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云南省曲靖一中2009届高三高考冲刺卷(八)(数学理)


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云南省曲靖一中 2009 届高三高考冲刺卷(八) 理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符台题目要求

的. 1.已知全集 U ? Z , A ? {?1,0,1, 2}, B ? {x | x ? x},则 A ? CU B 为
2

A.{1,2} 2.已知复数 z ? 1 ? i ,则 A.2

B.{ ?1 ,2)

C.{ ?1 ,0)

D.{ ?1 ,0,2)

z2 等于 z ?1
B. ?2 C. 2i D. ? 2i

x2 y 2 3. 已知两个正数 a, b(a ? b) 的等差中项为 5, 等比中项为 4, 则椭圆 2 ? 2 ? 1 的离心率 e a b
等于

A.

15 8

B.

17 8

C.

15 4

D.

17 4

4.在平面直角坐标系中,已知向量 AB ? (3, ?1), n ? (2,1) ,且 n ? AC ? 7 ,那么 n ? BC 等 于 A.2 或 ?2 B.2 C. ?2 D.0

??? ?

??? ?

??? ?

? x ? y ? 2 ? 0. y ? 5.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 1 ,则 的取值范围是 x ?x ? y ? 7 ? 0 ?
A. [ , 6] C. (??,3] ? [6, ??) 6.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? A.16 B.24

9 5

B. (??, ] ? [6, ??) D.[3,6]

5 9

1 , S4 ? 20 ,则 S6 等于 2
C.36 D.48

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7. P 为矩形 ABCD 所在平面外一点,且 PA ? 平面 ABCD, PB ? 2 2, PC ? 17, PD ?

13 ,则四棱锥 P ? ABCD 的体积等于
A.2 B.4 C.6 D.12

8.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,若当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? lg x ,则满足 f ( x) ? 0 的

x 取值范围是
A. (0,1) C. (?1,0) ? (1, ??) B. (1, ?? ) D. (??, ?1) ? (1, ??)

9.已知定点 A, B ,且 | AB |? 4 ,动点 P 满足 | PA | ? | PB |? 3 ,则 | PA | 的最小值为

7 D.5 2 4 10.某一批油菜种子,如果每一粒种子发芽的概率是 ,那么种下 4 粒种子恰有 2 粒发芽 5
A. B. C. 的概率是 A.

1 2

3 2

16 625

B.

96 625

C.

192 625

D.

256 625

11.已知圆的方程为 x2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 0 ,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为

AC 和 BD ,则四边形 ABCD 的面积为
A. 10 6 B. 20 6 C. 30 6 D. 40 6

12. 棱长为 1 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 及其内部一动点 P , 集合 Q ? {P || PA |? 1} , Q 则 1 构成的几何体表面积为 A.

? 4

B.

? 2

C. ?

D.

5? 4

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题。每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13.已知 sin ? ? cos ? ?

1 ? 3? , ?? ? ,则 cos 2? ? 5 2 4

. .

8 2 6 14.已知 (1 ? kx ) ( k 是正整数)的展开式中, x 的系数小于 120,则 k ?

15.设函数 f ( x) ? log2 ( x ? 3) 的图象为 C1 ,函数 y ? g ( x) 的图象为 C2 ,若 C2 与 C1 关于

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直线 y ? x 对称,则 f (1) ? g (1) ? 16. 已知函数 f ( x) ? 2 x ?
3



1 2 x ? m( m 为常数) 图象上 A 处的切线与直线 x ? y ? 3 ? 0 的 2


夹角为 45°,则点 A 的横坐标为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知 ?ABC 的面积为 3,且满足 0 ? AB ? AC ? 6 .设 AB 与 AC 的夹角为 ? . (1)求 ? 的取值范围 M ; (2)当 ? ? M 时,求函数 f (? ) ? 2sin (
2

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

?
4

? ? ) ? 3 cos 2? 的最小值和最大值.

18. (本小题满分 12 分) 某商场准备在五一劳动节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从 3 种服装 商品、2 种家电商品、4 种日用商品中,选出 3 种商品进行促销活动. (1)试求选出的 3 种商品至少有一种日用商品的概率; (2)商场对选出的 A 商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价 格提高 180 元,同时允许顾客有 3 次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都可获得一定数额的 奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否是等概率的. 请问:商场应将中奖奖金数额最高定为多少元,才能使促销方案对自己有利?

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19. (本小题满分 12 分) 如 图 , 四 面 体 ABCD 中 , O 是 BD 的 中 点 ,

CA ? CB ? CD ? BD ? 2 , AB ? AD ? 2 .
(1)求证: AO ? 平面 BCD ; (2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小; (3)求二面角 O ? AC ? D 的大小.

20. (本小题满分 12 分) 已知 a ? 0 且 a ? 1 ,数列 {an } 中, a1 ? a,

an ?1 ? a(n ? N ? ) ,令 bn ? an ? log2 an . an

(1)若 a ? 2 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ; (2)若 bn?1 ? bn , n ? N ,求 a 的取值范围.
?

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21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,其中 F2 也是抛物线 a 2 b2
5 . 3

C2 : y 2 ? 4x 的焦点, M 是 C1 与 C2 在第一象限的交点,且 | MF2 |?
(1)求椭圆 C1 的方程;

(2)已知菱形 ABCD 的顶点 A, C 在椭圆 C1 上,顶点 B, D 在直线 7 x ? 7 y ? 1 ? 0 上, 求直线 AC 的方程.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 1 ? ax (a ? 0, x ? 0) ,该函数图象在点 ( x0 , f ( x0 )) 的切线为 l ,设切
2

线 l 交 x 轴、 y 轴分别为 M ( x1 ,0) 和 N (0, y2 ) 两点. (1)将 ?MON ( O 为坐标原点)的面积 S 表示为 x0 的函数 S ( x0 ) ; (2)若函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交于点 T (t , 0) ,则 x1 与 t 的大小关系如何?请证明 你的结论; (3)若在 x0 ?

1 处, S ( x0 ) 取的最小值,求此时 a 的值及 S ( x0 ) 的最小值. 2

参考答案
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1.B 11.B

2.A 12.D

3.C

4.B

5.A

6.D

7.B

8.C

9.C

1 0.B

1.? B ? {0,1},? A ? CU B ? {?1, 2} . 2.?

z2 ?2i ? ?2 z ? 1 ?i

2 3.? a ? b ? 10, ab ? 16,? a, b 是方程 x ? 10 x ? 16 ? 0 的根,? x ? 2 或 8,又 a ? b ,

? a ? 8, b ? 2, c ? a 2 ? b2 ? 2 15,? e ?

c 15 . ? a 4

4.? n ? BC ? n ? ( AC ? BC) ? n ? AC ? nAB ? 7 ? 5 ? 2 . 5.画出可行域,如图,

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

y 可看为区域内的点与(0,0)连线的斜率, x

(

y 9 y ) i n? k A ? , ( m 0 x 5 x y 9 ? [ , 6] . x 5

) m? x B O? . 6 a k

6.? d ? 3,? S6 ? 48 7.在 Rt ?PBC 中, BC ? 3 ,在 Rt ?PCD 中, CD ? 2 , 在 Rt ?ABC 中, AC ? 13 ,在 Rt ?PAC 中, PA ? 2 ,?V ? 8. f ( x ) 的图象如图所示

1 ? 3? 2 ? 2 ? 4 . 3

? f ( x) ? 0 的解集为 (?1,0) ? (1, ??) .
9.由 | PA | ? | PB |? 3 知 P 点的轨迹是以 A , B 为焦点的双曲线一支.? 2a ? 3, 2c ? 4 ,

3 7 ? a ? , c ? 2,?| PA |min ? a ? c ? . 2 2 1 2 96 2 4 2 10.由独立重复试验的概率 P ? C4 ( ) ? ( ) ? . 5 5 625
11.设 E (3,5) ,圆为 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 25 最长弦 AC 为直径,最短弦 BD 的中点为 E ,
2 2

S ABCD ?

? 1 、半径为 1 的扇形面积与半径为 1 的球面积的 之 8 2 1 1 5? 2 2 和,即表面积为 3 ? ? ?1 ? ? 4? ?1 ? . 4 8 4
12.几何体的表面积是三个圆心角为
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1 1 | AC | ? | BD |? ?10 ? 2 24 ? 20 6 ? 2 2

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二、 13. ?

7 1 24 ? sin ? ? cos ? ? 平方得 sin 2? ? ? 25 5 25 ? 3? 3? 7 ? ?? ? ,?? ? 2? ? ,? cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? ? . 2 4 2 25

4 14. 1, x8 的系数 C6 k 4 ? 15k 4 ,?15k 4 ? 120, k 4 ? 8,?k ? N ? ,?k ? 1

15.1.? f (1) ? log2 (1 ? 3) ? 2,? f ( x) 与 g ( x) 互为反函数, 令 f ( x) ? 1,?1 ? log2 ( x ? 3), 2 ? x ? 3? x ? ?1 ,

? g (1) ? ?1? f (1) ? g (1) ? 1 .
16.0 或

1 . f ?( x) ? 6 x 2 ? x , 设 A 点 的 横 坐 标 为 x0 ,? A 点 处 的 切 线 斜 率 为 6
f ' ( x0 ) ? 1 2 2 ,即 | 6x0 ? x0 ?1|?| 6x0 ? x0 ? 1| ' 1 ? f ( x0 )

2 f ?( x0 ) ? 6x0 ? x0 ,由夹角公式得 tan 45? ?

2 2 若 6x0 ? x0 ?1 ? 6x0 ? x0 ? 1,得 ?1 ? 1 ,矛盾 2 2 2 若 6x0 ? x0 ?1 ? ?(6x0 ? x0 ? 1),6x0 ? x0 ? 0,

? x0 ? 0 或 x0 ?
三、

1 . 6
1 2

6 ? 17. (1) S?ABC ? 3,? bc sin ? ? 3 ,由 0 ? AB ? AC ? 1 ,得 0 ? bccos ? ? ,消去 bc 得
0 ? cos ? ? 1

??? ??? ? ?

?

?
4

?? ?

?

? M ? {? |

?

2



?? ? }. 4 2

?

(2)? f (? ) ? 1 ? cos(

?

? 1 ? 2sin(2? ? ) 3 ?

?

2

? 2? ) ? 3 cos 2? ? I ? sin 2? ? 3 cos 2?

?

4 2 6 3 1 ? ? ? sin(2? ? ) ? 1 . 2 3 5? ? ?? ? 时, f (? ) 的最大值为 3, ? ? 时, f (? ) 的最大值为 2. 12 4

?? ?

?

,?

?

? 2? ?

?

?

2? , 3

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3 18. (1)从 3 种服装商品、2 种家电商品,4 种日用商品中,选出 3 种商品,一共有 C9 种 3 不同的选法.选出的 3 种商品中,没有日用商品的选法有 C5 种。所以选出的 3 种商品至少
3 C5 37 有一种日用商品的概率为 P ? 1 ? 3 ? . C9 42

(2)假设商场将中奖奖金数额定为 x 元,则顾客在三欢抽奖中所获得的奖金总额是一 个随机变量 ? ,其所有可能的取值为 0, x, 2 x,3x

1 1 ? P(? ? 0) ? ( )3 ? 2 8 1 3 1 1 P(? ? x) ? C3 ( ) ? ( ) 2 ? 2 2 8 1 1 3 P (? ? 2 x) ? C32 ( ) 2 ? ( ) ? 2 2 8 1 3 1 P(? ? 3x) ? C3 ( )3 ? 2 8
于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是

1 3 3 1 E? ? 0 ? ? x ? ? 2 x ? ? 3x ? ? 1.5 x . 8 8 8 8
要使促销方案对商场有利,因此应有 1.5 x ? 180 ,? x ? 120 . 故商场应将中奖奖金数额最高定为 120 元.才能使促销方案对自己有利. 19. (1)证明:? AB ? AD, BO ? OD,? AO ? BD . 连接 OC,? CB ? CD, BO ? OD,?CO ? BD .

?CO ? 3, AO ? 1 ,又 CA ? 2
? AO2 ? CO2 ? CA2 ??AOC ? 90?
即 AO ? OC,? BD ? OC ? 0

? AO ? 平面 BCD .

(2)方法 1 取 BC 的 中 点 E , AC 的 中 点 F , ? O 为 BD 的 中 点 ,

? EF / / AB, EO / /CD,??OEF 或其补角是 AB 与 CD 所成的角.
∴连接 OF ,? OF 是 Rt ?AOC 斜边 AC 上的中线,? OF ?

1 AC ? 1 , 2

1 1 2 ? EO ? CD ? 1, EF ? AB ? . 2 2 2

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在 ?OEF 中,由余弦定理得 cos ?OEF ?

2 2 , , ?OEF ? arccos 4 4

∴直线 AB 与 CD 所成的角为 arccos (3)方法 l

2 . 4

? DO ? OC, DO ? AO,? DO ? 平面 AOC , O 作 OG ? AC 于 G , 过 连接 DG ,
? OG 是 DG 在平面 AOC 上的射影,由三垂线定理得 DG ? AC . ??OGD 是二面角 O ? AC ? D 的平面角,

? OG ? AC ? AO ? OC ,? OG ?

3 ,又 OD ? 1 . 2 2 3 DO 2 3 ,??OGD ? arctan . ? 3 OG 3 2 3 . 3

在 Rt ?DOG 中, tan ?OGD ?

∴二面角 O ? AC ? D 为 arctan (2)方法 2 建立空间直角坐标系 O ? xyz .

则 A(0,0,1), B(1,0,0), C(0, 3,0), D(?1,0,0)

??? ? ??? ? ? AB ? (1,0, ?1), CD ? (?1, ? 3,0)
??? ? ???? ??? ??? ? ? ABCd ?1 2 ? ? . cos ? AB, CD ?? ??? ??? ? ?? 4 | AB || CD | 2 ?2
??? ??? ? ? 2 ?? AB, CD ?? ? ? arccos . 4
∴直线 AB 与 CD 所成的角为 arccos (3)方法 2 在坐标系中,平面 AOC 的法向量 m ? OD ? (?1,0,0) . 设平面 ACD 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则 n ? AD ? 0, n ? CD ? 0 ,

2 . 4

????

????

??? ?

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求得 n ? (? 3,1, 3),cos ? m, n ??

mn 3 21 , ? ? | m || n | 1? 7 7

∴二面角 O ? AC ? D 为 arccos

21 . 7

20.?{an } 是首项为 a 、公比为 a 的等比数列,?an ? an

?bn ? an ? log2 an ? an ? log2 an ? nan log2 a
(1)当 a ? 2 时, bn ? n ? 2n ? log2 2 ? n ? 2n

Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn
? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n

2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ?? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1
两式相减得 ?Sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ? n ? 2n?1

?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n?1 ? ?2 ? (n ? 1) ? 2n?1 1? 2

? Sn ? 2 ? (n ?1) ? 2n?1 .
(2)?bn?1 ? bn ,?(n ? 1) ? an?1 ? log2 a ? n ? an log2 a

? 当 a ? 1 时, 2 a ? 0 , (n ? 1) a ? n, a ? log
而 a ? 1,

n n n ? ? 1? ?1, , n? N , 对 n ?1 n ?1 n ?1

? a ? 1 时, a ?

n 成立,即 bn?1 ? bn . n ?1

n . n ?1 n 1 n 1 ? ? ? 1? ) min ? 对 n ? N 递增,? n ? 1 时, ( n ?1 n ?1 n ?1 2 1 n ? ? 0 ? a ? 时, a ? 对 n ? N 成立,即 bn?1 ? bn , 2 n ?1 1 综上得, a 的取值范围是 (0, ) ? (1, ??) . 2 5 21. (1)设 M ( x1 , y1 ),? F2 (1,0),| MF2 | ? . 3 5 2 2 由抛物线定义, x1 ? 1 ? ,? x1 ? ,? y1 ? 4 x1 , 3 3
当 0 ? a ? 1 时, log 2 a ? 0,? (n ? 1) a ? n, a ?
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? y1 ?

2 6 . 3

4 8 2 2 6 ?M ( , ),? M 在 C1 上,? 2 ? 2 ? 1 ,又 b2 ? a 2 ? 1 9a 3b 3 3

?9a4 ? 37a2 ? 4 ? 0

? a2 ? 4 或 a2 ?

1 ? c 2 舍去. 9

? a2 ? 4, b2 ? 3
∴椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(2)∵直线 BD 的方程为 7 x ? 7 y ? 1 ? 0, ABCD 为菱形,

? AC ? BD ,设直线 AC 的方程为 y ? ? x ? m

? y ? ?x ? m ? 2 ? 7 x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 12 ? 0,? A 、 C 在椭圆 C1 上, ?x y2 ?1 ? ? ?4 3

?? ? 0,?m2 ? 7,?? 7 ? m ? 7 .
设 A( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

8m . 7

8m 6m ? 2m ? . 7 7 4m 3m 4m 3m ? AC 的中点坐标为 ( , ) ,由 ABCD 为菱形可知,点 ( , ) 在直线 7 7 7 7 y1 ? y2 ? (? x1 ? m) ? (? x2 ? m) ? ?( x1 ? x2 ) ? 2m ? ?

BD : 7 x ? 7 y ? 1 ? 0上,
?7 ? 4m 3m ?7? ? 1 ? 0, m ? ?1 7 7

?m ? ?1? (? 7, 7)
∴直线 AC 的方程为 y ? ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 . 22.1)f ?( x) ? ?2ax , ( 切线 l 的议程为 y ? f ( x0 ) ? ?2ax0 ( x ? x0 ) , y ? ?2ax0 x ? 1 ? ax0 . 即
2

令 y ? 0得 M (

2 1 ? ax0 2 , 0) ,令 x ? 0 得 N (0,1 ? ax0 ) , 2 2ax0

? x0 ? 0 ,

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? S ( x0 ) ? ? S ( x0 ) ?

2 (1 ? ax0 )2 1 . | OM | ? | ON |? 2 4ax0 2 (1 ? ax0 )2 ( x0 ? 0) 4ax0

(2)由 f ( x) ? 1 ? ax2 ? 0 及 x ? 0 得 x ?

1 ,即 t ? a

1 . a

于是 x1 ?

2 1 ? ax0 x 1 1 x0 1 ? ? 0 ?2 ? ? ?t 2ax0 2ax0 2 2ax0 2 a

当且仅当

x 1 1 时,等号成立. ? 0 ,即 x0 ? 2ax0 2 a

? x0 ?

a a a 时, x1 ? t ; x0 ? (0, )?( , ??) 时, x1 ? t . a a a
4 2 2 2 3a 2 x0 ? 2ax0 ? 1 (3ax0 ? 1)(ax0 ? 1) ? 2 2 4ax0 4ax0

(3) S ?( x0 ) ?

由 S ?( x0 ) ? 0, a ? 0, x0 ? 0 得 x0 ?

1 3a

2 当 3ax0 ?1 ? 0 ,即 x0 ?

1 时, S ?( x0 ) ? 0 , 3a
1 时, S ?( x0 ) ? 0 3a

2 当 3ax0 ?1 ? 0 ,即 0 ? x0 ?

? x0 ?
由 x0 ?

1 4 3a 时, S ( x0 ) 取得最小值,最小值为 . 9a 3a
4 2 1 1 ? ,得 a ? ,此时, S ( x0 ) 最小值为 . 3 3 3a 2

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