当前位置:首页 >> 数学 >>

(全国通用)2016高考数学二轮复习 专题三 第1讲 等差数列、等比数列的基本问题课件 理


第 1讲

等差数列、等比数列的基本问题

高考定位

等差数列与等比数列是最重要也是最基本的数列

模型,与数列相关的命题绝大部分最终都要归结到这两个模

型中来求解;同时数列问题又是以运算为主导,其概念、性
质都是建立在准确运算的基础上,因此要特别注意运算能力 的提

升,保证每一步运算正确.

真题感悟
1.(2015· 全国Ⅱ卷)已知等比数列 {an}满足a1=3,a1+a3+a5=

21,则a3+a5+a7=( B )
A.21
解析

B.42

C.63

D.84

设等比数列{an}的公比为 q,则由 a1=3,a1+a3+

a5=21 得 3(1+q2+q4)=21,解得 q2=-3(舍去)或 q2=2, 于是 a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42,故选 B.

2.(2015· 浙江卷)已知{an}是等差数列, 公差 d 不为零, 前n 项和是 Sn,若 a3,a4,a8 成等比数列,则( B ) A.a1d>0,dS4>0 C.a1d>0,dS4<0 B.a1d<0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0

解析 ∵a3, a4, a8 成等比数列, ∴(a1+3d)2=(a1+2d)· (a1 5 5 2 +7d),整理得 a1=-3d,∴a1d=-3d <0,又 S4=4a1 4×3 2d 2d2 + d=- ,∴dS4=- <0,故选 B. 2 3 3

3.(2015· 北京卷)设{an}是等差数列,下列结论中正确的是( C ) A.若 a1+a2>0,则 a2+a3>0 B.若 a1+a3<0,则 a1+a2<0 C.若 0<a1<a2,则 a2> a1a3 D.若 a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0

解析

A,B 选项易举反例,C 中若 0<a1<a2,∴a3>a2>

a1>0,∵a1+a3>2 a1a3,又 2a2=a1+a3,∴2a2>2 a1a3,即 a2> a1a3成立.

4.(2015· 陕西卷)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末 项 解析 a1,则 a1+2 015=2×1 010=2 020, 为 2 015由题意设首项为 ,则该数列的首项为 ________. ∴a1=5.

答案 5

考点整合
1.求通项公式的常见类型 (1)观察法: 利用递推关系写出前几项, 根据前几项的特点观察、 归纳、猜想出 an 的表达式,然后用数学归纳法证明. (2)利用前 n 项和与通项的关系
? ?S1 an=? ? ?Sn-Sn-1

(n=1), (n≥2).

(3)公式法:利用等差(比)数列求通项公式. (4)累加法:在已知数列{an}中,满足 an+1=an+f(n),把原递推 公式转化为 an+1-an=f(n),再利用累加法(逐差相加法)求解.

(5)叠乘法:在已知数列{an}中,满足 an+1=f(n)an,把原递推 an+1 公式转化为 a =f(n),再利用叠乘法(逐商相乘法)求解. n (6)构造等比数列法: 在已知数列{an}中, 满足 an+1=pan+q(其 中 p, q 均为常数, pq(p-1)≠0)先用待定系数法把原递推公式 q 转化为 an+1-t=p(an-t),其中 t= ,再利用换元法转化为 1-p 等比数列求解.

2.等差数列 (1)通项公式:an=a1+(n-1)d, n(a1+an) n(n-1) (2)求和公式:Sn= =na1+ d, 2 2 (3)性质:①若 m,n,p,q∈N*,且 m+n=p+q,则 am+an =ap+aq; ②an=am+(n-m)d; ③Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?,成等差数列.

3.等比数列 (1)通项公式:an=a1qn-1(q≠0); a1(1-qn) (2) 求和公式: q = 1 , Sn = na1; q≠1 , Sn = = 1-q a1-anq ; 1-q (3)性质:①若 m,n,p,q∈N*,且 m+n=p+q,则 am· an =ap· aq; ②an=am· qn-m; ③Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?,(Sm≠0)成等比数列.

热点一 等差、等比数列的有关运算 [微题型 1] 等差、等比数列的基本运算 【例 1-1】(1)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 S10=0, S15=25,则 Sn 的最小值为________. (2)(2015· 郑州模拟)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=5,Sm=-11,Sm+1=21,则 m 等于( A.3 B.4 C.5 D.6 )

解析

(1)设等差数列{an}的公差为 d,由已知

10×9 ? ?S10=10a1+ 2 d=0, 2 ? 解得 a1=-3,d= . 3 15 × 14 ?S =15a + 1 2 d=25, ? 15 n(n-1) n(n-1) 2 ∴Sn=na1+ d=-3n+ ×3 2 2 n2 10 1 25 2 = - n= (n-5) - . 3 3 3 3 25 当 n=5 时,Sn 最小值为- . 3

(2)由已知得 Sm-Sm-1=am=-16,Sm+1-Sm=am+1=32, a1-amq 故公比 q=-2,又 Sm= =-11,故 a1=-1, 1-q 又 am=a1qm 1=-16,代入可求得 m=5. 25 答案 (1)- 3 (2)C


探究提高

等差、等比数列的基本运算是利用通项公式、求

和公式求解首项a1和公差d(公比q),在列方程组求解时,要注
意整体计算,以减少计算量.

[微题型 2]

等差、等比数列的性质运算

【例 1-2】 (1)(2015· 武汉模拟)在等差数列{an}中, a1=-2 015, S12 S10 其前 n 项和为 Sn,若 12 - 10 =2,则 S2 015 的值为( A.2 014 B.2 015 C.-2 014 D.-2 015 )

(2)(2015· 潍坊模拟)在等比数列{an}中,公比 q=2,前 87 项和 S87=140,则 a3+a6+a9+?+a87=________.

解析

?Sn? (1)根据等差数列的性质,得数列? n ?也是等差数列, ? ?

S1 由已知可得 1 =a1=-2 015, S12 S10 由 - =2=2d,得公差 d=1. 12 10 S2 015 故2 015=-2 015+(2 015-1)×1=-1, ∴S2 015=-2 015.

(2) 法 一

a3 + a6 + a9 + ? + a87 = a3(1 + q3 + q6 + ? + q84) =

3 29 87 2 1 -( q ) a ( 1 - q ) 4 q 1 2 a1q · = = ×140=80. 3 2· 7 1-q 1+q+q 1-q

法二

设 b1=a1+a4+a7+?+a85,b2=a2+a5+a8+?+a86,b3

=a3+a6+a9+?+a87,因为 b1q=b2,b2q=b3,且 b1+b2+b3= 140, 所以 b1(1+q+q2)=140,而 1+q+q2=7,所以 b1=20,b3=q2b1 =4×20=80. 答案 (1)D (2)80

探究提高

在解决等差、等比数列的运算问题时,经常采用

“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.

【训练1】 (2015· 湖南卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=

1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=________.
解析 由 3S1 , 2S2 , S3 成等差数列知,4S2 = 3S1 + S3 ,可得 a3

=3a2,∴公比q=3,故等比数列通项an=a1qn-1=3n-1.
答案 3n-1

热点二

求数列的通项 由 Sn 与 an 的关系式求 an

[微题型 1]

2Sn 【例 2-1】 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1, n =an+1 1 2 2 -3n -n-3,n∈N*,求数列{an}的通项公式. 1 3 2 2 解 由题意,2Sn=nan+1-3n -n -3n,

1 2 3 2 所以, 当 n≥2 时, 2Sn-1=(n-1)an-3(n-1) -(n-1) -3(n-1), 1 2 2 两式相减得 2an=nan+1-(n-1)an- (3n -3n+1)-(2n-1)- , 3 3

整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1), an+1 an a2 a1 即 - n =1,又 2 - 1 =1, n+1
?an? a1 ? ? 故数列 n 是首项为 1 =1,公差为 ? ?

1 的等差数列,

an 所以 n =1+(n-1)×1=n, 所以 an=n2, 所以数列{an}的通项公式为 an=n2,n∈N*.

探究提高

给出Sn与an的递推关系求an,常用思路是:一是利

用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为an的递推关系,再求其通项公式; 二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.

[微题型 2]

已知 an 与 an+1 的递推关系求 an

【例 2-2】 (1)(2015· 合肥模拟)已知数列{an}中, a1=1, an+1=an(1 -nan+1),则数列{an}的通项公式为( n2-n+2 A.an= 2 2 C.an= 2 n -n+1 )

n2-n+1 B.an= 2 2 D.an= 2 n -n+2

2 (2)已知正项数列{an}满足 a1=1,(n+2)a2 - ( n + 1) a + n 1 n+anan+1

=0,则 an=________. 2an (3)已知 a1=4,an+1= ,则 an=________. 2an+1

解析

1 1 (1)原数列递推公式可化为 - =n,令 bn=a , an+1 an n

1

则 bn+1-bn=n,因此 bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+?+ (b3-b2)+(b2-b1)+b1=(n-1)+(n-2)+?+2+1+1= n2-n+2 2 .从而 an= 2 . 2 n -n+2
2 (2)由(n+2)a2 - ( n + 1) a + n 1 n+anan+1=0,

?an+1?2 an+1 an+1 n+1 ? ? 得(n+2)? ? + a =n+1,所以 a =n+2. ? an ? n n

a2 2 2 an an-1 n n-1 又 a1=1,则 an= · · ?· a1 = · · ?· 1= . a1· 3· an-1 an-2 n +1 n n+1 故数列{an}的通项公式 an= 2 . n+1

2an 1 1 1 1 (3)∵an+1= , 两边取倒数得 = +1, 设 bn=a , 则 bn+1= bn+1, 2 2an+1 an+1 2an n bn+1-2 1 1 1 7 则 bn+1-2=2(bn-2),∴ = ,故{bn-2}是以 b1-2=a -2=-4为首 bn-2 2 1
? 7??1?n-1 ? 7??1?n-1 1 1 项, 为公比的等比数列.∴bn-2=?-4??2? ,即a -2=?-4??2? , 2 ? ?? ? ? ? ? ? n

2n+1 得 an= n+2 . 2 -7

答案 (1)D

2 (2) n+1

2n+1 (3) n+2 2 -7

探究提高

第(1)小题考查了通过构造新数列求数列的通项,其

过程是通过换元构造新的数列,得到bn+1-bn=n,然后利用累 加法求得数列的通项.事实上,形如bn+1-bn=f(n),其中f(n)=k 或多项式(一般不高于三次)的递推公式,用累加法即可求得数 列的通项公式.

【训练 2】 (2015· 石家庄模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 1 满足 an+2Sn· Sn-1=0(n≥2,n∈N ),a1= . 2
*

?1? (1)求证:?S ?是等差数列; ? n?

(2)求数列{an}的通项公式.

(1)证明 由 an+2Sn· Sn-1=0(n≥2,n∈N*), 得 Sn-Sn-1+2Sn· Sn-1=0,
?1? 1 1 * 所以S - =2(n≥2,n∈N ),故?S ?是等差数列. ? n? Sn-1 n

(2)解

1 由(1)知,S =2n, n

1 1 1 1 故 Sn=2n, an=Sn-Sn-1=2n- =- (n≥2, 2(n-1) 2n(n-1) n∈N*), ?1 ?2,n=1, 所以 an=? 1 ?- ,n≥2. 2 n ( n - 1 ) ?

热点三

等差、等比数列的判定与证明

【例 3】 数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且对任意正整数 n, 点(an+1,Sn)在直线 2x+y-2=0 上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)是否存在实数
? λ? λ, 使得数列?Sn+λn+2n?为等差数列?若存在, ? ?

求出 λ 的值;若不存在,请说明理由.



(1)由题意,可得 2an+1+Sn-2=0.①

当 n≥2 时,2an+Sn-1-2=0.② an+1 1 ①-②,得 2an+1-2an+an=0,所以 a =2(n≥2). n 1 因为 a1=1,2a2+a1=2,所以 a2= . 2 1 所以{an}是首项为 1,公比为2的等比数列. 所以数列{an}的通项公式为
?1?n-1 an=?2? . ? ?

1 1- n 2 1 (2)由(1)知,Sn= =2- n-1. 1 2 1-2
? λ? 若?Sn+λn+2n?为等差数列,则 ? ?

λ λ λ S1+λ+2,S2+2λ+22,S3+3λ+23
?3 9λ? 3λ ? ? 2 2+ 4 =1+ 2 ? ?

成等差数列,则

? 9λ ? 3λ 25λ ? ? 2 S2+ 4 =S1+ 2 +S3+ 8 ,即 ? ?

7 25λ 2 +4+ 8 ,解得 λ=2.又 λ=2 时,Sn+2n+2n=2n+2, 显然{2n+2}成等差数列,故存在实数 λ=2, λ 使得数列{Sn+λn+ n}成等差数列. 2

探究提高

判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法
? an+1? ? an+1-an? 为同 或 ? an ? ? ?

(1)定义法: 对于 n≥1 的任意自然数, 验证 一常数.

(2)通项公式法:①若 an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d 或 an=kn +b(n∈N*),则{an}为等差数列;②若 an=a1qn-1=amqn-m 或 an =pqkn+b(n∈N*),则{an}为等比数列. (3)中项公式法:①若 2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2),则{an}为
* 等差数列; ②若 a2 = a · a ( n ∈ N , n≥2), 则{an}为等比数列. - + n n 1 n 1

【训练 3】 (2015· 江苏卷改编)设 a1,a2,a3,a4 是各项为正数且 公差为 d(d≠0)的等差数列. (1)证明:2a1,2a2,2a3,2a4 依次构成等比数列;
3 4 (2)是否存在 a1,d,使得 a1,a2 , a , a 2 3 4依次构成等比数列?

并说明理由.
(1)证明

2an+1 因为 =2an+1-an=2d(n=1,2,3)是同一个常数, 2an

所以 2a1,2a2,2a3,2a4 依次构成等比数列, (2)解 令 a1+d=a,则 a1,a2,a3,a4 分别为 a-d,a,a+d, a+2d(a>d,a>-2d,d≠0).

3 4 4 假设存在 a1,d,使得 a1,a2 2,a3,a4依次构成等比数列,则 a =

d (a-d)(a+d) , 且(a+d) =a (a+2d) .令 t=a, 则 1=(1-t)(1+t)3,
3 6 2 4

? 1 且(1+t) =(1+2t) -2<t<1,t≠0?, ? ?
6 4?

?

化简得 t3+2t2-2=0(*),且 t2=t+1. 将 t2=t+1 代入(*)式,t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3t= 1 4t+1=0,则 t=- . 4 1 显然 t=-4不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立.因此不存 3 4 在 a1,d,使得 a1,a2 2,a3,a4依次构成等比数列.

1.在等差 ( 比) 数列中,a1 ,d(q) ,n,an ,Sn 五个量中知道其中
任意三个,就可以求出其他两个.解这类问题时,一般是转化 为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算. 2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现,是 解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识地

去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进
行适当变形.

3.应用关系式

? ?S1,n=1, an=? 时,一定要注意分 ? ?Sn-Sn-1,n≥2

n=1,n≥2

两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起. a+c 4.三个数 a, b, c 成等差数列的充要条件是 b= 2 , 但三个数 a, b,c 成等比数列的充要条件不是 b2=ac.


相关文章:
2016高三文数二轮复习专题三第1讲等差数列、等比数列(选择、填空题型)
2016高三文数二轮复习专题三第1讲等差数列等比数列(选择、填空题型)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016高三文数二轮专题复习 ...
2016高考数学二轮复习 专题3 数列 第一讲 等差数列与等比数列 理
2016高考数学二轮复习 专题3 数列 第一讲 等差数列等比数列 理_数学_高中教育_教育专区。专题三 第一讲 数 列 等差数列等比数列 1.等差数列的定义. 数列{...
2016高考数学二轮复习 专题3 数列 第一讲 等差数列与等比数列配套作业 文
2016高考数学二轮复习 专题3 数列 第一讲 等差数列等比数列配套作业 文_数学_高中教育_教育专区。第一讲 等差数列等比数列配套作业 一、选择题 1.已知等差...
2016届高考数学(理)二轮专题复习同步:专题3 第1讲 等差数列、等比数列的基本问题(含解析)(山东专用)
2016高考数学(理)二轮专题复习同步:专题3 第1讲 等差数列等比数列的基本问题(含解析)(山东专用)_总结/汇报_实用文档。第1讲一、选择题 等差数列、等比数列...
2015高考数学二轮复习 专题强化训练3 第1讲 等差、等比数列的基本问题 文(含解析)
2015高考数学二轮复习 专题强化训练3 第1讲 等差等比数列的基本问题 文(含解析)_数学_高中教育_教育专区。专题三 第1讲 数列 等差等比数列的基本问题 (建议...
【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题4 数列 第1讲 等差数列与等比数列 理
【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题4 数列 第1讲 等差数列与等比数列 理_数学_高中教育_教育专区。第1讲 等差数列与等比数列 等差、等比数列的基本...
2014届高考数学(理科)二轮复习专题讲义:专题三 第1讲 等差数列、等比数列
2014 届高考数学(理科)二轮复习专题讲义:专题三 第 1 讲 等差数列、等比数列 等差、等比数列的基本运算 一、基础知识要记牢 等差数列 通项公式 an=a1+(n-1)...
高考数学二轮专题复习——专题三 数列第1讲
高考数学二轮专题复习——专题三 数列第1讲_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第1讲一、选择题 等差数列等比数列的基本问题 1.(2015· 焦作模拟)在等差数列{...
【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习 专题三 第2讲 数列的求和及综合应用
【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习 专题三 第2讲 数列的求和及综合应用_数学_高中教育_教育专区。第2讲、选择题 数列的求和及综合应用 1 1 1 1 ...
更多相关标签: