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任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式


一、任意三角形外接圆半径 设三角形各边边长分别为 a,b,c 外接圆半径为 R, (如右图所示)
a2 ? b2 ? c2 ? cos? cos ? ? sin ? sin ? 则 cos(? ? ? ) ? 2ab

c

R

b

(余弦定理)

b b 而 cos? ? 2 ? , sin ? ? R 2R a a , sin ? ? cos ? ? 2 ? R 2R

b2 R ? 4 R
2

α β a

R2 ? R
2

a2 4

b2 a2 2 R ? R ? a2 ? b2 ? c2 b a 4 ? 4 ? 即有: ? ? 2ab 2R 2R R R
2 2 2 2 a 2 ? b 2 ? c 2 ab ? (4R ? b )(4R ? a ) 即有: ? ab 2R 2

所以: ab ? 2 R 2 (

a2 ? b2 ? c2 ) ? (4 R 2 ? b 2 )(4 R 2 ? a 2 ) ab a2 ? b2 ? c2 2 ) ? 16R 4 ? 4(a 2 ? b 2 ) R 2 ? a 2 b 2 ab

即有:(ab) 2 ? 4 R 2 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 4 R 4 ( 所以: c 2 ? R 2 [4 ? ( 所以: R ?

a2 ? b2 ? c2 2 ) ] ,即: a 2b 2 c 2 ? R 2 [4a 2b 2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 2 ] ab

abc (a ? b ? c)(a ? b ? c)(a ? c ? b)(b ? c ? a)

而三角形面积: 4S ? (a ? b ? c)(a ? b ? c)(a ? c ? b)(b ? c ? a) (海伦公式) 所以,有: R ?
abc 4S

a b2 ? c2 ? a2 ? 2 R ,而 cos A ? ※ 另一求法,可用正弦定理,即: sin A 2bc

所以:

R?

a a ? ? 2 sin A 2 1 ? (cos A) 2

a 2 1? ( b ?c ?a 2 ) 2bc
2 2 2

?

abc 4b c ? (b 2 ? c 2 ? a 2 ) 2
2 2

二、任意三角形内切圆的半径 设三角形各边边长分别为 a,b,c 内切圆半径为 r, (如右图所示) 因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点, 所以,会有
?x ? z ? a a?b?c ? ? x ? y ? b ,解得 x ? 2 ?y ? z ? c ?

y c z r z a α x α R

y b x

1 ? (cos2? ) 2 sin 2? 显然: r ? x tan ? ,而 tan? ? ? 1 ? cos2? 1 ? cos2?
而由余弦定理有: cos 2? ?
a2 ? b2 ? c2 2ab

1? (
所以: tan? ?

a2 ? b2 ? c2 2 ) 2ab ? a2 ? b2 ? c2 1? 2ab

4(ab) 2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 2 (a ? b ? c)(a ? b ? c)

2 2 2 2 2 4(ab) 2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 2 a ? b ? c 4(ab) ? (a ? b ? c ) 即有: r ? ? ? 2 (a ? b ? c)(a ? b ? c) 2(a ? b ? c)

即: r ?

(a ? b ? c)(a ? b ? c)(a ? c ? b)(b ? c ? a) 4S 2S ? ? 2(a ? b ? c) 2(a ? b ? c) a ? b ? c


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