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函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用


高三年级数学学科学案 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
一、 学习目标 1、了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出函数 y=Asin(ωx+φ)的图 象,了解参数 A,ω,φ对函数图象变化的影响; 2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决 一些简单实际问题。 二、 知识回顾

1、简谐运动的有关概念 简谐运动图象 的解析式 y=Asin( ω x+ φ)(A>0, ω>0) 2、用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如表 所示 ωx+φ x y=Asin ω x+ φ) 0 A 0 -A 0 0 振幅 周期 频率 相位 初相

π
2

π

3π 2



3、函数 y=sinx 的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤

三、

课前热身
1 2

1、函数 y = sin x 的图象的一条对称轴的方程是 2、要得到函数 y = sin( 2 x ? ) 的图象,只须将 8 y = sin 2 x 的图象
3

π

3、把函数 y = sin( 2 x + ) 的图象向左平移
6

π

π
6

,所得图象的函数式为 数

4
f ( x) = A + B sin x, 若B < 0时, f ( x)的最大值是


3 1 , 最小值是 ? , 则A = _______ B = _______ . 2 2

5.函数 y = sin x与y = tan x的图象在[0,2π ] 上交点个数是__________. 四、 典例分析

例 1、已知函数 f ( x) = cos 2 x ? 2 sin x cos x ? sin 2 x 。 (1)在给定的坐标系中,作出函数 f ( x) 在区间 [ 0, π ] 上的图象 (2)求函数 f ( x) 在区间 [?

π
2

, 0] 上的最大值和最小值。

例 2、 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ< π )的图象与
2

x 轴的交点中, 相邻两个交点之间的距离为 π , 且图象上一个最低点为 M(
2

2π ,-2). 3

(1)求 f(x)的解析式; (2)当 x∈[

π
12

,

π
2

]时,求 f(x)的值域.

例 3、已知函数 f(x)= 3 sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π, ω>0)为偶函 数,且函数 y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 (1)求 f(

π
2



π
8

)的值; (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移

π
6

个单位后,再将

得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x) 的图象,求 g(x)的单调递减区间。

五、

练习反馈
π
3

1 、 1 ) 要 得 到 y = cos 2 x的图象, 只须把y = sin( 2 x ? ) 的 图 象 向 ______ 平 移 ( _______。 (2) y = sin x ? cos x的图象, 可由y = sin x + cos x 的图象向右平移_________得到。 2、函数 y = 3 sin( 2 x + )与y轴距离 最近的对称轴是___________。
6

π

r π? ? 3、函数 y = cos ? 2 x + ? + 1 的图象 F 按向量 a 平移到 F ' , F ' 的函数解析式 6? ? r 为 y = f ( x ) , 当 y = f ( x ) 为奇函数时,向量 a 可以等于
4、已知函数 f(x)=sin(ωx+ φ)(ω>0,的最高点和最低点的距离为 2 六、 课堂小结 。

π
2

≤φ≤

π
2

)的图象上的两个相邻

1 ,且过点(2, ? ),则函数 f(x)=______。 2

七、

课后巩固

(一) 基础练习 1、函数 f(x)=
2cos x ? 1 的定义域为___________ tan x + 1

2、 若方程 cos2x-2 3 sinxcosx=k+1 有解, k 的取值范围是______________ 则 3、函数 y=3sin(

π
3

-2x)的单调减区间是_____________

4 、 函 数 f(x)=5sin(2x+ θ ) 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 的 充 要 条 件 是 ________________ 5、若 0<α<β< 为____________ 6、给出命题: (1)函数 y=2sin ( -1; (2)函数 )在区间[0, ] 4 2 2 |x| 1 1 上是单调递增的; 函数 f(x)=sin2x- ( ) + 在 (4) (2008, +∞) 上恒在 f(x)> , 3 2 2 则正确命题的序号是_______________ 7、求函数 y =| sin x | + | cos x | 的周期,并画出其图象. y=sinπxcosπx 是周期为 2 的奇函数; 函数 y=sin(x+ (3)

π
4

,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b,则 a 与 b 的大小关系

π
3

-x)-cos(

π
6

+x)(x∈R)的最小值等于

π

π

8、若方程 | sin x | + cos | x | ? a = 0, 在[?π , π ] 上有 4 个解,求 a 的取值范围.

9、 若函数 f ( x) = 2 sin(ω x + ? ) ? 1 的图象与直线 y = ?3 的相邻的两个交点之间 的距离为π,则ω的一个可能的值为 。

10、将函数 y=f(x)sinx 的图象向右平移 T=

π
4

个单位后,再作关于 x 轴的 。
?2 ?

对称变换,得到函数 y = 1 ? 2sin 2 x 的图象,则 f(x)可以是

11、已知函数 f (x)=a+bsinx+ccosx(x∈R)的图象经过点 A(0,1),B ? π ,1? , R ? ? 且 b>0,又 f (x)的最大值为 2 2 -1. (1)求函数 f (x)的解析式; (2)由函数 y=f (x)的图象经过平移是否能得到一个奇函数 y=g(x)的图象? 若能,请写出平移过程;若不能,请说明理由.

12、如图,函数 y=2cos(ωx+θ), (x∈R,0≤θ≤ 点(0, 3 ) ,且在该点切线的斜率为-2。 (1)求θ和ω的值; (2)已知点 A( 的中点,当 y0=

π
2

)的图象与 y 轴交于

π
2

,0) ,点 P 是该函数图象上一点,点 Q(x0,y0)是 PA

3 π ,x0 ∈ [ , π ] 时,求 x0 的值。 2 2

13、如图为一个缆车示意图,该缆车半径为 4.8m,圆上最低点与地面距离为 0.8m,60 秒转动一圈,图中 OA 与地面垂直,以 OA 与地面垂直,以 OA 为始边,逆时 针转动 θ 角到 OB,设 B 点与地面距离是 h . (1)求 h 与 θ 间的函数关系式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒后到达 OB,h 与之间的函数关系式,并求 缆车到达最高点时用的最少时间是多少?

14、如图,

半圆 O 的直径为 2,A 为直径延长线

上一点,且 OA=2,B 为半圆周上任意一点,以 AB 为一边作等边ΔABC,问点 B 在什么位置时,四边形 OACB 的面积最大?其最大面积是多少?

(二) 拓展练习 15、已知函数 f ( x) = sin(ω x + ? ), 其中 ω > 0 , | ? |<
3π (I)若 cos cos, ? ? sin sin ? = 0, 求 ? 的值; 4 4

π
2

π

(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x) 的图像的相邻两条对称轴之间的距 离等于

π
3

,求函数 f ( x) 的解析式;并求最小正实数 m ,使得函数 f ( x) 的图像象

左平移 m 个单位所对应的函数是偶函数。

八、

学习反思


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