………………4 分

所以 an ? 2 n . (2)因为 bn ? 所以 Tn ?

…………………5 分

n a2 n?1

?

n 2
2 n ?1



…………………6 分

1 2 3 4 n ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? 2 n?1 , 2 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n Tn ? ? 5 ? 7 ? ? ? 2 n?1 ? 2 n?1 , 3 4 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 n 所以 Tn ? ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? 2 n?1 ? 2 n?1 4 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 4 ? n ? 2 ? 4 ? 3n ?2 1 22 n?1 3 3 ? 2 2 n?1 1? 4 8 16 ? 12n 故 Tn ? ? . 9 9 ? 22 n ?1 20. 证明: (1)∵ AD / / EF , EF / / BC ,
∴ AD / / BC . ………………1 分 又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴ AD / /BG , ………………2 分

…………………8 分

…………………11 分

…………………12 分

A

D

∴四边形 ADGB 是平行四边形,
F

∴ AB / / DG .

………………4 分
B

E
G C

∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG , ∴ AB / / 平面 DEG . ………5 分

(2)连结 GF ,四边形 ADFE 是矩形,

∵ DF // AE , AE ⊥底面 BEFC , ∴ DF ? 平面 BCFE , EG ? 平面 BCFE , ∴ DF ? EG .…………8 分 ∵ EF //BG, EF ? BE , ∴四边形 BGFE 为菱形,∴ BF ? EG , …………………11 分

又 BF I DF ? F , BF ? 平面 BFD , DF ? 平面 BFD , ∴ EG ? 平面 BDF . …………………12 分

21. 解: (1)由条件,得 b= 3 ,且 所以 a+c=3.

2a ? 2c 3 ?3 3, 2
…………………2 分

又 a ? c ? 3 ,解得 a=2,c=1.
2 2

所以椭圆的方程

x2 y2 ? ? 1. 4 3

…………………4 分

(2)显然,直线的斜率不能为 0,设直线方程为 x=my-1,直线与椭圆交于 A(x1,y1), B(x2,y2).

联立方程

? x2 y 2 ?1 ? ? ,消去 x 得, 3 ?4 ? x ? my ? 1 ?

(3m 2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 ,

因为直线过椭圆内的点,无论 m 为何值,直线和椭圆总相交.

? y1 ? y2 ?
S ?F2 AB =

6m 9 , y1 y2 ? ? 2 . 2 3m ? 4 3m ? 4

…………………6 分 ……………………8 分

1 F1 F2 y1 ? y 2 ? y1 ? y 2 2

? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 12

m2 ? 1 m2 ? 1 ? 4 1 (3m 2 ? 4) 2 (m 2 ? 1 ? ) 2 3
,
…………………10 分

?4

1 2 1 m ?1? ? 3 9(m 2 ? 1)
2

令 t ? m ? 1 ? 1 ,设 y ? t ?
2

1 1 1 ,易知 t ? (0, ) 时,函数单调递减, t ? ( ,??) 函数单调 9t 3 3
10 9
…………………12 分

递增 所以 当 t= m 2 ? 1 =1 即 m=0 时, y min ?

S ?F2 AB 取最大值 3.
22. 解: (1)因为 f ( x) ? ( x ? x ? 1)e ,
2 x

所以 f ?( x) ? (2 x ? 1)e ? ( x ? x ? 1)e ? ( x ? 3x)e ,
x 2 x 2 x

………………1 分 ………………2 分

所以曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 k ? f ?(1) ? 4e . 又因为 f (1) ? e , 所以所求切线方程为 y ? e ? 4e( x ? 1) ,即 4ex ? y ? 3e ? 0 . (2) f ?( x) ? (2ax ? 1)e ? (ax2 ? x ? 1)e x ? [ax2 ? (2a ? 1) x]e x ,
x

………………3 分

1 2a ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; ? a ? 0 ,当 x ? 0 或 x ? ? 2 a 2a ? 1 当0? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . a 2a ? 1 所以 f ( x) 的单调递减区间为 (??,0] , [? ,??) ; a 2a ? 1 单调递增区间为 [0,? …………………5 分 ]. a 1 1 2 x ②若 a ? ? , f ?( x) ? ? x e ? 0 ,所以 f ( x) 的单调递减区间为 (??,??) . 2 2
①若 ? …………………6 分 ③若 a ? ? 当?

2a ? 1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 . a

2a ? 1 1 ,当 x ? ? 或 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ; 2 a

所以 f ( x) 的单调递减区间为 ( ??,? 单调递增区间为 [?

2a ? 1 ,0] . a
2

2a ? 1 ] , [0,??) ; a
…………………8 分
x

(3)由(2)知, f ( x) ? (? x ? x ? 1)e 在 (??,?1] 上单调递减,在 [?1,0] 单调递增,

在 [0,??) 上单调递减, 所以 f ( x) 在 x ? ?1处取得极小值 f (?1) ? ?

3 ,在 x ? 0 处取得极大值 f (0) ? ?1 . e
…………………10 分

由 g ( x) ?

1 3 1 2 x ? x ? m ,得 g ?( x) ? x 2 ? x . 3 2

当 x ? ?1 或 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ;当 ? 1 ? x ? 0 时, g ?( x) ? 0 . 所以 g ( x) 在 (??,?1] 上单调递增,在 [?1,0] 单调递减,在 [0,??) 上单调递增. 故 g ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值 g (?1) ?

1 ? m ,在 x ? 0 处取得极小值 g (0) ? m . 6
…………………12 分

因为函数 f ( x) 与函数 g ( x) 的图象有 3 个不同的交点,

? 3 1 ? f (?1) ? g (?1) 3 1 ?? ? ? m 所以 ? ,即 ? e 6 . 所以 ? ? ? m ? ?1 .…………14 分 e 6 ? f (0) ? g (0) ? ?? 1 ? m

2013 年 4 月济南市高三二模文科数学
1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高; 3 n(n11n22 ? n12 n21 ) 2 2. 统计中 ? 2 的公式: ? 2 ? ,其中 n?1 ? n11 ? n21 , n?2 ? n12 ? n22 , n1? n2? n?1n?2 n1? ? n11 ? n12 , n2? ? n21 ? n22 , n ? n11 ? n21 ? n12 ? n22 .
1.锥体的体积公式: V ?

第 I 卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的. 1. 复数 (

1 ? i 2013 ) ? 1? i A. ? 1 B. 1
? ?

C. ? i

D. i

2. 设集合 M ? ? y | y ? ( ) ? , N ? ? y | y ? 1? , 则集合M,N的关系为 A. M ? N B. M ? N C. M ? N
?

1 x? 2 ?

D. M ? N
?

3. 执行如图所示的程序框图,则输出的 n 的值为 A.5 B.6 C.7 D.8 4. 已知圆 x ? y ? 2 x ? my ? 4 ? 0 上两点 M、 N 关于直线 2x+y=0 对称, 则圆的半径为
2 2

第 3 题图

A.9

B.3

C.2 3

D.2

5. 一空间几何体的三视图如图所示,则此几何体的直观图为

第 5 题图

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 6. 设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z=x+2y 的最大值为 ?x ? 1 ? 0 ?
A.1 B.4 C.5 D.6

7. 在等比数列 ?a n ?中, a1 ? a3 ? 5 , a2 ? a4 ? 10 ,则 a 7 ? A.64 B.32 C.16 D.128

8. 为了解疾病 A 是否与性别有关,在一医院随机的对入院 50 人进行了问卷调查得到了如下 的列联表: 患疾病 A 不患疾病 A 合计 20 5 25 男 女 合计
2

10 30

15 20

25 50

请计算出统计量 ? ,你有多大的把握认为疾病 A 与性别有关 下面的临界值表供参考:

P( ? 2 ? k )

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828 D. 99.9%

k
A. 95% 9. 函数 y ? 2 sin(

?
2

B. 99%

C. 99.5%

? 2 x) 是

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为

10. 设 m, n 是空间两条直线, ? , ? 是空间两个平面,则下列选项中不正确 的是 ... A.当 m ? ? 时,“ n / / ? ”是“ m // n ”的必要不充分条件 B.当 m ? ? 时,“ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的充分不必要条件 C.当 n ? ? 时,“ n ? ? ”是“ ? ∥ ? ”成立的充要条件 D.当 m ? ? 时,“ n ? ? ”是“ m ? n ”的充分不必要条件 11. 函数 y ? e
sin x ? x

? 的奇函数 2

B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为

? 的偶函数 2

的图象大致为

A.

B.

C.

D.

? x 3 ,?1 ? x ? 0 12. 已知函数 f ( x) ? ? ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? x 的零点按从小到大的顺序 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0
排列成一个数列,则该数列的通项公式为

A. an ?

n(n ? 1) 2

B. an ? n(n ? 1)

C. a n ? n ? 1

D. an ? 2 n ? 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 若向量 a ? (?2,3) , b ? (4, m) , a // b ,则实数 m ? 14. 已知双曲线

.

3 x2 y2 | OF | ,点 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点 F 到一条渐近线的距离为 2 2 a b
.

O 为坐标原点,则此双曲线的离心率为
15. 在 ?ABC 中, AB ? 1 , AC ?

2 , S ?ABC

1 ? ,则 BC ? 2

.

16. 对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式:

22 ? 1 ? 3 32 ? 1 ? 3 ? 5 42 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 52 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9
3 *

23 ? 3 ? 5 33 ? 7 ? 9 ? 11 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 53 ? 21 ? 23 ? 25 ? 27 ? 29
.

根据上述分解规律,若 m (m ? N ) 的分解中最小的数是 73,则 m 的值为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? sin(? x ?

且函数 f(x)图象的 ) ? sin(? x ? ) ? 3 cos ? x (其中 ? >0), 3 3 ? 两条相邻的对称轴间的距离为 . 2 (1)求 ω 的值; ( 2)将函数 y ? f ( x) 的图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数

?

?

y ? g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在区间 [0, ] 的最大值和最小值. 2

?

18. (本小题满分 12 分) 为了宣传今年 10 月在济南市举行的“第十届中国艺术节”, “十艺节”筹委会举办了“十艺节” 知识有奖问答活动,随机对市民 15~65 岁的人群抽样 n 人,回答问题统计结果如下图表所示:

(1)分别求出 a,x 的值; (2)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,“十艺节”筹委会决定 在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖,求所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖 的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如图,斜三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中,侧面 AAC 1 1C ? 底面 ABC,底面 ABC 是边长为 2 的等
? 边三角形,侧面 AAC E、F 分别是 AC 1 AC ? 60 , 1 1C 是菱形,?A 1 1、

A1

E B1

C1

AB 的中点. 求证: (1) EC ? 平面ABC ; (2)求三棱锥 A1 ? EFC 的体积. A F B
第 19 题图

C

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且 Sn ? 2an ? 2 , 数列 {bn } 满足 b1 ? 1 , 且 bn?1 ? bn ? 2 . (1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)设 cn ?

1 ? ( ?1) n 1 ? ( ?1) n an ? bn ,求数列 {cn } 的前 2n 项和 T2 n . 2 2

21.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? (a ? 2) x ? c 的图象如右图所示. 3

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)若 g ? x ? ?

kf ? ? x ? x

? 2ln x 在其定义域内为增函数,求实数 k 的取值范围.

22. (本小题满分 13 分) 已知点 F1 (? 3 ,0) 和 F2 ( 3,0) 是椭圆 M: 经过点 ( 3 , ) . (1)求椭圆 M 的方程; (2)过点 P(0,2)的直线 l 和椭圆 M 交于 A、B 两点,且 PB ?

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点,且椭圆 M a2 b2

1 2

3 PA ,求直线 l 的方程; 5

(3)过点 P(0,2)的直线和椭圆 M 交于 A、B 两点,点 A 关于 y 轴的对称点 C,求证:直线 CB 必过 y 轴上的定点,并求出此定点坐标.

2013 年 4 月济南市高三二模文科数学参考答案
1.D 2.D 3.C 4.B 13. ? 6 5.A 6.D 7.A 8. C 16.9 9.B 10. A 11.B 12.C 14.2 15. 1 或 5

17.解: (1) f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x = 2sin(? x ? ∵函数 f(x)图象的两条相邻的对称轴间的距离为 ∴T ?

?
3

) . ………………………………3 分

2?

? , 2
………………………………5 分 ………………………………6 分

∴? ? 2 .

?

?? .

(2)由(1)得 f ( x) ? 2sin(2 x ? ∴ g ( x) ? 2sin( x ? 由 x ? [0, ∴当 x ?

?
3

),
………………………………8 分

?
3

). ? x?

?
2

] 可得

?

?

? ? ? 时, g ( x) 取得最大值 g ( ) ? 2sin ? 2 ; 3 2 6 2 6 ? 5? ? 5? ? 当x? = ,即 x= 时, g ( x) 取得最小值 g ( ) ? 2sin ? 1 . …………12 分 3 6 2 6 2 5 18. 解: (1)由频率表中第 1 组数据可知,第 1 组总人数为 ? 10 , 0.5 10 再结合频率分布直方图可知 n ? ? 100 . ………………………………2 分 0.01 ? 10
?
=

?

3

5 ? ?, 3 6

……………………………10 分

,即 x=

∴a=100× 0.020× 10× 0.9=18,

………………………………4 分 …………6 分

27 x? ? 0.9 , 100 ? 0.03 ? 10
(2)第 2,3,4 组中回答正确的共有 54 人. ∴利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人,每组分别抽取的人数为:第 2 组: 3 组:

6 ? 18 ? 2 人,第 54

6 6 ? 27 ? 3 人,第 4 组: ? 9 ? 1 人. 54 54

………………………………8 分

设第 2 组的 2 人为 A1 、 A2 ,第 3 组的 3 人为 B1 、 B2 、B3,第 4 组的 1 人为 C ,则从 6 人中抽 2 人所有可能的结果有: ? A1 , A2 ? ,? A1 , B1 ? ,? A1 , B2 ? ,? A1 , B3 ? ,? A1 , C ? ,? A2 , B1 ? ,

? A2 , B2 ? ,? A2 , B3 ? ,? A2 , C ? ,? B1 , B2 ? ,? B1 , B3 ? ,? B1 , C ? ,? B2 , B3 ? ,? B2 , C ? ,? B3 , C ? ,

共 15 个基本事件,

………………………………10 分

其中第 2 组至少有 1 人被抽中的有 ? A1 , A2 ? , ? A1 , B1 ? , ? A1 , B2 ? , ? A1 , B3 ? , ? A1 , C ? ,

? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A2 , B3 ? , ? A2 , C ? 这 9 个基本事件.
∴第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率为

9 3 ? . ………………………………12 分 15 5

19. 证明: (1) 在平面 AAC 1 1C 内,作 A 1O ? AC ,O 为垂足. 因为 ?A1 AC ? 600 ,所以 AO ?
1 1 AA1 ? AC ,即 O 为 AC 的中点,所以 OC ∥ A 1 E .……3 分 2 2

因而 EC ∥ A1O .因为侧面 AA 1C1C ⊥底面 ABC,交线为 AC, A1O ? AC ,所以 A1O ? 底面 ABC. 所以 EC ? 底面 ABC.

……6 分 ……8

( 2) F 到平面 A1 EC 的距离等于 B 点到平面 A1 EC 距离 BO 的一半, 而 BO= 3 . 分
1 1 1 1 3 1 1 3 1 所以 VA1 ? EFC ? VF ? A1EC ? SV A1EC g BO ? g A1 E gEC g ? g g 3g ? . 3 2 3 2 2 3 2 2 4

……12 分

20.解: (1)当 n ? 1, a1 ? 2 ;

…………………………1 分 ……………2 分 ………3 分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 2an ? 2an ?1 ,∴ an ? 2an ?1 . ∴ {an } 是等比数列,公比为 2,首项 a1 ? 2 , ∴ an ? 2 .
n

由 bn?1 ? bn ? 2 ,得 {bn } 是等差数列,公差为 2. 又首项 b1 ? 1 ,∴ bn ? 2n ? 1 .

……………………4 分 ………………………………6 分 ……………………8 分

? 2n n为奇数 c ? (2) n ? ? ?(2n ? 1) n为偶数

3 2 n? 1 T2 n ? 2 ? 2 ??? 2 ? [? 3 ?7 ??

n(? 4

1) ]

……………10 分

?

22 n ?1 ? 2 ? 2n 2 ? n . 3
2

……………………………12 分 …………………………………………2 分

21.解: (1)∵ f ? ? x ? ? ax ? a ? 2 ,

由图可知函数 f ( x) 的图象过点 ? 0, 3 ? ,且 f ? ?1? ? 0 . 得?

?

c?3

? 2a ? 2 ? 0

,

即?

?c ? 3 . ?a ? 1

………………………………………………4 分

∴ f ( x) ?

1 3 x ? x?3. 3
kf ? ? x ? x

………………………………………………5 分

(2)∵ g ? x ? ?

? 2ln x ? kx ?

k ? 2ln x , ………………………………6 分 x

∴ g? ? x ? ? k ?

k 2 kx 2 ? k ? 2 x . …………………………………………8 分 ? ? x2 x x2
…………………………………………9 分

∵ 函数 y ? g ( x) 的定义域为 (0,??) ,

∴若函数 y ? g ( x) 在其定义域内为单调增函数,则函数 g ?( x) ? 0 在 (0,??) 上恒成立, 即 kx ? k ? 2 x ? 0 在区间 (0,??) 上恒成立.
2

……………………………10 分

即k ?

2x 在区间 (0,??) 上恒成立. x ?1
2

令 h( x ) ? 则 h( x ) ?

2x , x ? (0,??) , x ?1
2

2x 2 ? ? 1 (当且仅当 x ? 1时取等号). x ?1 x ? 1 x
2

…………………12 分

∴ k ? 1.

…………………………………………………………………………13 分

22.解: (1)由条件得:c= 3 ,设椭圆的方程

x2 y2 1 ? ? 1 ,将 ( 3 , ) 代入得 2 2 a a ?3 2

x2 3 1 2 ? ? 1 ? y 2 ? 1 . --------4 分 a ? 4 ,解得 ,所以椭圆方程为 2 2 4 a 4(a ? 3)
(2)斜率不存在时, PB ?

1 PA 不适合条件;----------------------5 分 3

设直线 l 的方程 y ? kx ? 2 ,点 B(x1,y1), 点 A(x2,y2), 代入椭圆 M 的方程并整理得: (1 ? 4k ) x ? 16 kx ? 12 ? 0 .
2 2

? ? (16k ) 2 ? 48(1 ? 4k 2 ) ? 16(4k 2 ? 3) ? 0 ,得 k 2 ?
且 x1 ? x 2 ? ?

3 . 4

12 . -------------------7 分 4k 2 ? 1 3 3 3 因为 PB ? PA ,即 ( x1 , y1 ? 2) ? ( x 2 , y 2 ? 2) ,所以 x1 ? x 2 . 5 5 5 10 k 20 2 代入上式得 x 2 ? ? ,解得 k ? ?1, , x2 ? 2 4k 2 ? 1 4k ? 1 x1 x2 ?
所以所求直线 l 的方程: y ? ? x ? 2 . --------------------9 分

16 k , 4k 2 ? 1

(3)设过点 P(0,2)的直线 AB 方程为: y ? kx ? 2 ,点 B(x1,y1), 点 A(x2,y2), C(-x2,y2).

x2 将直线 AB 方程代入椭圆 M: ? y 2 ? 1 ,并整理得: 4
(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16 kx ? 12 ? 0 , ? ? (16k ) 2 ? 48(1 ? 4k 2 ) ? 16(4k 2 ? 3) ? 0 ,得 k 2 ?
且 x1 ? x 2 ? ?

3 . 4

16 k , 4k 2 ? 1

x1 x2 ?

12 . 4k 2 ? 1

设直线 CB 的方程为: y ? y 2 ?

y 2 ? y1 ( x ? x2 ) , ? x 2 ? x1

令 x=0 得: y ? y 2 ? 将 x1 ? x 2 ? ?

y 2 x2 ? x2 y1 x2 y1 ? x1 y 2 2kx1 x2 ? ? ? 2 .----------11 分 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2

16 k , 4k 2 ? 1

x1 x2 ?

12 代入上式得: 4k 2 ? 1

12 4k 2 ? 1 ? 2 ? ? 3 ? 2 ? 1 . y? ? 16 k 2 2 2 4k ? 1 2k
所以直线 CB 必过 y 轴上的定点,且此定点坐标为 (0, ) . 当直线斜率不存在时,也满足过定点的条件。---------13 分

1 2

---------12 分

2013 年 5 月济南市三模文科数学试题
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中只有一 项是符合 题目要求的. 1.在复平面内,复数 z ? A.第一象限

1? i 的共轭复数 z 对应的点位于 3 ? 4i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.已知全集 U ? R ,集合 A ? ?? 1,0,1? , B ? x | x ? 2 x ? 0 ,则图中的阴影部分表示的集
2

?

?

合为 A. ?? 1? 3.函数 f ( x) ? x ? lg B. ?2? C. ? 1,2? D. ?0,2?
(第 2 题图)

1 ? 2 的零点所在区间为 x

A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 4.若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 4 : 5 : 7 ,则△ ABC A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.4 B. 4 ?

?
2

C. 8 ? ?

D. 2 ?

?
4

6.在边长为 a 的正方形内随机取一个点,则此点落在该正方形的内切圆内部 的概率为 A.

?
4

B.

?
6

C.

2

?

D.

3

?

(第 5 题图)

7.函数 f ? x ? ?

x3 ? 3 的图象大致是 ex

A.

B.

C.

D.

8.将参加公务员上岗前培训的 600 名学员编号为:001,002,…,600,采用系统抽样方法 抽取一个容量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003.这 600 名学员分住在三个校区,从 001 到 300 在第Ⅰ校区,从 301 到 495 住在第Ⅱ校区,从 496 到 600 在第 III 校区,三个校 区被抽中的人数依次为 A.26,16,8 B.25,17,8 C.25,16,9 D.24,17,9 9.命题 p : ? ? ? R, cos( ? ? ? ) ? cos? 的是 A. p 是假命题 是真命题 B. ?q 是真命题 C. p ? q 是假命题 D. p ? q ;命题 q : ?m ? 0, m ?

1 ? 2 . 则下面结论正确 m

? x?0 ? 10.若 A 为不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域,则当实数 a 从-2 连续变化到 0 时,动直 ?y ? x ? 2 ?
线 x ? y ? a 扫过 A 中部分的区域面积为 A.

3 4

B.

1 2

C. 2

D. 1

x2 y 2 2 11.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y ? 8 x 有一个公共的焦点 F ,且两曲线 a b 的一个交点为 P ,若 PF ? 5 ,则双曲线的离心率为
A. 2 B. 2 2 C.

5 ?1 2
?

D. 6

12.给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 60 . 如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 最大值是 A.2 B. 上变动 . 若 OC ? xOA ? yOB, 其中 x, y ? R , 则 x ? 2 y 的

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

2 3 3

C. 3

D.1

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.等差数列 {a n } 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 60 , 则 S15 的值为
? ?

.

14 . 若 直 线 ?x ? y ? a ? ? 过 圆 x ? y ? ? x? ? y ?? 的圆心, 则 a 的值 为 . 15.如图所示程序框图若输入 x 的值为 2013,则输出 s 的结果为 16.给出定义:若 x ? (m ? .

1 1 , m ? ] (其中 m 为整数),则 m 叫做与实数 x “亲密 2 2
(第 15 题图)

的整数 ”, 记作 {x} ? m , 在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ? {x} 的四 个命题:①函数 y ? f ( x) 在 x ? (0,1) 上是增函数;②函数 y ? f ( x) 的图象关 于直线 x ?

k (k ? Z ) 对称;③函数 y ? f ( x) 是周期函数,最小正周期为 1;④当 x ? (0, 2] 2

时,函数 g ( x) ? f ( x) ? ln x 有两个零点. 其中正确命题的序号是____________.

三、计算题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图象如图所示. (1)求 f ( x) 的解析式; (2)求 g ( x) ? f ( x) ? sin 2 x 的单调递增区间.

18. (本小题满分 12 分) 今年 10 月在济南举办第十届中国艺术节, 届时有很多国际友 人参加活动. 现有 8 名“十艺节”志愿者,其中志愿者 A1,A2,A3 通晓英语, B1,B2,B3 通 晓俄语, C1,C2 通晓韩语. 从中选出通晓英语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成一个 小组. (1)求 A1 被选中的概率; (2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率.

19.(本小题满分 12 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 平 面 PAC ? 平 面 A B C D , 且 P A? A C, PA ? AD ? 2 AB ? 2BC . BC // AD , AB ? AD . P (1)若点 E 为 PD 的中点,求证: CE // 平面 PAB. (2)在平面 PAC 内, AF ? PC . 求证: AF ? 平面 PCD E F

A B C (第 19 题图)

D

20.(本小题满分 12 分) 某高校有奖励基金本金 1000 万元,此基金每年购买银行的两种风险和收益不同的理 财产品 A 和 B,把每年产生的收益用来奖励品学兼优的大学生,本金继续购买这两种理 财产品.第一年购买理财产品 A 和 B 各 500 万元,为了规避风险以后规定:上一年购买 产品 A 的本金,下一年会有 20%购买产品 B,而上一年购买产品 B 的本金,下一年会有 30%购买产品 A.用 an , bn (n ? N ) 分别表示在第 n 年购买理财产品 A 和 B 的本金数(单 位:万元). (1)分别求出 a2 , b2 , a3 ; (2)①证明数列 ?an ? 600? 是等比数列,并求 a n ; ②求数列{ bn }的前 n 项和 Tn .
?

21.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ln x ? b ? a, b ? R ? 的图象过点 (1,0) ,且在此点处的切线斜率为1 . (1)求 f ? x ? 的单调递减区间; (2)若 g ? x ? ? 取值范围.

1 2 3 x ? mx ? , ?x0 ? ? 0, ?? ? 使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,求实数 m 的 2 2

22.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的两个焦点 F1 , F2 和上下两个顶点 B1 , B2 是一个 a 2 b2
?

边长为 2 且∠F1B1F2 为 60 的菱形的四个顶点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过右焦点 F2 斜率为 k ( k ? 0 )的直线 l 与椭圆 C 相交于 E , F 两点,A 为椭圆的右 顶点,直线 AE , AF 分别交直线 x ? 3 于点 M , N ,线段 MN 的中点为 P ,记直线 PF2 的 斜率为 k ? .求证: k ? k ? 为定值.

2013 年 5 月济南市三模文科数学试题参考答案 一、选择题 1.C 2.B 3.B 4.C 5.B 6.A 7.C 8.B 9.D 10.D 11.A 二、填空题 13.180 三、解答题 17. 解:(1)由图知, A ? 1 , T ? ? ,所以 解 14.1 15. 12. A

1 8

16. ②③④

2?

?

?? ,


? ?2.
…3 分 又因为函数 f ( x) 过 ( 所以 又

…………………………………………………………

?
6

? ? ? 2 k? ?


?

,1) 代入得 s i n (? 2 ? ? ?) ,1 12 12 (k ? Z ) .


?

?

2

0 ?? ??







??

?
3

.

………………………………………………………5 分 以



f(
6分

?

?

?
3

.

………………………………………………………… x)

(2) g ( x) ? f ( x) ? sin 2 x ? sin(2 x ?

?
3

) ? sin 2 x

1 3 3 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 2 2

? 3(

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x) ? 3 sin(2 x ? ) . 2 2 6

……………………………………………

……9 分 由

2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

,k ?Z ,

……………………………………………

…10 分 解得 k? ?

?
3

? x ? 2k? ?

?
6

,k ?Z .





g ( x)

















[k? ?

?
3

k? ? ,

?
6

k2 ?Z .

……………………………… …12 分 ] ( )

18. 解:(1)从 8 人中选出英语、俄语和韩语志愿者各 1 名,其一切可能的结果组成的基本事件 空间

( A1,B1,C2 ), ( A1,B2,C1 ) , ( A1,B2,C2 ), ( A1,B3,C1 ) , ? ? { ( A1,B1,C1 ), ( A1,B3,C2 ) ( A2,B3,C1 )
, ,

( A2,B1,C1 ), ( A2,B1,C2 ), ( A2,B2,C1 )

,

( A2,B2,C2 )

, ,

( A2,B3,C2 )

,

( A3,B1,C1 ), ( A3,B1,C2 ), ( A3,B2,C1 )

( A3,B2,C2 ), ( A3,B3,C1 ), ( A3,B3,C2 ) } , 共 18 个基本事件. 由于每一个基本事件
被 抽 取 的 机 会 均 等 , 因 此 这 些 基 本 事 件 的 发 生 是 等 可 能 的. …………………………………………………… …4 分

( A1,B1,C2 ), ( A1,B2,C1 ) , 用 M 表示事件“ A1 恰被选中”,则 M ? { ( A1,B1,C1 ), ( A1,B2,C2 ), ( A1,B3,C1 ), ( A1,B3,C2 ) } ,共有 6 个基本事件.
因 此

P( M ) ?

6 1 ? . 18 3

…………………………………………………………………

………6 分 (2)用 N 表示事件“ B1,C1 不全被选中”,则其对立事件 N 表示事件“ B1,C1 全被选中”,

( A2,B1,C1 ), ( A3,B1,C1 ) },事件 N 包含 3 个基本事件, 由于 N ? { ( A1,B1,C1 ),
…………………………………………………………… ……………9 分 所以 P( N ) ? 由 对

3 1 ? , 18 6
立 事 件 的 概 率 公 式 得

P( N ) ? 1 ? P( N ) ? 1 ?
19.
?

1 5 ? . 6 6
PA

………………………………………12 分 的 中 点 为 G , 连 接 BG 、 EG , 则

证 明 :( 1 ) 取

EG //

1 AD ,… ………… ………… ……………1 分 2

又 BC //
?

1 AD , 所 以 EG // BC , 四 边 形 ? 2

BGEC

为 平 行 四 边

形. … ……… ……… ……………2 分 所 EC//BG. …………………………………………………3 分 G 平 面 A B C F E 以 P

又 EC ? 平面 PAB, BG ? 平面 PAB, 故 PAB. EC//

…………………………………………………5 分

D

(2)因为 AB ? AD , BC // AD , AB ? BC, AD ? 2BC ,易 证得 因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 PA ? CD , 因为 PA ? AC ? A ,所以 CD ? 平面 PAC ..………………10 分 而 AF ? 平面 PAC ,所以 CD ? AF .又已知 AF ? PC 又

CD ? AC .……………8 分

P

因 为 , 所 CD ? PC ? C . .………….………….………………12 分 C .………… D



AF ?





20. 解:(1)由已知 a n ? bn ? 1000 ,又 a1 ? 500 , b1 ? 500 ,

∴ a2 ? 0.8a1 ? 0.3b1 ? 550 , ……2 分 ∴ b2 ? 450 ,

………………………………………………………………

∴ a3 ? 0.8a 2 ? 0.3b2 ? 440 ? 135 ? 575 . …………………………………………………… ……4 分 (2)①由题意得 an ?1 ? 0.8an ? 0.3bn ,

? an?1 ? 0.8an ? 0.3?1000 ? an ? ? 0.5a n ? 300 ,
……5 分

………………………………

? a n ?1 ? 600 ?


1 ?an ? 600 ? , 2

……………………………………………………………6

? 数 列
列,

?an ? 6 0 ?

0 是 首 项 为 -100 , 公 比 为

1 2

的 等 比 数

… ……………………………7 分

?
an ? 6 1 2
n ?1

1 an ? 600 ? ?100 ? ( )n ?1 2
. 0 ? ………………………………8 分 0 ?





1

0

②由①知, a n ? bn ? 1000 所 以

bn ? 4

1 ? ( )n ?1 ………………….…………….………………….………………10 分 0 2 1 1 n?1 前 n 项和 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 400n ? 100[1 ? ? ? ? ( ) ] 2 2 1 1 0 0 (? 1 n ) 1 2 ? 40 . ?400 n? n0 ? 2?0 0 ?2 0 0 n 1 2 1? 2 ?1 25 . 2n ?3
: ( …………………………………………………………12

0



Tn ? 400n ? 200 ?
分 21 .



1





f ? ? x ? ? a ln x ? a



∴ f ? ?1? ? a ln1 ? a ? a ? 1 ..………. ……………………2 分 ∵ ∴ f ? x ? ? x ln x .

f ?1? ? 0





b?0

,

……………………………………………4 分

由 f ? ? x ? ? ln x ? 1 ? 0 ,得 0 ? x ? ∴

1 . e
调 递 减 区 间 是

f ? x?





1 (0, ) . e

……………………………………………6 分

( ∴m?

2





x ln x ?

1 2 3 x ? mx ? 2 2

(

x?0

)



1 3 . ……………………………… …7 分 x ? ln x ? 2 2x 1 3 设 h( x) ? x ? ln x ? ( x ? 0 ), 2 2x


h?( x) ?


1 1 3 x 2 ? 2 x ? 3 ? x ? 3?? x ? 1? . ? ? ? ? 2 x 2 x2 2 x2 2x2

……………………………………9

∵当 x ? ? 0,3? 时, h? ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 单调递减; 当

x ? ? 3, ?? ?





h? ? x ? ? 0







h ? x?







增. …………………………………………11 分

∴ hmin ? x ? ? h ? 3? ? 2 ? ln 3 , …………………………………………………………… ………12 分 ∴ m ? 2 ? ln 3 . …13 分 ………………………………………………………………………

22.解: (1)由条件知 a=2,b= 3 ,-------------------------------------------------------------------------2 分 故 所 求 椭 圆 方 程 为

x2 y2 ? ? 1 .--------------------------------------------------------------------------4 分 4 3
(2)设过点 P(1,0)的直线 l 方程为: y ? k ( x ? 1) ,设点 E(x1,y1),点 F(x2,y2), -------5 分

将直线 l 方程 y ? k ( x ? 1) 代入椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 ,整理得: 4 3


(4k 2 ? 3) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0
------------------------------------------------------------------6 分 因为点 P 在椭圆内,所以直线 l 和椭圆都相交, ? ? 0 恒成立, 且

8k 2 x1 ? x 2 ? 2 , 4k ? 3

4k 2 ? 12 x1 x2 ? 4k 2 ? 3

.

----------------------------------------------------------7 分 直线 AE 的方程为: y ?

y1 y2 ( x ? 2) ,直线 AF 的方程为: y ? ( x ? 2) , x1 ? 2 x2 ? 2 y1 y ) , N (3, 2 ) , 所 以 点 x1 ? 2 x2 ? 2
P 的 坐 标



x=3 , 得 点 M (3,

y2 1 y (3, ( 1 ? )) .------9 分 2 x1 ? 2 x2 ? 2

y2 1 y1 ( ? )?0 2 x1 ? 2 x 2 ? 2 y2 1 y / ? ( 1 ? ) 直线 PF2 的斜率为 k ? 3 ?1 4 x1 ? 2 x 2 ? 2
? 1 y2 x1 ? x2 y1 ? 2( y1 ? y2 ) 1 2kx1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 4k ? ? ? 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4
.

------------------------------11 分 将 x1 ? x 2 ?

8k 2 , 4k 2 ? 3

x1 x2 ?

4k 2 ? 12 代入上式得: 4k 2 ? 3

k/ ?

1 ? 4

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