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高考导数压轴题题型归纳


第四章
本文档作者:南京一中

导数及其应用
本章导读

王镜宇

高考中导数题目并不复杂,一是考察计算能力,二是考察看清问题本质的能力. 计算能力,如 2015 江苏高考题、题型一第三题、题型三第四题,你能面对绝对值井 井有条并快速地分析问题吗?如题型六第二三四题,你能快速运用图像解决问题吗? 看清问题本质的能力,如 2008 年江苏高考题、题型一第一题,你能发现三角函数蕴 藏在题目中吗?如 2012 江苏高考题、题型一第五题,你能面对多元而思路不乱吗?

真题回放
1. (2008·江苏卷·14)设函数 f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 (x∈R) ,若对于任意 x ? ? ?1,1? ,都
3

有 f ? x ? ≥0 成立,则实数 a = 其中一块是梯形,记 S ?



2. (2010·江苏卷·14)将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,
2 (梯形的周长) ,则 S 的最小值是 梯形的面积



3. (2012·江苏卷·14)已知正数 a , b, c 满足:5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , c ln b ≥ a ? c ln c ,则 的取值范围是 .

b a

4. ( 2015· 江 苏 卷 ·13 ) 已 知 函 数 f ( x ) ? ln x , g ( x ) ? ?

? ?

0, 0 ? x ? 1

2 ? ? x ? 4 ? 2, x ? 1

,则方程

f ( x) ? g ( x) ? 1 的实根个数为



经典示例
题型一:值域、最值问题

x3 ? x 1.函数 f ( x ) ? 2 的值域是 ( x ? 1) 2 m4 ? n4 的最小值为 m3n

3 2



2 . 设 实 数 n ? 6 , 若 不 等 式 2 xm ? ( 2 ? x ) n ? 8 ? 0 对 任 意 x ? ?? 4,2? 都 成 立 , 则 .

2 3 . 若 函 数 f ( x ) ? x x ? a 在 区 间 ?0,2? 单 调 递 增 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围



4.定义函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? x ,若存在区间 ?a,0?( a ? 0) ,使函数在区间 ?a,0? 上的 值域为 ?ka,0? ,则实数 k 的最小值为
第 1 页



5 . 若 实 数 a , b, c , d 满 足 为 .

a 2 ? 2 ln a 3c ? 4 ? ? 1 , 则 (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 的 最 小 值 b d
本文档作者:南京一中 王镜宇

题型二:根、零点、极值点问题 1.已知 f ( x ) ? x ? 3 , g ( x ) ? me ,若方程 f ( x ) ? g ( x ) 有三个不相等的实根,则实
x 2

数 m 的取值范围是
3



2 . 已 知 函 数 f ( x ) ? x ? 4 x ? ax ? 2 恰 有 2 个 零 点 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 . x-1 ,x≥a, x 3.设函数 f(x)= e g(x)=f(x)-b.若存在实数 b,使得函数 g(x)恰有 3 个 -x-1,x<a, 零点,则实数 a 的取值范围为
3 2



4.已知使函数 y ? x ? ax ? 1(0 ? a ? ? ) 存在整数零点的实数 a 恰有 4 个,则实数 ? 的取值范围是
2



5 .若函数 f ( x ) ? ? ln x ? ax ? bx ? a ? 2b 有两个极值点 x1 , x2 ,其中 ?

1 ? a ?0, 2

b ? 0 , 且 f ( x2 ) ? x2 ? x1 , 则 方 程 2a[ f ( x)]2 ? bf ( x) ? 1 ? 0 的 实 数 根 的 个 数
为 . 本文档作者:南京一中 王镜宇

题型三:不等式问题

2 a 1.已知 f(x)=x3,g(x)=-x2+x- a,若存在 x0∈[-1, ](a>0),使得 f(x0)<g(x0),则 9 3 实数 a 的取值范围是 . 2.若对任意的 x∈D,均有 f1(x)≤f(x)≤f2(x)成立,则称函数 f(x)为函数 f1(x)到函数 f2(x)在 区间 D 上的“折中函数”.已知函数 f(x)=(k-1)x-1,g(x)=0,h(x)=(x+1)lnx,且 f(x) 是 g(x)到 h(x)在区间[1,2e]上的“折中函数”, 则实数 k 的取值范围为
2



3.若不等式 bx ? c ? 9 ln x ? x 对任意 x ? (0,?? ) ,b ? (0,3) 恒成立,则实数 c 的取值 范围是 . . 4.若 mx 3 ? ln x ? 1 对 ?x ? ? 0,1? 恒成立,则实数 m 的取值范围是
2

5 . 设 函 数 f ( x) ? 3 x ? 3? x ? 2 x , 则 满 足 ( x ? 2) f (log 1 x) ? 0 的 x 的 取 值 范 围 是 .

第 2 页

题型四:切线问题 1.直线 l 与函数 y=sinx(x∈[0,π])的图象相切于点 A,且 l∥OP,O 为坐标原点,P → → 为图象的极值点,l 与 x 轴交于 B 点,过切点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 C,则BA·BC = .

2. 设曲线 y ? ? ax ? 1? e x 在点 A( x0,y1 ) 处的切线为 l1 , 曲线 y ?

1? x 在点 B ( x0,y2 ) 处 ex


的切线为 l2 . 若存在 x0 ? ? 0, ? , 使得 l1 ? l2 , 则实数 a 的取值范围是 2
3 3. 从 x 轴上一点 A 分别向函数 f ( x) ? ? x 与函数 g ( x) ?

? 3? ? ?

2 引不是水平方向的切线 | x3 | ? x3

l1 和 l2 ,两切线 l1 、 l2 分别与 y 轴相交于点 B 和点 C , O 为坐标原点,记 ?OAB 的

面积为 S1 , ?OAC 的面积为 S2 ,则 S1 ? S2 的最小值为 曲线 y=f(x)在点 A,B 处的切线互相垂直,则实数 a 的值为 P 作切线与两个坐标轴交于 A、B 两点,则△AOB 的面积的最小值为 题型五:构造函数问题 1.已知函数 y ? f ( x ) 为 R 上的可导函数,当 x ? 0 时, f ' ( x ) ? 的函数 g ( x ) ? f ( x ) ?



4.设函数 f ( x ) ? ax ? sin x ? cos x ,若函数 f(x)的图象上存在不同的两点 A,B,使得 . . 5.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 是第一象限内曲线 y=-x3+1 上的一个动点,过点

f ( x) ? 0 ,则关于 x x

2 的零点个数为 x



2 . 设 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 可 导 函 数 , 且 满 足 f ( x ) ? xf ' ( x ) ? 0 . 则 不 等 式

f ( x ? 1) ?

x ? 1 f ( x 2 ? 1) 的解集为



3.已知定义域为 R 的偶函数 f ? x ? ,其导函数为 f ? ? x ? ,对任意 x ? ? 0, ?? ? ,均满足

xf ? ? x ? ? ?2 f ? x ? . 若 g ? x ? ? x 2 f ? x ? , 则 不 等 式 g ? 2 x ? ? g ?1 ? x ? 的 解 集
是 . 4.设函数 f ? ? x ? 是函数 f ? x ?? x ? R ? 的导函数, f ? 0 ? ? 1 ,且 3 f ? x ? ? f ? ? x ? ? 3 , 则 4 f ? x ? ? f ? ? x ? 的解集为
3 e


3

5.已知六个数 e ,3 , e , ? ,3 , ? ,将其按从小到大顺序排列为
e

?

?



第 3 页

题型六:综合性问题 1.已知函数 f ( x ) ?

1 2 x?t ,且函数 f ( x ) 在 x ? a , x ? b x ? 2tx ? 3 ln x , g ( x) ? 2 2 x ?3 1 ,若方程 3

处取得极值 (0 ? a ? b) ,函数 g ( x ) 在 ?? b,?a ? 上最大值比最小值大

f ( x) ? m 有三个不同的解,则实数 m 的取值范围是



2.设函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f (3x) ,且当 x ? [1,3) 时, f ( x) ? ln x .若在区间 [1,9) 内,存 在 3 个不同的实数 x1 , x2 , x3 ,使得 为
4

f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) ? ? ? t ,则实数 t 的取值范围 x1 x2 x3



3 . 若 方 程 x ? ax ? 4 ? 0 的 各 实 数 根 x1 , x2 ,? ? ? xk ( k ? 4) 所 对 应 的 点

? 4? ? ,则实数 a 的取值范 ? xi , x ? ?(i ? 1,2,? ? ?, k ) 均在直线 y ? x 的同侧(不包括直线上) i ? ?
围是 .

? 2 x3 ?1 ? , x ? ? ,1? ? ? ? x ?1 ?2 ? 4 .已知函数 f ( x ) ? ? ,函数 g ( x ) ? a sin x ? 2a ? 2( a ? 0) , 6 ?? 1 x ? 1 , x ? ?0, 1 ? ? ? ? 6 ? 2? ? 3
若 存 在 x1 , x2 ? ?0,1? , 使 得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 .
x

5 . 设 函 数 f ( x) ? e ? x ? a ( a ? R ) . 若 曲 线 y ? sin x 上 存 在 ( x0 , y0 ) 使 得

f ( f ( y 0 )) ? y 0 ,则 a 的取值范围是



本文档作者:南京一中

王镜宇

第 4 页

综合演练一
1.已知函数 f ( x ) ?

1 a ? (a ? R, x ? 0) ,若存在实数 m, n 使得 f ( x) ? 0 的解集恰为 ex x

2

[m, n] ,则实数 a 的取值范围为

2 . 已 知 f ( x ) ? x | x ? a | , 若 存 在 x ? ?1,2? , 使 f ( x ) ? 2 , 则 a 的 取 值 范 围 为 . 3 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 : f ( x ) ? f ?( x ) ? 1, f (0) ? 4, 则 不 等 式

e x f ( x ) ? e x ? 3 的解集为
4.当 0 ? x ?

. .

1 1 3 时, | ax ? 2 x |? 恒成立,则实数 a 的取值范围为 2 2

x 2 5 . 函 数 f ( x ) ? a ? x ( a ? 1) 有 三 个 不 同 的 零 点 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围





6 . 设 定 义 域 为 (0,?? ) 的 单 调 函 数 f ( x ) , 对 任 意 x ? (0,?? ) , 都 有

f [ f ( x) ? log 2 x] ? 6 , 若 x0 是 方 程 f ( x) ? f ?( x) ? 4 的 一 个 解 , 且
x0 ? (a, a ? 1)( a ? N * ) ,则实数 a =
. 7.对于函数 y ? f ( x ) ,若存在区间 [a, b] ,当 x ? [a, b] 时的值域为 [ka, kb] ( k ? 0) ,则称
y ? f ( x ) 为 k 倍值 函数.若 f ( x ) ? ln x ? x 是 k 倍值 函数,则 实数 k 的取 值范围




3

8. 已知 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ), ( x1 ? x2 ) 是函数 f ( x ) ? x ? | x | 图像上两个不同的点, 且 曲 线 y ? f ( x) 在 M , N 两 点 处 的 切 线 互 相 平 行 , 则 为 .
x 2

x2 x1 ? 的取值范围 x1 x2

9 .设函数 f ( x ) ? e ? (1 ? x ? kx )( x ? 0) .若对任意的 t ? 0 ,存在 s ? 0 ,使得当

x ? (0, s ) 时,不等式 f ( x) ? tx 2 恒成立,则实数 k 的取值范围是
10 . 已 知 函 数 f ( x ) 满 足 当 x ? ?1,2 ? 时 , f ( x ? 1) ?



1 12

? 1 ? f? ? , 且 x ? ?1,3? 时 , ? x ?1 ?

f ( x) ? ax ?1 ? 有两个不同的零点,则实 f ( x ) ? ln x ,若在区间 ? ,3? 内,函数 g ( x) ? x ?1 ?3 ?
数 a 的取值范围是 .

第 5 页

综合演练二
1. 已知函数 g ( x ) ? a ? x ( ? x ? e) 与 h( x ) ? 2 ln x 的图像上存在关于 x 轴对称的点, 则实数 a 的取值范围为 2.已知 a,b ? R,且 e
x ?1 2

1 e

. .
2

≥ ax ? b 对 x ∈R 恒成立,则 ab 的最大值是

3.函数 f ( x ) 在 ( ??, 0) 上的可导函数,其导函数为 f '( x ) ,且有 2 f ( x) ? xf '( x) ? x , 则不等式 ( x ? 2016) f ( x ? 2016) ? 9 f ( ?3) ? 0 的解集为
2



4.已知函数 f(x)= | sin x | -kx (x≥0,k∈R)有且只有三个零点,设此三个零点中的最大 值为 x0 ,则
x0 = (1 ? x ) sin 2 x0
2 0



5.若存在两个正实数 x、y,使得等式 x+a(y-2ex)(lny-1nx)=0 成立,其中 e 为自然 对数的底数,则实数 a 的取值范围为 .

6.定义在[1,+∞)上的函数 f(x)满足:①f(2x)=cf(x)(c 为正常数) ;②当 2≤x≤4 时,f(x) =1-|x-3|.若函数的所有极大值点均落在同一条直线上,则 c= .

7.设点 P 是曲线 y=x2 上的一个动点,曲线 y=x2 在点 P 处的切线为 l,过点 P 且与直 线 l 垂直的直线与曲线 y=x2 的另一交点为 Q,则 PQ 的最小值为 . 8.若关于 x 的不等式 xe x ? ax ? a ? 0 的解集为 ? m, n ?? n ? 0 ? ,且 ? m, n ? 中只有一个 整数,则实数 a 的取值范围是 .

? (2 x ? x 2 )e x , x ≤ 0, 9.已知函数 f ( x) ? ? 2 g ( x) ? f ( x) ? 2k ,若函数 g ( x ) 恰有两个不同的 ? ? x ? 4 x ? 3, x ? 0,

零点,则实数 k 的取值范围为 10.已知函数 f ( x ) ? ae
x ?1



,若方程 f ( x ) ? x ? a ? 0 有且仅有两个不相等 ?( 1 x ? R) .

的实根,则实数 a 的取值范围是

第 6 页

综合演练三
1.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) ? x ( ax ? 3) , 若函数 g ( x ) ? f ( x ) ? f ' ( x ) ,x ? [0,2] , 在 x ? 0 处取得最大值,则正数 a 的范围是
4 3
2


2 2

2 . 设 a, b ? R , 若 x ? 0 时 , 恒 有 0 ? x ? x ? ax ? b ? ( x ? 1)

, 则

ab ?



3. 若 f ? ? x ? 是f ? x ? 的导函数, f ? ? x ? ? 2 f ? x ?? x ? R ? , f ? 解集为 4.对于函数 f ( x ) ? .

?1? 2 ? ? e,则f ?ln x ? ? x 的 ?2?

1 3 a 2 | x | ? x ? (3 ? a ) | x | ?b ,若 f ( x) 有 6 个不同的单调区间, 3 2


则实数 a 的取值范围为 5 .已知函数 f ( x ) ?

x (0 ? x ? 1) ,其中点 M (t , f (t )) 处的切线 l , l 与 y 轴和直线

点 N (0,1) , 若使 △PQN 的面积为 b 时的点 M 恰好有两个, y ? 1 分别交于点 P, Q , 则实数 b 的取值范围为 6.设函数 ? . 的图像上存在两点 P, Q ,使得 △POQ 是以 O 为直角顶点

?? x 3 ? x 2 , x ? e ?a ln x, x ? e


的直角三角形(其中 O 为坐标原点) ,且斜边中点恰好在 y 轴上,则实数 a 的取值 范围是

?ln x, x ? 1 ? 7. 已知函数 f ( x ) ? ? 1 的图像在点 A(e,1) 处的切线与该函数的图像 ( x ? 2)( x ? a ), x ? 1 ? ?e
恰好有 3 个公共点,则实数 a 的取值范围为 .

? ? 3 ?t ? cos ? ? cos ? 8. 若存在 ? , ? ? R , 使得 ? , 则实数 t 的取值范围为 2 ? ?a ? t ? a ? 5 cos ?
为 .



9 . 若 关 于 x 的 方 程 x4 + ax3 + ax2 + ax + 1 = 0 有 实 数 根 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 10.三次函数 y ? f ( x ) 的两个极值点为 x1 , x2 . 且 P (x1 , f ( x1 ))与原点 重合, Q ( x2 , f ( x2 )) 又在曲线 y ? 1 ? 为 .

2 x ? x 2 上,则曲线 y ? f ( x) 的切线斜率的最大值的最小值

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