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2.2.1直线与平面平行的判定


备课教案
课 课 题 型 2.2.1 直线与平 面平行的判定 新授课 主备人 汇课地点 邹成琼 高中数学办 公室 参与教师 汇课时间 胡小洲、岳 雷、郭善文

三维目标
(法制渗透)

1.知识与技能 (1)理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理; (2)进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力; 2.过

程与方法 学生通过观察图形,借助已有知识,掌握直线与平面平行、平面与平面平行 的判定定理. 3.情感、态度与价值观 (1)让学生在发现中学习,增强学习的积极性; (2)让学生了解空间与平面互相转换的数学思想. 如何判定直线与平面平行. 观察、思考、交流、讨论、概括 共 1 课时

重难点 教法方法

课时安排 教学准备

投影仪、直尺

教学过程 第一课时 授课时间:
(一)复习 复习直线与平面平行的定义: 如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行. (二)导入新课 思路 1.(情境导入) 将一本书平放在桌面上,翻动书的封面,封面边缘 AB 所在直线与桌面所在平 面具有什么样的位置关系? 思路 2.(事例导入) 观察长方体(图 1) ,你能发现长方体 ABCD—A′B′C′D′中,线段 A′B 所在的直 线与长方体 ABCD—A′B′C′D′的侧面 C′D′DC 所在平面的位置关系吗?

个性化设 计

图1 (三)推进新课、新知探究、提出问题 ①回忆空间直线与平面的位置关系.

②若平面外一条直线平行平面内一条直线,探究平面外的直线与平面的位 置关系. ③用三种语言描述直线与平面平行的判定定理. ④试证明直线与平面平行的判定定理. 活动:问题①引导学生回忆直线与平面的位置关系. 问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力. 问题③引导学生进行语言转换. 问题④引导学生用反证法证明. 讨论结果:①直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行. ②直线 a 在平面 α 外,是不是能够断定 a∥α 呢? 不能!直线 a 在平面 α 外包含两种情形:一是 a 与 α 相交,二是 a 与 α 平 行, 因此,由直线 a 在平面 α 外,不能断定 a∥α. 若平面外一条直线平行平面内一条直线,那么平面外的直线与平面的位置 关系可能相交吗? 既然不可能相交,则该直线与平面平行. ③直线与平面平行的判定定理: 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.

符号语言为: 图形语言为:如图 2.

.

图2 ④证明:∵a∥b,∴a、b 确定一个平面,设为 β. ∴a ? β,b ? β. ∵a ? α,a ? β,∴α 和 β 是两个不同平面. ∵b ? α 且 b ? β, ∴α∩β=b.假设 a 与 α 有公共点 P, 则 P∈α∩β=b,即点 P 是 a 与 b 的公共点,这与已知 a∥b 矛盾. ∴假设错误.故 a∥α. (四)应用示例 思路 1 例 1 求证空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面. 已知空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、AD 的中点. 求证:EF∥面 BCD. 活动:先让学生思考或讨论,后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确 的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 证明:如图 3,连接 BD,

图3

EF∥ 面 BCD. 所 以,EF∥面 BCD. 变式训练 如图 4,在△ ABC 所在平面外有一点 P,M、N 分别是 PC 和 AC 上的点,过 MN 作平面平行于 BC,画出这个平面与其他各面的交线,并说明画法.

图4 画法:过点 N 在面 ABC 内作 NE∥BC 交 AB 于 E,过点 M 在面 PBC 内 作 MF∥BC 交 PB 于 F,连接 EF,则平面 MNEF 为所求,其中 MN、NE、EF、 MF 分别为平面 MNEF 与各面的交线. 证明:如图 5,

图5

.

所以,BC∥平面 MNEF. 点评:“见中点,找中点”是证明线线平行常用方法,而证明线面平行往往 转化为证明线线平行. 例 2 如图 6,已知 AB、BC、CD 是不在同一平面内的三条线段,E、F、G 分 别为 AB、BC、CD 的中点.

图6 求证:AC∥平面 EFG,BD∥平面 EFG. 证明:连接 AC、BD、EF、FG、EG. 在△ ABC 中, ∵E、F 分别是 AB、BC 的中点,∴AC∥EF. 又 EF ? 面 EFG,AC ? 面 EFG, ∴AC∥面 EFG. 同理可证 BD∥面 EFG. 变式训练 已知 M、N 分别是△ ADB 和△ ADC 的重心,A 点不在平面 α 内,B、D、C 在平面 α 内,求证:MN∥α. 证明:如图 7,连接 AM、AN 并延长分别交 BD、CD 于 P、Q,连接 PQ.

图7 ∵M、N 分别是△ ADB、△ ADC 的重心, ∴

AM AN ? =2.∴MN∥PQ. MP NQ

又 PQ ? α,MN ? α,∴MN∥α. 点评: 利用平面几何中的平行线截比例线段定理,三角形的中位线性质等知 识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.

课时小结:
知识总结:利用线面平行的判定定理证明线面平行. 方法总结:利用平面几何中的平行线截比例线段定理,三角形的中位线性 质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.

课堂练习:
课本 P55 第 1、2、题

布置作业:课本书 P61

A 组 1、2、3 题

板书设计
一、相关概念三、例题分析 二、定理 课堂练习

教学反思

作业反馈

备课组长签字:

教研组长签字:

年月日

年月日

课题 课型

1.1.2 简单组合体 的结构特征 新授课

主备人 参与人员

胡小洲

汇课地点
高一全体数学教师

高中数学 办公室

知识与技能:1.掌握简单组合体的概念,学会观察、分析图形,提高空间想 象能力和几何直观能力. 2.能够描述现实生活中简单物体的结构,学会通过建立几何模型来研究空间 图形,培养学生的数学建模思想.

三维目标
(法制渗透)

过程与方法:1 让学生通过直观感受空间物体,从实物中感受组合体的特征. 2 让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 情感与价值:1.使学生感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学生学习 的积极性,同时提高学生的观察能力。 2.培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

重难点

描述简单组合体的结构特征.

教法方法


观察、思考、交流、讨论、概括 1 课时

课时安排 教学准备
实物模型、投影仪

教学过程 第一课时 授课时间: 新课导入:
思路 1.在我们的生活中,酒瓶的形状是圆柱吗?我们的教学楼的形 状是柱体吗?钢笔、圆珠笔呢?这些物体都不是简单几何体,那么 如何描述它们的结构特征呢?教师指出课题:简单几何体的结构特 征. 思路 2.现实世界中的物体表示的几何体,除柱体、锥体、台体和球 体等简单几何体外,还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的,

个性化设计

这些几何体叫做简单组合体,这节课学习的课题是:简单几何体的 结构特征.

新课教学:
提出问题 ①请指出下列几何体是由哪些简单几何体组合而成的.

图1 ②观察图 1,结合生活实际经验,简单组合体有几种组合形式? ③请你总结长方体与球体能组合成几种不同的组合体.它们之间具有 怎样的关系? 活动:让学生仔细观察图 1,教师适当时候再提示. ①略. ②图 1 中的三个组合体分别代表了不同形式. ③学生可以分组讨论,教师可以制作有关模型展示. 讨论结果:①由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.现实 世界中,我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特 征的物体组合而成.图 1(1)是一个四棱锥和一个长方体拼接成的, 这是多面体与多面体的组合体;图 1(2)是一个圆台挖去一个圆锥 构成的,这是旋转体与旋转体的组合体;图 1(3)是一个球和一个 长方体拼接成的,这是旋转体与多面体的组合体. ②常见的组合体有三种:多面体与多面体的组合;多面体与旋转体 的组合;旋转体与旋转体的组合.其基本形式实质上有两种:一种是 由简单几何体拼接而成的简单组合体,如图 1(1)和(3)所示的组 合体;另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体, 如图 1(2)所示的组合体. ③常见的球与长方体构成的简单组合体及其结构特征:1°长方体的 八个顶点在同一个球面上,此时长方体称为球的内接长方体,球是 长方体的外接球,并且长方体的对角线是球的直径;2°一球与正方 体的所有棱相切,则正方体每个面上的对角线长等于球的直径;3° 一球与正方体的所有面相切,则正方体的棱长等于球的直径. 应用示例 思路 1 例 1 请描述如图 2 所示的组合体的结构特征.

图2

活动:回顾简单几何体的结构特征,再将各个组合体分解为简单几 何体.依据柱、锥、台、球的结构特征依次作出判断. 解:图 2(1)是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体; 图 2(2)是由一个长方体截去一个三棱锥后剩下的部分得到的组合 体; 图 2(3)是由一个圆柱挖去一个三棱锥剩下的部分得到的组合体. 点评:本题主要考查简单组合体的结构特征和空间想象能力. 变式训练 如图 3 所示, 一个圆环绕着同一个平面内过圆心的直线 l 旋转 180°, 想象并说出它形成的几何体的结构特征.

图3 答案:一个大球内部挖去一个同球心且半径较小的球. 例 2 连接正方体的相邻各面的中心 (所谓中心是指各面所在正方形 的两条对角线的交点) ,所得的一个几何体是几面体?并画图表示该 几何体. 活动:先画出正方体,然后取各个面的中心,并依次连成线观察即 可.连接相应点后,得出图形如图 4(1),再作出判断.

(1)(2) 图4 解:如图 4(1),正方体 ABCD—A1B1C1D1,O1、O2、O3、O4、O5、 O6 分别是各表面的中心.由点 O1、O2、O3、O4、O5、O6 组成了一个 八面体,而且该八面体共有 6 个顶点,12 条棱.该多面体的图形如图 4(2)所示. 点评:本题中的八面体,事实上是正八面体——八个面都是全等的 正三角形,并且以每个顶点为其一端,都有相同数目的棱.由图还可 见,该八面体可看成是由两个全等的四棱锥经重合底面后而得到的, 而且中间一个四边形 O2O3O4O5 还是正方形, 当然其他的如 O1O2O6O4 等也是正方形.为了增强立体效果,正方体应画得“正”些,而八面体 的放置应稍许“倾斜”些, 并且“后面的”线, 即被前面平面所遮住的线, 如图中的 O1O5、O6O5、O5O2、O5O4 应画成虚线. 变式训练 连接上述所得的几何体的相邻各面的中心,试问所得的几何体又是 几面体? 答案:六面体(正方体).

思路 2 例 1 已知如图 5 所示,梯形 ABCD 中,AD∥BC,且 AD<BC,当 梯形 ABCD 绕 BC 所在直线旋转一周时,其他各边旋转围成的一个 几何体,试描述该几何体的结构特征.

图5图6 活动:让学生思考 AB、AD、DC 与旋转轴 BC 是否垂直,以此确定 所得几何体的结构特征. 解:如图 6 所示,旋转所得的几何体是两个圆锥和一个圆柱拼接成 的组合体. 点评:本题主要考查空间想象能力以及旋转体、简单组合体. 变式训练 如图 7 所示,已知梯形 ABCD 中,AD∥BC,且 AD<BC,当梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周时,其他各边旋转围成的一个几何 体,试描述该几何体的结构特征.

图7图8 答案:如图 8 所示,旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后 剩余部分而成的组合体. 例 2 如图 9(1) 、 (2)所示的两个组合体有什么区别?

图9 活动:让学生分组讨论和思考,教师及时点拨和评价学生. 解:图 9(1)所示的组合体是一个长方体上面又放置了一个圆柱, 也就是一个长方体和一个圆柱拼接成的组合体;而图 9(2)所示的 组合体是一个长方体中挖去了一个圆柱剩余部分构成的组合体. 点评:考查空间想象能力和组合体的概念. 变式训练 如图 10,说出下列物体可以近似地看作由哪几种几何体组成?

图 10 答案:图 10(1)中的几何体可以看作是由一个圆柱和一个圆锥拼接 而成;图 10(2)中的螺帽可以近似看作是一个正六棱柱中挖掉一个 圆柱构成的组合体. 知能训练 1.(2005 湖南数学竞赛,9)若干个棱长为 2、3、5 的长方体,依相 同方向拼成棱长为 90 的正方体,则正方体的一条对角线贯穿的小长 方体的个数是() A.64 B.66 C.68 D.70 分析:由 2、3、5 的最小公倍数为 30,由 2、3、5 组成的棱长为 30 的正方体的一条对角线穿过的长方体为整数个,所以由 2、3、5 组 成棱长为 90 的正方体的一条对角线穿过的小长方体的个数应为 3 的 倍数. 答案:B 2.图 11 是一个奖杯,可以近似地看作由哪几种几何体组成?

图 11 答案:奖杯的底座是一个正棱台,底座的上面是一个正四棱柱,奖 杯的最上部,在正棱柱上底面的中心放着一个球. 拓展提升 1.请想一想正方体的截面可能是什么形状的图形? 活动:静止是相对的,运动是绝对的,点动成线,线动成面.用运动 的观点看几何问题的形成,容易建立空间想象力,这样对于分割和 组合图形是有好处的. 明确棱柱、棱锥、棱台等多面体的定义及圆柱、圆锥、圆台的生成 过程,以及柱、锥、台的相互关系,对于我们正确的割补图形也是 有好处的. 对于正方体的分割,可通过实物模型,实际切割实验,还可借助于 多媒体手段进行切割实验.对于切割所得的平面图形可根据它的定义 进行证明,从而判断出各个截面的形状. 探究:本题考查立体几何的空间想象能力,通过尝试、归纳,可以 有如下各种肯定或否定性的答案: (1)截面可以是三角形:等边三角形、等腰三角形、一般三角形. (2)截面三角形是锐角三角形,截面三角形不能是直角三角形、钝

角三角形. (3)截面可以是四边形:平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、 等腰梯形;截面为四边形时,这个四边形至少有一组对边平行. (4)截面不能是直角梯形. (5)截面可以是五边形:截面五边形必须有两组分别平行的边,同 时有两个角相等;截面五边形不可能是正五边形. (6)截面可以是六边形:截面六边形必须有分别平行的边,同时有 两个角相等. (7)截面六边形可以是等角(均为 120°)的六边形,即正六边形. 截面图形如图 12 中各图所示:

图 12 课堂小结 本节课学习了简单组合体的概念和结构特征. 作业 习题 1.1A 组第 3 题;B 组第 2 题.

板书设计
一、创设情境、揭示课题二、研究新知 三、质疑答辩

教学反思

作业反馈

备课组长签字:

教研组长签字:

年月日

年月日

课题

1.2.1 中心投影与 平行投影 1.2.2 空间几何体 的三视图 新授课

主备人

胡小洲

汇课地点

高中数学 办公室

课型

参与人员

高一数学全体教师

知识与技能:中心投影与平行投影的概念、性质、区别、用途;理解空间几 何体的三视图的概念,能画出简单几何体的三视图;能识别三视图所表示的

三维目标
(法制渗透)

空间. 过程与方法:通过课件展示让学生明确视图的形成过程。 情感与价值:通过观察让学生感受现实世界的伟大,以及将复杂的问题简单 化的数学思想方法。

重难点 教法方法

重点:能画出简单空间几何体的三视图;识别三视图所表示的空间几何体. 难点:画出简单空间几何体的三视图。 导学、讲授、自学相结合 共 1 课时

课时安排

1. 2. 3. 课件,多媒体

教学准备

教学过程 第一课时 授课时间: 课时目标:识别简单空间几何体的三视图。 新课导入:
有古诗: “横看成岭侧成峰, 远近高低各不同。 不识庐山真面目,

个性化设计

只缘身在此山中” ,即从不同的角度看庐山,能看到不同的景观,同 时侧面告诉我们,要看到庐山的真面目,必须走出庐山,从多角度、 多方位去看。

新课教学:
二、讲授新课: 预习课本内容,填写下面的知识要点: 1. 中心投影:

(1)中心投影的概念: (2)中心投影的性质: (3)中心投影的用途: 2. 平行投影:

(1)平行投影的概念: (2)平行投影的性质: (3)平行投影的用途: 3.视图: 4.三视图: (1)正视图: (2)侧视图: (3)俯视图: 注:空间几何体的三视图是在()投影下得到的投影图。 题型一:画出简单空间几何体的三视图: 要求: (1)位置要求:三个视图的位置要按照如下的位置 关系: 正视图侧视图 俯视图 (2)尺寸要求:长对正:即正视图和俯视图的长要相等; 宽相等:即俯视图和俯视图的宽要相等; 高平齐:即正视图和侧视图的高要相等. (3)线条要求:看的见的轮廓线画成实线;看不见的轮廓

线要画成虚线. 例 1:

正视图侧视图

俯视图 练习:画出下列几何体的三视图: (1)

(2)
P

M A

D N B

C

思考:正视图的形状和大小与一样吗?如果不一样,那和哪 个三角形是一样的?为什么? 题型二:能通过几何体的三视图识别几何体:

例 2:说出下面的三视图表示的是什么几何体.

练习:说出下列三视图表示的是什么几何体. (1)

(2)

课时小结: 本节课大家学习了中心投影与平行投影的概 念、 性质、 区别、 用途; 认识了空间几何体的三视图的概念, 学习了画出简单几何体的三视图; 并且要学会识别三视图所 表示的空间. 布置作业:习题 1.2 A 组 1,2

板书设计
1.中心投影: 2.平行投影: 3.视图: 4.三视图:

教学反思

作业反馈

备课组长签字:

教研组长签字:

年月日 课题 课型
1.2.3 空间几何体 的直观图 新授课

年月日 主备人 参与人员
胡小洲 高一全体数学老师

汇课地点

高一数学 办公室

知识与技能:1.掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。 2.采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影 下画空间图形两种方法的各自特点。

三维目标
(法制渗透)

过程与方法:学生通过观察和类比,利用斜二测画法画出空间几何体的直观 图。 情感与价值:1.提高空间想象力与直观感受。 2.体会对比在学习中的作用。 3.感受几何作图在生产活动中的应用。

重难点 教法方法

用斜二测画法画空间几何值的直观图。 学生通过作图感受图形直观感,并自然采用斜二测画法画空间几何体的过程 共 1 课时

课时安排

1. 2. 3. 三角板、圆规

教学准备

教学过程 授课时间: 课时目标:学会用斜二测画法画空间几何值的直观图 新课导入:
(一)创设情景,揭示课题 1.我们都学过画画,这节课我们画一物体:圆柱

个性化设计

把实物圆柱放在讲台上让学生画。 2.学生画完后展示自己的结果并与同学交流,比较谁画的效 果更好,思考怎样才能画好物体的直观图呢?这是我们这节主 要学习的内容。

新课教学:
(二)研探新知 1.例 1,用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图,由学 生阅读理解,并思考斜二测画法的关键步骤,学生发表自己的见解, 教师及时给予点评。 画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位 置,因为多边形顶点的位置一旦确定,依次连结这些顶点就可画出 多边形来,因此平面多边形水平放置时,直观图的画法可以归结为 确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。 练习反馈 根据斜二测画法,画出水平放置的正五边形的直观图,让学生 独立完成后,教师检查。 2.例 2,用斜二测画法画水平放置的圆的直观图 教师引导学生与例 1 进行比较,与画水平放置的多边形的直观 图一样,画水平放置的圆的直观图,也是要先画出一些有代表性的 点,由于不能像多边那样直接以顶点为代表点,因此需要自己构造 出一些点。 教师组织学生思考、讨论和交流,如何构造出需要的一些点, 与学生共同完成例 2 并详细板书画法。 3.探求空间几何体的直观图的画法 (1)例 3,用斜二测画法画长、宽、高分别是 4cm、3cm、2cm 的长方体 ABCD-A’B’C’D’的直观图。 教师引导学生完成,要注意对每一步骤提出严格要求,让学生 按部就班地画好每一步,不能敷衍了事。 (2)投影出示几何体的三视图、课本 P15 图 1.2-9,请说出三 视图表示的几何体?并用斜二测画法画出它的直观图。教师组织学 生思考,讨论和交流完成,教师巡视帮不懂的同学解疑,引导学生 正确把握图形尺寸大小之间的关系。 4.平行投影与中心投影

投影出示课本 P17 图 1.2-12,让学生观察比较概括在平行投影 下画空间图形与在中心投影下画空间图形的各自特点。 5.巩固练习,课本 P16 练习 1(1) ,2,3,4

课时小结:学生回顾斜二测画法的关键与步骤 布置作业:课本 P17 练习第 5 题 板书设计
1. 斜二测画法 1°在已知图形所在的空间中取水平平面,作互相垂直的轴 Ox、Oy,再作 Oz 轴,使∠ xOy=90°,∠yOz=90°. 2°画出与 Ox、Oy、Oz 对应的轴 O′x′、O′y′、O′z′,使∠x′O′y′=45°,∠y′O′z′=90°,x′O′y′ 所?确定的平面表示水平平面. 3°已知图形中,平行于 x 轴、y 轴和 z 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x′轴、y′轴和 z′轴的线段,并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置 关系相同. 4°已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于 y 轴的线段, 长度为原来的一半. 5°擦除作为辅助线的坐标轴,就得到了空间图形的直观图.

教学反思

作业反馈

备课组长签字:

教研组长签字:

年月日 课题 课型 三维目标
(法制渗透)

年月日
1.3.1 柱体、 椎体、 台体的表面积与 体积 新授课

主备人 参与人员

胡小洲 高一数学全体教师

汇课地点

高中数学 办公室

知识与技能:1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积和体 积的求法。 2.能运用公式求解,柱体、锥体和台全的全积,并且熟悉台体 与术体和锥体之间的转换关系。 3.培养学生空间想象能力和思维能力。 过程与方法:1.让学生经历几何全的侧面展一过程,感知几何体的形状。 2.让学生通对照比较,理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体 积的关系。 情感与价值:通过学习,使学生感受到几何体面积和体积的求解过程,对自 己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。 重点:柱体、锥体、台体的表面积和体积计算 难点:台体体积公式的推导 学生通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括,通过剖析实 物几何体感受几何体的特征,从而更好地完成本节课的教学目标 共 1. 2. 3. 1 课时

重难点 教法方法 课时安排

教学准备

实物几何体,投影仪

教学过程

个性化设计

第一课时 授课时间: 课时目标:通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的
表面积和体积的求法。

新课导入:
一、创设情境 (1)教师提出问题:在过去的学习中,我们已经接触过一些几 何体的面积和体积的求法及公式,哪些几何体可以求出表面积和体 积?引导学生回忆,互相交流,教师归类。 (2) 教师设疑: 几何体的表面积等于它的展开圈的面积, 那么, 柱体,锥体,台体的侧面展开图是怎样的?你能否计算?引入本节 内容。

新课教学:
二、探究新知 (1)利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱 台的侧面展 开图

(2)组织学生分组讨论:这三个图形的表面由哪些平面图形构 成?表面积如何求? (3)教师对学生讨论归纳的结果进行点评。 三、质疑答辩、排难解惑、发展思维 (1) 教师引导学生探究圆柱、 圆锥、 圆台的侧面展开图的结构,

并归纳出其表面积的计算公式:

S圆台表面积 ? ?(r '2 ?r 2 ? r ' l ? rl)
r 为上底半径 r 为下底半径 l 为母线长 (2)组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公 式之间的变化关系。
1

(3)教师引导学生探究:如何把一个三棱 柱分割成三个等体积的棱锥?由此加深学生对等 底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解。 如图:

(4)教师指导学生思考,比较柱体、锥体,台体的体积公式 之间存在的关系。

(s’,s 分别我上下底面面积,h 为台柱高) 四、例题分析讲解 (课本)例 1、例 2、例 3 五、巩固深化、反馈矫正 教师投影练习 1、已知圆锥的表面积为 a ㎡,且它的侧面展开图是一个半 圆,则这个圆锥的底面直径为。 2、棱台的两个底面面积分别是 245c ㎡和 80c㎡,截得这个 棱台的棱锥的高为 35cm,求这个棱台的体积。

课时小结:本节课学习了柱体、锥体与台体的表面积和体积
的结构和求解方法及公式。用联系的关点看待三者之间的关系,更 加方便于我们对空间几何体的了解和掌握。

布置作业:习题 1.3

A 组 1.3

板书设计

S圆台表面积 ? ?(r '2 ?r 2 ? r ' l ? rl) r 为上底半径
1

r 为下底半径

l 为母线长

教学反思

作业反馈

备课组长签字:

教研组长签字:

年月日

年月日

课题 课型

1.3.2 球的体积和 表面积 新授课

主备人 参与人员

胡小洲 高一全体数学老师

汇课地点

高中数学 办公室

知识与技能:1.通过对球的体积和面积公式的推导,了解推导过程中所用的 基本数学思想方法: “分割——求和——化为准确和” ,有利于同学们进一步 学习微积分和近代数学知识。 2.能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。 3.培养学生的空间思维能力和空间想象能力。 过程与方法:通过球的体积和面积公式的推导,从而得到一种推导球体积公 式V=

三维目标
(法制渗透)

4 π R3 和面积公式S=4π R2 的方法,即“分割求近似值,再由近似 3

和转化为球的体积和面积”的方法,体现了极限思想。 情感与价值:通过学习,使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定 的了解,提高了空间思维能力和空间想象能力,增强了我们探索问题和解决 问题的信心。

重难点 教法方法 课时安排

重点:引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 难点:推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。 引导学生通过阅读教材,发挥空间想象能力,了解并初步掌握“分割、求近 似值的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。 共 1 课时

1. 2. 3.

教学准备

投影仪

教学过程 第一课时 授课时间: 课时目标: 推导球体积公式V=π R3 和面积公式S=4π R2

个性化设计

新课教学
新课导入: (一)创设情景 ⑴教师提出问题:球既没有底面,也无法像在柱体、锥体和台 体那样展开成平面图形,那么怎样来求球的表面积与体积呢?引导 学生进行思考。 ⑵教师设疑:球的大小是与球的半径有关,如何用球半径来表 示球的体积和面积?激发学生推导球的体积和面积公式。 (二) 探究新知 1.球的体积: 如果用一组等距离的平面去切割球,当距离很小之时得到很多 “小圆片” , “小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积,由 于“小圆片”近似于圆柱形状,所以它的体积也近似于圆柱形 状,所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积,因此求球的 体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。 步骤: 第一步:分割 如图:把半球的垂直于底面的半径O A作 n 等分,过这些等分点,用一组平行 于底面的平面把半球切割成 n 个“小圆 片” , “小圆片” 厚度近似为 圆片”的底面。 如图:

R , 底面是 “小 n

得 Vi ? ? ? r i ?
2

R ?R 3 i ?1 2 ? [1 ? ( ) ]   (i ? 1、2 ??n) n n n

第二步:求和

V半球=v1 ? v2 ? v3 ? ? ? vn ? ?R 3[1 ?
第三步:化为准确的和

1 (1 ? 1 n )(2 ? n ) ] 6

当 n→∞时, n →0 (同学们讨论得出) 所以V半球=?R (1 ?
3

1

1? 2 2 ) ? ?R 3 6 3
V球 ?

得到定理:半径是R的球的体积

4 ?R 3 3

练习:一种空心钢球的质量是 142g,外径是 5cm,求它的内径 (钢的密度是 7.9g/cm ) 2.球的表面积: 球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径 R 的函数, 由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、 圆锥的表面积公 式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和,再由 近似和转化为准确和”方法推导。 思考:推导过程是以什么量作为等量变换的? 2 半径为 R 的球的表面积为S=4π R 练习:长方体的一个顶点上三条棱长分别为 3、4、5,是它的八个 顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是。 (三)典例分析 课本 P47 例 4 和 P29 例 5 (四) 巩固深化、反馈矫正 ⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为,表面积比为。 (答案: 3 3 : 1 ; 3 :1)
3

⑵在球心同侧有相距 9cm 的两个平行截面,它们的面积分别 2 2 2 为 49π cm 和 400π cm ,求球的表面积。 (答案:2500π cm ) 分析:可画出球的轴截面, 利用球的截面性质求球的半 径

课时小结: 本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的
推导,以及利用公式解决相关的球的问题,了解了推导中的“分割、 求近似和,再由近似和转化为准确和”的解题方法。

布置作业:作业 P28 练习 1、3 ,B(1)

板书设计
4 ?R 3 3

1.球的体积:

V球 ?

2.球的表面积:S=4π R2

教学反思

作业反馈

备课组长签字:

教研组长签字:

年月日

年月日

单元教学计划

教材分析:柱体、锥体、台体和球体是简单的几何体,复杂的几何体大都是
由这些简单的几何体组合而成的.有关柱体、 锥体、 台体和球体的研究是研究比较 复杂的几何体的基础.本章研究空间几何体的结构特征、 三视图和直观图、 表面积 和体积等.运用直观感知、操作确认、度量计算等方法,认识和探索空间几何图形 及其性质. 本章中的有关概念,主要采用分析具体实例的共同特点,再抽象其本质属性空间 图形而得到.教学中应充分使用直观模型, 必要时要求学生自己制作模型, 引导学 生直观感知模型,然后再抽象出有关空间几何体的本质属性,从而形成概念. 本章内容是在义务教育阶段学习的基础上展开的.例如, 对于棱柱, 在义务教育阶 段直观认识正方体、 长方体等的基础上, 进一步研究了棱柱的结构特征及其体积、 表面积.因此,在教材内容安排中,特别注意了与义务教育阶段“空间与图形”相 关内容的衔接. 值得注意的是在教学中, 要坚持循序渐进, 逐步渗透空间想象能力面的训练.由于 受有关线面位置关系知识的限制,在讲解空间几何体的结构时,少问为什么,多 强调感性认识.要准确把握这方面的要求,防止拔高教学.重视函数与信息技术整 合的要求, 通过电脑绘制简单几何体的模型,使学生初步感受到信息技术在学习中 的重要作用.为了体现教材的选择性,在练习题安排上加大了弹性,教师应根据学 生的实际,合理地进行取舍. 学情分析:大多数学生学习态度端正,但是由于基础差的原因,导致学习兴趣不 高,学习习惯不好,对于数学学习的积极性太低,并且过分依赖于教师,不愿意 自主学习,主动学习,这些问题都是今后教学中教师要尽力去引导改善的问题。 三维目标: 知识与技能:柱体、锥体、台体和球体都是简单的几何体,复杂的几何体大都是 由这些简单的几何体组合而成的.柱体、 锥体、 台体和球体的研究是研究比较复杂 的几何体的基础.本章研究空间几何体的结构特征、 三视图和直观图、 表面积和体 积等.学生自主感受几何体的作图,空间想象。 过程与方法:让学生通过直观感受空间物体,从实物中感受组合体的特征 .让学 生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。让学生自主发挥想象力,在脑海建构空 间模型。

情感态度和价值:发挥主观能动性,增强学习的兴趣,亲自体验成功的喜悦,培 养学生由平面几何向空间几何的过度,开发他们的立体情感。 重难点突破:空间几何体的三视图和直观图对于学生来说是比较困惑的地方,要 发挥想象力去想象,空间几何体的表面积与体积的计算公式的推导过程也是较重 要较难以理解的部分,需要学生认真来对待。 课时安排 1.1 空间几何体的结构 1.2 空间几何体的三视图和直观图 1.3 空间几何体的表面积与体积 2 课时 2 课时 2 课时


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