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直线与圆知识点以及经典例题总结归纳


一. 知识框图:

?圆的有关性质 ?直线和圆的位置关系 ? 圆? ?圆和圆的位置关系 ?正多边形和圆 ?

? ?点和圆的位置关系(这是重点) ?圆的定义 ? ?不在同一直线上的三点确定一个圆 ? ? ?轴对称性—垂径定理(这是重点) ? ? 圆的有关性质 ? ?圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 ? ?圆心角定理 ?圆的有关性质 ? ? ? ? 旋转不变性 ? ? ? ?圆周角定理(这是重点) ? ? ?圆内接四边形(这是重点) ? ? ? ?

?相离 ? ? ?相交 ? ? 切线的性质(这是重点) 直线和圆的位置关系 ? ? ? 切线的判定(这是重点) ?相切 ? ? ? ? 弦切角(这是重点) ? ? ? 和圆有关的比例线段(这是重点难点) ?
? ? ?外离 ?内含 ? 圆和圆的位置关系 ?相交 ? ? 内切(这是重点) ?相切 ? ? ? 外切(这是重点) ? ? ? 两圆的公切线 ?
? 正多边形定义 ? ? ? ?正多边形和圆 ?正多边形和圆 ? ? ? 正多边形的判定及性质 ? ? 正多边形的有关计算(这是重点) 正多边形和圆 ? ? ? ? 圆周长、弧长(这是重点) ? ? ?圆的有关计算 ?圆、扇形、弓形面积(这是重点) ? ? ? 圆柱、圆锥侧面展开图(这是重点) ?

直线与圆的位置关系
教学目标:1. 了解直线与圆的三种位置关系, 掌握运用圆心到直线的距离的数量关系或用直 线与圆的交点个数来确定直线与圆的三种位置关系的方法。 2.了解切线与割线的概念。 3.了解圆与圆的三种位置关系,掌握运用圆心到圆心的距离的数量关系来确定圆与 圆的三种位置关系的方法。 重点: 理解直线与圆、圆与圆的相交、相切、相离三种位置关系。 难点:直线与圆、圆与圆的三种位置关系判断方法的运用; 【知识精要】 知识点 1 直线与圆的位置关系的定义及有关概念 (1) 圆的割线:直线和圆有两个公共点时,叫做直线与圆相交,这时直线叫做圆的割线。 (2) 圆的切线:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切,这时直线叫做圆的切线, 唯一的公共点叫做切点。 (3) 直线和圆相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。

。 O

。O

。O

L
图1 图2

L
图2

L

例题 1 下列说法正确的有( ① 圆的切线只有一条; ) ② 若直线与圆不相切,则直线与圆相交;

③若直线与圆有公共点,则直线与圆相交;④过圆的内接三角形的顶点的直线是圆的切线。 (A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)0 个 例题 2 如图所示,PA、PB 是⊙O 的切线,切点分别是 A、B,点 C 在⊙O 上。如果∠P=50 那么∠ACB 等于( (A)40
0 0,

) (B)50
0

(C)65

0

(D)130

0

B

.O

P

C A 知识点 2 直线与圆的位置关系的性质和判定 如果⊙O 的半径为 r,圆心 O 到直线 l 的距离为 d,那么 (1)直线 l 与⊙O 相交 (2)直线 l 与⊙O 相切 (3)直线 l 与⊙O 相离 例题 3 设 r 为圆的半径,d 为圆心到直线的距离,直线与圆的位置关系如下表: 位置关系 公共点个数 数量关系 相离 0 d>r 相切 1 d=r 相交 2 d<r d <r; d =r; d> r;

例题 4 菱形对角线的交点 O, O 为圆心, O?到菱形一边的距离为半径的圆与其它几边的关系为 以 以 ( ) B.相离 C.相切 D.不能确定

A.相交

例题 5 (2009 年新疆) 如图,?ACB ? 60°,半径为 1cm 的 ⊙O 切 BC 于点 C ,若将 ⊙O 在 CB 上 向右滚动,则当滚动到 ⊙O 与 CA 也相切时,圆心 O 移动的水平距离是__________cm.

知识点 3

切线的判定及性质

1)切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。 (注 由性质定理可得出以下结论(1)圆的切线垂直于经过切点的半径; (2)切线与圆只有一个公共点; (3)切线与圆心的距离等于半径。 )

2)切线的判定定理:经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 (注证明圆的切线时, 常用的添加辅助线的方法有①若所给直线与圆有公共点, 则联接过公 共点的半径,证半径与直线垂直,简记为联半径,证垂直;②若所给直线与圆没有公共点, 则过圆心做直线的垂线段,证明垂线段的长等于半径,简记为做垂直,证半径。 )

例题 5 判定切线的方法有三种: ①利用切线的定义: 即与圆有 切线。 ②到圆心的距离等于 直 半径 惟一公共点 的直线是圆的

的直线是圆的切线。 ③经过半径的外端点并且 垂

于这条半径的直线是圆的切线。 切线的五个性质:①切线与圆只有 一个 公共点;②切线到圆心的距离等于圆的 ;④经过圆心垂直于切线的直线必过 圆心 。 切

半径 点

;③切线垂直于经过切点的

半径

。⑤经过切点垂直于切线的直线必过

例6 (2009 年恩施市)如图,在等腰三角形 ABC 中, AB ? AC , O 为 AB 上一点,以 O 为圆 心、 OB 长为半径的圆交 BC 于 D , DE ? AC 交 AC 于 E . (1)求证: DE 是 ⊙O 的切线; (2)若 ⊙O 与 AC 相切于 F , AB ? AC ? 5cm, A ? sin

3 ,求⊙O 的半径的长. 5

例题 7

如图,△ABC 为等腰三角形,AB=AC,O 是底边 BC 的中点,⊙O 与腰 AB 相切于点

D,求证 AC 与⊙O 相切.

例8

已知 Rt△ABC 的斜边 AB=8cm,直角边 AC=4cm.

(1)以点 C 为圆心作圆,当半径为多长时,AB 与⊙C 相切?

(2)以点 C 为圆心,分别以 2cm,4cm 为半径作两个圆,这两个圆与 AB 分别有怎样的位置关系?

A ┐

C

B

例 9、如下图,AB 是⊙O 的直径,∠ABT=45°,AT=AB.求证:AT 是⊙O 的切线.

自我检测
1.已知⊙O 的半径为 5 ㎝,点 P 到圆心 O 的距离为 6 ㎝,那么点 P 的位置( A.一定在⊙O 的内部 C.一定在⊙O 的上 B.一定在⊙O 的外部 D.不能确定 )

2.如图,AB 是圆 O 的直径,AC 是圆 O 的切线,A 为切点,连结 BC 交圆 O 于点 D,连结 AD, 若∠ABC=45°,则下列结论正确的是(
1 A. AD ? BC 2

) D. AD ? DC

B. AD ?

1 AC 2

C. AC ? AB

3.一个钢管放在 V 形架内,右图是其截面图,O 为钢管的圆心.如果钢管的半径为 25 cm, ∠MPN=60?,则 OP=( A.50 cm ) C.

B.25 3 cm

50 3 cm 3

D.50 3 cm

4.⊙O 的半径为 4 ㎝,若线段 OA 的长为 10 ㎝,则 OA 的中点 B 在⊙O 的____;若线段 OA 的 长为 7 ㎝,则 OA 的中点 B 在⊙O 的____.外, 5.如图,等边三角形 ABC 的内切圆半径为 3,则 △ABC 的周长为 .

6.如图,∠ABC=90°,O 为射线 BC 上一点,以点 O 为圆心、 1 BO 长为半径作⊙O,当射线 2

BA 绕点 B 按顺时针方向旋转

度时与⊙0 相切.

7.如图,等腰 △OAB 中, OA ? OB ,以点 O 为圆心作圆与底边 AB 相切于点 C . 求证: AC ? BC .

自测答案:BAA 内

18 3

60 或 120

精选习题 一、填空题: 1.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=12cm,BC=5cm,以点 C 为圆心,6cm 的长为半径的圆与直线 AB 的位置关系是________. 2.如图 1,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,⊙A 与 BC 相切于点 D,与 AB 相交于点 E,则∠ADE 等于____度.

A
A E B
(1)

A

E
C

O

C D B

P

C

O B
(3)

P

D

(2)

3.如图 2,PA、PB 是⊙O 的两条切线,A、B 为切点,直线 OP 交⊙A 于点 D、E,交 AB 于 C.图中 互相垂直的线段有_________(只要写出一对线段即可). 4.已知⊙O 的半径为 4cm,直线 L 与⊙O 相交,则圆心 O 到直线 L 的距离 d 的取值范围是____. 5.如图 3,PA、PB 是⊙O 的切线,切点分别为 A、B,且∠APB=50°,点 C 是优弧 ? 上的一点,则∠ACB 的度数为________. AB 6.如图,⊙O 为△ABC 的内切圆,D、E、F 为切点,∠DOB=73°, ∠DOE=120°, 则∠DOF=_______度,∠C=______度,∠A=_______度. 二、选择题: 7.若∠OAB=30°,OA=10cm,则以 O 为圆心,6cm 为半径的圆与直线 AB 的 位置关系是( A.相交 ) B.相切 C.相离 D.不能确定

A F O D E

B

C

8.给出下列命题:①任意三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆; ②任意一个圆一 定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形;③任意一个三角形一定有一个内切圆,并 且只有一个内切圆;④任意一个圆一定有一个外切三角形, 并且只有一个外切三角形,其 中真命题共有( A.1 个 ) C.3 个 D.4 个 ) D.AB 是直线,B 是切点

B.2 个

9.如 L 是⊙O 的切线,要判定 AB⊥L,还需要添加的条件是( A.AB 经过圆心 O B.AB 是直径

C.AB 是直径,B 是切点

10.设⊙O 的直径为 m,直线 L 与⊙O 相离,点 O 到直线 L 的距离为 d,则 d 与 m 的关系是( A.d=m B.d>m C.d>

)

m 2

D.d<

m 2
)

11.在平面直角坐标系中,以点(-1,2)为圆心,1 为半径的圆必与( A.x 轴相交 B.y 轴相交 C.x 轴相切 D.y 轴相切

A D

12.如图,AB、AC 为⊙O 的切线,B、C 是切点,延长 OB 到 D, 使 BD=OB,连接 AD,如果∠DAC=78°,那么∠ADO 等于( A.70° B.64° C.62° D.51° )

C O

B

三、解答题: 13.如图,AB 是半圆 O 的直径,C 为半圆上一点,过 C 作半圆的切线,连接 AC, 作直线 AD,使∠ DAC=∠CAB,AD 交半圆于 E,交过 C 点的切线于点 D. (1)试判断 AD 与 CD 有何位置关系,并说明理由;(2)若 AB=10,AD=8,求 AC 的长.
D E C

A

O

B

14.如图,BC 是半圆 O 的直径,P 是 BC 延长线上一点,PA 切⊙O 于点 A,∠B=30°. (1)试问 AB 与 AP 是否相等?请说明理由.(2)若 PA= 3 ,求半圆 O 的直径.

A

B

O

C

P

15.如图,∠PAQ 是直角,半径为 5 的⊙O 与 AP 相切于点 T,与 AQ 相交于两点 B、C. (1)BT 是否平分∠OBA?证明你的结论. (2)若已知 AT=4,试求 AB 的长.

Q C O B P T A

归纳总结: 1.垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论 1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理,简称 2 推 3 定理:此定理中共 5 个结论中,只要知道其中 2 个即 可推出其它 3 个结论,即: ① AB 是直径 ② AB ? CD ③ CE ? DE ④ 弧 BC ? 弧 BD ⑤ 弧 AC ? 弧 AD
A

中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。 推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙ O 中,∵ AB ∥ CD ∴弧 AC ? 弧 BD 2.切线的性质与判定定理 (1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:∵ MN ? OA 且 MN 过半径 OA 外端 ∴ MN 是⊙ O 的切线
C O A B
C

D
O E D B

O

(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论 1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论 2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理: 即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 3.切线长定理 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等, 这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
O B

M

A

N

即:∵ PA 、 PB 是的两条切线 ∴ PA ? PB

P A

PO 平分 ?BPA

4.三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心:是三角形三个角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心,在三角形内 部,它到三角形三边的距离相等,通常用“I”表示. (2)三角形的外心:是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心,锐角三角形外 心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形外心在三角形外部,三角形外 心到三角形三个顶点的距离相等,通常用 O 表示. (3)三角形重心:是三角形三边中线的交点,在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点 距离的 2 倍,通常用 G 表示. (4)垂心:是三角形三边高线的交点. 5.辅助线总结 圆中常见的辅助线 1) .作半径,利用同圆或等圆的半径相等. 2) .作弦心距,利用垂径定理进行证明或计算,或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系 进行证明. 3) .作半径和弦心距,构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算. 4) .作弦构造同弧或等弧所对的圆周角. 5).作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角. 6).遇到切线,作过切点的弦,构造弦切角. 7).遇到切线,作过切点的半径,构造直角. 8).欲证直线为圆的切线时,分两种情况:(1)若知道直线和圆有公共点时,常连结公共点 和圆心证明直线垂直;(2)不知道直线和圆有公共点时,常过圆心向直线作垂线,证明垂线 段的长等于圆的半径. 9).遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点. 10).遇到三角形的内心,常作:(1)内心到三边的垂线;(2)连结内心和三角形的顶点. 11).遇相交两圆,常作:(1)公共弦;(2)连心线. 12).遇两圆相切,常过切点作两圆的公切线. 13).求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线,将公切线平移成直角三角形的一条直角 边.


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