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立体几何自测试题


一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题

给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.给出下列语句: ①桌面给人以平面的形象; ②一个平面长3 m,宽2 m; ③平面内有无数个点,平面可以看成点的集合;

④空间图形是由空间的点、线、面所构成的.
其中正确的个数为( (A)1 (B)2 ) (

C)3 (D)4

【解析】选C.平面是不能定义的原始概念,具有无限延展性, 无长度、厚度之分,空间中点构成线、线构成面,所以四种说 法中只有②不正确.

2.如图,α∩β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C? l,则平面ABC
与平面β的交线是( )

(A)直线AC

(B)直线AB

(C)直线CD

(D)直线BC

【解析】选C.∵α∩β=l,A,B∈α,AB∩l=D, ∴D∈AB,D∈β,而AB?平面ABC, ∴D∈平面ABC. 又C∈β,C∈平面ABC,

∴平面ABC∩平面β=CD.

3.棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的 平面的位置关系是( (A)平行 (C)平行或相交 ) (B)相交 (D)不相交

【解析】选B.棱台的侧棱所在的直线相交于一个公共点,而 这个公共点在棱台的侧面的各个平面内,即这条侧棱所在的

直线与其他各个侧面所在的平面都有一个公共点,故选 B.

4.一个三棱锥的四个面中,是直角三角形的面最多有( (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

)

【解析】选D.如图所示三棱锥,AB⊥面BCD,

CD⊥面ABD,则四个面都是直角三角形.

5.在空间四边形各边AB,BC,CD,DA上分别取E、F、G、H 四
点,如果EF,GH交于一点P,则( (A)P一定在直线BD上 (B)P一定在直线AC上 (C)P一定在直线AC或BD上 (D)P 既不在直线AC上,也不在直线BD上 )

【解析】选B.由EF? 面ABC,

GH? 面ACD,
且面ABC∩面ACD=AC, ∴P∈直线AC.∴选B.

6.下列说法中正确的是(

)

(A)平面α⊥平面β,α∩β=直线m,直线l⊥m,则l⊥β

(B)α∩β=m,l?α,l⊥m,则l⊥β
(C)α⊥β,l?α,则l⊥β (D)α⊥β,α∩β=m,l?α,l⊥m,则l⊥β

【解析】选D.由面面垂直的性质定理可知D项是正确的. 而A中缺少了条件:l? α, ∴命题A项错.(如图).

B项中缺少了条件:α⊥β,如图.
C项中缺少了条件:α∩β=m,l⊥m.

7.如图,在Rt△OAB中,∠OAB=30°,斜边AB=4,将Rt△AOB以直

线AO为轴旋转90°,得到Rt△AOC,若点D为AB的中点,则异面
直线AO与CD所成角的正切值为( )

【解析】选A.过D作DE⊥OB,垂足为E,

连接CE,则由AO⊥OB知DE∥AO,
∴∠CDE为直线AO与CD所成的角, 在Rt△AOB中,∠OAB=30°,AB=4, ∴OB=AB · sin30°=2, 又D为AB的中点,DE∥AO,

在Rt△COE中,CO=BO=2, ∵AO⊥BO,AO⊥CO,

∴AO⊥平面BOC.
又∵DE∥AO,∴DE⊥平面BOC. 又CE? ? 平面BOC,∴DE⊥CE.

8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1C1的中点,则直线CE垂直于 ( (A)AC ) (B)BD (C)A1D1 (D)A1A

【解析】选B.因为ABCD-A1B1C1D1是正方体, 所以可证BD⊥平面ACC1A1. 又CE? 平面ACC1A1,则CE⊥BD.

9.矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面
角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积为( )

【解析】选C.如图,O是AC的中点, 且有O 到A、B、C、D四点距离相等, 所以点O是球心,且有

10.在正四面体P-ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点, 下面四个结论中不成立的是( (A)BC∥面PDF (C)面PDF⊥面ABC )

(B)DF⊥面PAE (D)面PAE⊥面ABC

【解析】选C.∵P-ABC为正四面体.

∴P点在面ABC中射影O为△ABC的中心O,因而O不会落在DF上, ∴面PDF不会经过面ABC的垂线的, ∴面PDF不会与面ABC垂直.

11.如图所示,在正三角形ABC中,

D、E、F分别为各边的中点,G、 H、I、J分别为AF、AD、BE、DE
的中点,将△ABC沿DE、EF、DF 折成三棱锥后,GH与IJ所成的角 的度数为( (A)90° (C)45° ) (B)60° (D)0°

【解析】选B.将△ABC沿着DE,EF,DF折成如图所示的三棱锥: ∵IJ∥PD,∴∠PHG或其补角为GH与IJ所成的角. ∵∠PHG=∠PDF,且△PDF为等边三角形. ∴∠PHG=∠PDF=60°,故选B.

12.在矩形ABCD中,若AB=3,BC=4,PA⊥平面AC,且PA=1,
则点P到对角线BD的距离为( )

【解析】选B.过点A作AE⊥BD于E,连接PE, ∵PA⊥平面ABCD,BD? ? 平面ABCD,

∴PA⊥BD,
∴BD⊥平面PAE,∴BD⊥PE.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在
题中的横线上) 13.a、b、c是空间中的三条直线,下面给出五个命题: ①若a∥b,b∥c,则a∥c; ②若a⊥b,b⊥c,则a∥c; ③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交; ④若a?平面α,b?平面β,则a、b一定是异面直线; ⑤若a、b与c成等角,则a∥b.

其中正确的命题序号是

.

【解析】由公理4知①正确;当a⊥b,b⊥c时,a与b可以相交、 平行,也可以异面,故②不正确;当a与b相交,b与c相交时,a与 c可以相交、平行,也可以异面,故③不正确;a? α,b ?β,

并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故④不正确;当
a、b与c成等角时,a与b可以相交、平行,也可以异面,故⑤不 正确. 答案:①

14.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面,若PC⊥BD,则平 行四边形一定是 .

【解析】由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD. 又PC⊥BD,得BD⊥平面PAC,BD⊥AC,故为菱形. 答案:菱形

15.(2009·浏阳高一检测)如图,
四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行 四边形,E是SA上一点,当点E满足 条件: 时,SC∥平面EBD.

【解析】 当E是SA的中点时.连接EB,

ED,AC,设AC与BD的交点为O,连接EO.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴点O是AC的中点.又E是SA的中点, ∴OE是△SAC的中位线.∴OE∥SC. ∵SC? 平面EBD,OE? 平面EBD, ∴ SC∥ 平面EBD 答案:E是SA的中点

16.已知矩形ABCD中,AB=3,BC=a,若PA⊥平面AC,在BC边
上取点E,使PE⊥DE,则满足条件的E点有两个时,a的取值 范围是 .

【解析】如图所示,连接AE,要使

PE⊥DE,由于DE⊥PA,则需DE⊥AE.
∴在矩形ABCD中,

∠AED=90°,
满足条件的E点有两个, ∴以AD为直径的圆与BC相割, ∴圆心到直线BC的距离d<R,

答案:a>6

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤)

17.(10分)如图所示,α⊥β,CD? β,CD⊥AB,EC? α,

EF? α,∠FEC=90°.
求证:平面FED⊥平面DCE. 【证明】∵α⊥β,CD⊥AB,CD? β,

α∩β=AB,∴CD⊥α.
又EF?α,∴CD⊥EF. 又∵∠FEC=90°,∴EF⊥EC. 又∵EC∩CD=C,∴EF⊥面DCE. 又∵EF?平面EFD,∴平面FED⊥平面DCE.

18.(12分)(2009·广东高考)某高速公路收费站入口处
的安全标识墩如图1所示.墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH, 下半部分是长方体ABCD-EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正 (主)视图和俯视图.

(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图;
(2)求该安全标识墩的体积; (3)证明:直线BD⊥平面PEG.

【解析】(1)侧视图同正视图,如图所示.

(2)该安全标识墩的体积为:

V=VP-EFGH+VABCD-EFGH=13 ×402×60+402×20
=32 000+32 000=64 000(cm 3). (3)如图,连接EG,HF及BD,EG与HF相交于O, 连接PO. 由正四棱锥的性质可知,

PO⊥平面EFGH,∴PO⊥HF.
又EG⊥HF,∴HF⊥平面PEG. 又BD∥HF,∴BD⊥平面PEG.

19.(12分)求证:平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱 锥所得的截面是平行四边形. 【证明】已知:如图所示,三棱锥

S-ABC,SC∥截面HF, AB∥截面HF.
求证:截面EFGH是平行四边形. 证明:∵SC∥截面HF,

SC? 平面ASC,且平面ASC∩平面HF=HG.
由线面平行的性质定理得SC∥HG.

同理可证SC∥EF,∴HG∥EF.
同理可证HE∥GF, ∴四边形EFGH是平行四边形.

(1)若三棱锥S-ABC中的对棱SC⊥AB,截面EFGH是什么四边

形?
【解析】∵SC⊥AB,∴∠GHE=90°, ∴四边形EFGH为矩形.

(2)若三棱锥S-ABC中,E,F,G,H分别为BC,SB,SA,AC
的中点,且SC=AB,截面EFGH是什么四边形? 【解析】由此条件可得EF=FG=GH=HE, ∴四边形EFGH为菱形.

(3)若三棱锥S-ABC中,E,F,G,H分别为BC,SB,SA,CA 的中点,SC=AB且SC⊥AB,截面EFGH是什么四边形? 【解析】由E,F,G,H分别为BC,SB,SA,CA的中点,且

SC=AB,可得EF=FG=GH=HE,
∴四边形EFGH为菱形.
又∵SC⊥AB,∴∠GHE=90°, ∴四边形EFGH为正方形.

20.(12分)如图,a、b是异面直线,且b? α,a∥α,A、

B∈a,C、D∈b,E、F分别为线段AC和BD的中点,判断直线 EF和α的位置关系,并证明你的结论.

【解析】EF∥α. 证明:连接AD, 作FG∥AB交AD于G, 连接EG.

由F是BD的中点知,

G是AD的中点.
又AB∥α,∴FG∥α. ∵E是AC的中点,∴EG∥b, ∴EG∥α,∴平面EFG∥α,∴EF∥α.

21.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂
直,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点. (1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC1∥平面CDB1. 【证明】 (1)∵AC 2+BC
2

=32+42=25,AB2=25,
∴AC 2+BC 2=AB 2, ∴AC⊥BC. 又C1C⊥平面ABC, ∴C1C⊥AC.又BC∩CC1=C,

∴AC⊥平面 BB1C1C,而BC1?平面BB1C1C,

∴AC⊥BC1.
(2)取A1B1的中点D1, 连接AD1、DD1、CD1,C1D1. ∵D是AB的中点, ∴B1D1∥AD,B1D1=AD, ∴四边形ADB1D1是平行四边形, ∴AD1∥B1D, ∴AD1∥平面B1CD.

同理:C1D1∥CD, ∴C1D1∥平面B1CD. 而AD1∩C1D1=D1, ∴平面AC1D1∥平面B1CD, ∴AC1∥平面B1CD.

22.(12分)(2009·厦门模拟)如 图:PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形,

PA=AB=1,AD=

,点F是PB的中点,

点E在边BC上移动.

(1)求三棱锥P-EAD的体积;
(2)当点E为BC的中点时,试判断EF 与平面PAC的位置关系,并说明理由; (3)证明:无论点E在边BC的何处,都有PE⊥AF.

【解析】(1)三棱锥E-PAD的体积

(2)当点E为BC的中点时,EF与平面PAC平行. ∵在△PBC中,E、F分别为BC、PB的中点, ∴EF∥PC,又EF? 平面PAC,

而PC? 平面PAC,
∴EF∥平面PAC. (3)∵PA⊥平面ABCD,BE? 平面ABCD,

∴EB⊥PA.
又EB⊥AB,AB∩AP=A,AB,AP? 平面PAB, ∴EB⊥平面PAB.

又AF? 平面PAB,∴AF⊥BE. 又PA=AB=1,点F是PB的中点, ∴AF⊥PB. 又∵PB∩BE=B,PB,BE? 平面PBE, ∴AF⊥平面PBE. 又∵PE? 平面PBE,∴AF⊥PE.


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