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【步步高】2016高考数学大一轮复习 9.2直线与直线的位置关系学案 理 苏教版


学案 46

直线与直线的位置关系

导学目标: 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方 法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条 平行直线间的距离.

自主梳理 1.两直线的位置关系 平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况. (1)两直线平行 对于直线 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2, l1∥l2?_________________________________________________________________. 对于直线 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0(A2B2C2≠0), l1∥l2?__________________________________________________________________. (2)两直线垂直 对于直线 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2, l1⊥l2?k1?k2=____. 对于直线 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0, l1⊥l2?A1A2+B1B2=____. 2.两条直线的交点 两条直线 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0, 如果两直线相交,则交点的坐标一定是这两个方程的________;反之,如果这两个二元 一次方程只有一个公共解,那么以这个解为坐标的点必是 l1 和 l2 的________,因此,l1、l2 是否有交点,就看 l1、l2 构成的方程组是否有________. 3.有关距离 (1)两点间的距离 平面上两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2)间的距离 P1P2=__________________________________. (2)点到直线的距离 平面上一点 P(x0, y0)到一条直线 l: Ax+By+C=0 的距离 d=______________________. (3)两平行线间的距离 已知 l1、l2 是平行线,求 l1、l2 间距离的方法: ①求一条直线上一点到另一条直线的距离; ②设 l1: Ax+By+C1=0, l2: Ax+By+C2=0, 则 l1 与 l2 之间的距离 d=________________. 自我检测 1.(2010?济宁模拟)若点 P(a,3)到直线 4x-3y+1=0 的距离为 4,且点 P 在不等式 2x+y-3<0 表示的平面区域内,则实数 a 的值为________. 2.若直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,则直线 l2 恒过的定点的坐标为 ________. 3.已知直线 l1:ax+by+c=0,直线 l2:mx+ny+p=0,则 =-1 是直线 l1⊥l2 的 ______________条件. 4.(2009?上海)已知直线 l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0 与 l2:2(k-3)x-2y+3=0
1

am bn

平行,则 k 的值是________. 2 2 5.已知 2x+y+5=0,则 x +y 的最小值是________.

探究点一 两直线的平行与垂直 例 1 已知直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y+a -1=0, (1)试判断 l1 与 l2 是否平行; (2)l1⊥l2 时,求 a 的值.
2

变式迁移 1 已知两条直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0.求满足以下条 件的 a、b 的值: (1)l1⊥l2 且 l1 过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且原点到这两条直线的距离相等.

探究点二 直线的交点坐标 例 2 已知直线 l1:4x+7y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x+3my-4=0.当 m 为何值时, 三条直线不能构成三角形.

变式迁移 2 △ABC 的两条高所在直线的方程分别为 2x-3y+1=0 和 x+y=0,顶点 A 的坐标为(1,2),求 BC 边所在直线的方程.

2

探究点三 距离问题 例 3 已知点 P(2,-1).求: (1)求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程; (2)求过 P 点且与原点距离最大的直线 l 的方程,最大距离是多少? (3)是否存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明 理由.

变式迁移 3 已知直线 l 过点 P(3,1)且被两平行线 l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0 截得的线段长为 5,求直线 l 的方程.

转化与化归思想 例 (14 分)已知直线 l:2x-3y+1=0,点 A(-1,-2).求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标; (2)直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程; (3)直线 l 关于点 A(-1,-2)对称的直线 l′的方程. 【答题模板】 解 (1)设 A′(x,y),

3

y+2 2 ? ?x+1?3=-1,? 再由已知? x- 1 y-2 2? -3? +1=0, ? ? 2 2

33 x=- ,? ? ? 13 解得? 4 y= , ? ? 13

? 33 4 ? ∴A′?- , ?.[4 分] ? 13 13? (2)在直线 m 上取一点, 如 M(2,0), 则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上. 设
a+2 b+0 ? ?2? 2 -3? 2 +1=0,? 对称点 M′(a,b),则? b-0 2 ? ?a-2?3=-1,

? 6 30? 得 M′? , ?.[8 分] ?13 13?

设直线 m 与直线 l 的交点为 N, 则由{2x-3y+1=0,?3x-2y-6=0, 得 N(4,3). 又∵m′经过点 N(4,3),∴由两点式得直线 m′的方程为 9x-46y+102=0.[10 分] (3)方法一 在 l:2x-3y+1=0 上任取两点, 如 M(1,1),N(4,3),则 M,N 关于点 A(-1,-2)的对称点 M′,N′均在直线 l′上, 易得 M′(-3,-5),N′(-6,-7), 再由两点式可得 l′的方程为 2x-3y-9=0.[14 分] 方法二 ∵l∥l′,∴设 l′的方程为 2x-3y+C=0 (C≠1), ∵点 A(-1,-2)到两直线 l,l′的距离相等,∴由点到直线的距离公式得 |-2+6+C| |-2+6+1| = ,解得 C=-9(C=1 舍去), 2 2 2 2 2 +3 2 +3 ∴l′的方程为 2x-3y-9=0.[14 分] 方法三 设 P(x,y)为 l′上任意一点, 则 P(x,y)关于点 A(-1,-2)的对称点为 P′(-2-x,-4-y), ∵点 P′在直线 l 上,∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即 2x-3y-9=0.[14 分] 【突破思维障碍】 点关于直线对称是轴对称中最基本的, 要抓住两点: 一是已知点与对称点的连线与对称 轴垂直; 二是已知点与对称点为端点的线段中点在对称轴上. 直线关于点的对称可转化为点 关于点的对称,直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称. 【易错点剖析】 (1)点关于线对称,不能转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题. (2)线关于线对称,不能转化为点关于线的对称问题;线关于点的对称,不能转化为点 关于点的对称问题.

1.在两条直线的位置关系中,讨论最多的还是平行与垂直,它们是两条直线的特殊位 置关系.解题时认真画出图形,有助于快速准确地解决问题.判断两直线平行与垂直时,不 要忘记考虑斜率不存在的情形,利用一般式则可避免分类讨论. |C1-C2| 2.运用公式 d= 2 求两平行直线间的距离时,一定要把 x、y 项系数化为相等的 A +B2 系数. 3.对称思想是高考热点,主要分为中心对称和轴对称两种,关键要把握对称问题的本 质,必要情况下可与函数的对称轴建立联系.

4

(满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 1.若直线 x+ay-a=0 与直线 ax-(2a-3)y-1=0 互相垂直,则 a 的值是________. 3π 2.已知直线 l 的倾斜角为 ,直线 l1 经过点 A(3,2)、B(a,-1),且 l1 与 l 垂直,直 4 线 l2:2x+by+1=0 与直线 l1 平行,则 a+b=________. 3.(2011?南通模拟)P 点在直线 3x+y-5=0 上,且点 P 到直线 x-y-1=0 的距离为 2,则 P 点坐标为________________. 4.(2010?重庆云阳中学高三月考)直线 l1:x+my+6=0 和 l2:3x-3y+2=0,若 l1 ∥l2,则 m 的值为______. 5.设直线 l 经过点(-1,1),则当点(2,-1)与直线 l 的距离最大时,直线 l 的方程为 ______________. 6.若直线 m 被两平行线 l1:x-y+1=0 与 l2:x-y+3=0 所截得的线段的长为 2 2, 则 m 的倾斜角可以是 ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75° 其中正确答案的序号是________. 2 7.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0,x+y+b=0,已知 a、b 是方程 x +x+c=0 1 的两个实根,且 0≤c≤ ,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是________和 8 ________. 8.平行四边形两相邻边方程是 x+y+1=0 和 3x-y+4=0,对角线交点(3,3),则另 两边的方程为________________________________________________和______________. 二、解答题(共 42 分) 9.(14 分)(1)已知点 P1(2,3),P2(-4,5)和 A(-1,2),求过点 A 且与点 P1,P2 距离相 等的直线方程. (2)过点 P(3,0)作一直线,使它夹在两直线 l1:2x-y-2=0 与 l2:x+y+3=0 之间的 线段 AB 恰被点 P 平分,求此直线的方程.

10.(14 分)已知△ABC 的一个顶点 A(-1,-4),内角∠B,∠C 的平分线所在直线的方 程分别为:l1:y+1=0,l2:x+y+1=0.求边 BC 所在直线的方程.

5

11.(14 分)已知直线方程(a-2)y=(3a-1)x-1. (1)无论 a 为何实数,该直线是否总经过第一象限? (2)为使直线不经过第二象限,求实数 a 的取值范围.

学案 46

直线与直线的位置关系 答案

自主梳理

A1 B1 C1 = ≠ (2) - 1 0 2. 公 共 解 A2 B 2 C 2 |Ax0+By0+C| |C1-C2| 2 2 3.(1) ?x2-x1? +?y2-y1? (2) (3)② 2 2 2 2 A +B A +B
1 . (1)k1 = k2 且 b1≠b2

交点

唯一解

自我检测 1.-3 2.(0,2) 3.充分不必要 4.3 或 5 5. 5 课堂活动区 例 1 解题导引 运用直线的斜截式 y=kx+b 讨论两直线位置关系时,要特别注意直 ?k1=k2 ? 线斜率不存在时的特殊情况.即若 l1∥l2,则? 或两直线斜率均不存在,若 l1⊥l2, ? ?b1≠b2 则 k1k2=-1 或 k1、k2 一个为 0,另一个不存在.若直线 l1、l2 的方程分别为 A1x+B1y+C1= 0 和 A2x+B2y+C2=0,则 l1∥l2 的必要条件是 A1B2-A2B1=0,而 l1⊥l2 的充要条件是 A1A2+ B1B2=0.解题中为避免讨论,常依据上述结论去解题. 解 (1)方法一 当 a=1 时,l1:x+2y+6=0, l2:x=0,l1 与 l2 不平行; 当 a=0 时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1 与 l2 不平行; 当 a≠1 且 a≠0 时,两直线可化为 l1:y=- x-3, 2 1 l2:y= x-(a+1), 1-a

a

a 1 ? ?- = , 2 1 - a l1∥l2?? ? ?-3≠-?a+1?,

解得 a=-1,

综上可知,a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行. 方法二 由 A1B2-A2B1=0,
6

得 a(a-1)-1?2=0. 2 由 A1C2-A2C1≠0,得 a(a -1)-1?6≠0,
? ?a?a-1?-1?2=0 ∴l1∥l2?? 2 ?a?a -1?-1?6≠0 ? ? ?a -a-2=0, ?? 2 ?a?a -1?≠6. ?
2

∴a=-1,故当 a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行. (2)方法一 当 a=1 时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1 与 l2 不垂直; 当 a=0 时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1 与 l2 不垂直; 当 a≠1 且 a≠0 时,l1:y=- x-3, 2 a 1 1 2 ? ? l2:y= x-(a+1),由?- ?? =-1? a= . 1-a 3 ? 2? 1-a 2 方法二 由 A1A2+B1B2=0,得 a+2(a-1)=0? a= . 3 变式迁移 1 解 (1)由已知可得 l2 的斜率必存在,且 k2=1-a. 若 k2=0,则 a=1.由 l1⊥l2,l1 的斜率不存在,∴b=0. 又 l1 过(-3,-1),∴-3a+b+4=0, ∴b=3a-4=-1,矛盾.∴此情况不存在,即 k2≠0. 若 k2≠0,即 k1= ,k2=1-a. 由 l1⊥l2,得 k1k2= (1-a)=-1. 由 l1 过(-3,-1),得-3a+b+4=0, 解之得 a=2,b=2. (2)∵l2 的斜率存在,l1∥l2,∴l1 的斜率存在, ∴k1=k2,即 =1-a. 又原点到两直线的距离相等,且 l1∥l2, 4 ∴l1、l2 在 y 轴上的截距互为相反数,即 =b.

a

a b

a b

a b

b

? ?a=2, 解之得? ?b=-2 ?

2 ? ?a= , 或? 3 ? ?b=2.

2 ∴a、b 的值为 2 和-2 或 和 2. 3 例 2 解题导引 ①转化思想的运用 三条直线l1、l2、l3 l1、l2、l3交于一点或至 ? ? 不能构成三角形 少有两条直线平行 三条直线 l2与l3的交 l2与l3对应方程组 ? ? 交于一点 点在l1上 的解适合l1的方程 ②分类讨论思想的运用 本题依据直线的位置关系将不能构成三角形的情况分成两类,分类应注意按同一标准, 不重不漏. 解 当三条直线共点或至少有两条直线平行时,不能围成三角形. ①三条直线共点时,

7

?mx+y=0, ? 由? ? ?2x+3my=4,

4 x= ? ? 2-3m 得? -4m y= ? ? 2-3m

2

2 2 (m ≠ ), 3

2

即 l2 与 l3 的交点为?

? 4 2, -4m 2?, ? ?2-3m 2-3m ?

4 -4m 代入 l1 的方程得 4? 2+7? 2-4=0, 2-3m 2-3m 1 解得 m= ,或 m=2. 3 4 ②当 l1∥l2 时,4=7m,∴m= ; 7 7 当 l1∥l3 时,4?3m=7?2,∴m= ; 6 当 l2∥l3 时,3m =2,即 m=± ∴m 取集合?-
? ?
2

6 . 3

? 6 1 6 4 7 ? , , , , ,2?中的元素时,三条直线不能构成三角形. 3 3 3 7 6 ? ? ? ? 变式迁移 2 解 可以判断 A 不在所给的两条高所在的直线上,则可设 AB,AC 边上的 高所在直线的方程分别为 2x-3y+1=0,x+y=0, 则可求得 AB,AC 边所在直线的方程分别为 3 y-2=- (x-1),y-2=x-1, 2 即 3x+2y-7=0,x-y+1=0. ?3x+2y-7=0 ? 由? ? ?x+y=0

,得 B(7,-7), ,得 C(-2,-1),

由?

?x-y+1=0 ? ? ?2x-3y+1=0

所以 BC 边所在直线的方程为 2x+3y+7=0. 例 3 解题导引 已知直线过定点求方程,首先想到的是求斜率或设方程的斜截式, 但不要忘记斜率不存在的直线是否满足题意.若满足,可先把它求出,然后再考虑斜率存在 的一般情况.图形中量的最值问题往往可由几何原理作依据求得解决. 第(3)问是判断存在性问题,通常的解决方法是先假设判断对象存在,令其满足应符合 的条件, 若有解, 则存在, 并求得; 若无解, 则不存在, 判断无解的过程就是结论的理由. 如 法二. 解 (1)过 P 点的直线 l 与原点距离为 2,而 P 点坐标为(2,-1),可见,过 P(2,-1) 且垂直于 x 轴的直线满足条件. 此时 l 的斜率不存在,其方程为 x=2. 若斜率存在,设 l 的方程为 y+1=k(x-2), 即 kx-y-2k-1=0. |-2k-1| 3 由已知,得 =2,解得 k= . 2 4 k +1 此时 l 的方程为 3x-4y-10=0. 综上,可得直线 l 的方程为 x=2 或 3x-4y-10=0. (2)作图可得过 P 点与原点 O 距离最大的直线是过 P 点且与 PO 垂直的直线, 1 由 l⊥OP,得 klkOP=-1,所以 kl=- =2.

kOP

8

由直线方程的点斜式得 y+1=2(x-2), 即 2x-y-5=0. |-5| 即直线 2x-y-5=0 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线,最大距离为 = 5. 5 (3)由(2)可知,过 P 点不存在到原点距离超过 5的直线,因此不存在过 P 点且到原点 距离为 6 的直线. 变式迁移 3 解 方法一 若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x=3,此时与 l1,l2 的交点分别是 A(3,-4),B(3,-9),截得的线段长 AB=|-4+9|=5,符合题意. 当直线 l 的斜率存在时,则设直线 l 的方程为 y=k(x-3)+1,分别与直线 l1,l2 的方 程联立, ?y=k?x-3?+1, ? ?3k-2,1-4k?. 由? 解得 A? ? ? k+1 k+1 ? ? ?x+y+1=0, 由?
?y=k?x-3?+1, ? ?x+y+6=0, ?

解得 B?

?3k-7,1-9k?. ? ? k+1 k+1 ?

由两点间的距离公式,得 ?3k-2-3k-7?2+?1-4k-1-9k?2=25, ? k+1 k+1 ? ? k+1 k+1 ? ? ? ? ? 解得 k=0,即所求直线方程为 y=1. 综上可知,直线 l 的方程为 x=3 或 y=1. 方法二 因为两平行线间的距离 |6-1| 5 2 d= = , 2 2

如图,直线 l 被两平行线截得的线段长为 5, 设直线 l 与两平行线的夹角为 θ , 2 则 sin θ = ,所以 θ =45°. 2 因为两平行线的斜率是-1, 故所求直线的斜率不存在或为 0. 又因为直线 l 过点 P(3,1), 所以直线 l 的方程为 x=3 或 y=1. 课后练习区 1.2 或 0 2.-2 3.(1,2)或(2,-1) 4.-1 1 m 6 解析 ∵l1∥l2,∴ = ≠ .∴3m=-3. 3 -3 2 -1 6 从而 m=-1,当 m=-1 时,满足 ≠ . -3 2 ∴m=-1. 5.3x-2y+5=0 解析 当 l 与过两点的直线垂直时,(2,-1)与直线 l 的距离最大,因此所求直线的方 2-?-1? 程为 y-1=- ?(x+1), -1-1 即 3x-2y+5=0.
9

6.①⑤ 解析

|1-3| 如图,由两平行线间距离可得 d= = 2,故 m 与两平行线的夹角都是 30°,而 2 两平行线的倾斜角为 45°,则 m 的倾斜角为 75°或 15°,故①⑤正确. 2 1 7. 2 2 |a-b| 2 1 2 解析 ∵d= ,d = [(a+b) -4ab] 2 2 1 = (1-4c), 2 1 2 ?1 1? 1 2 又 0≤c≤ ,∴d ∈? , ?.∴ ≤d≤ . 8 2 ?4 2? 2 8.x+y-13=0 3x-y-16=0 解析 设另两边方程为:x+y+C1=0 和 3x-y+C2=0. ?x+y+1=0 ? 5 1 由? 得交点 A(- , ) 4 4 ? ?3x-y+4=0 ∵对角线交点坐标为(3,3). 29 23 则所求两直线的交点坐标为( , ), 4 4 代入方程得 C1=-13,C2=-16. 9.解 (1)设所求直线为 l,由于 l 过点 A 且与点 P1,P2 距离相等,所以有两种情况, ①当 P1,P2 在 l 同侧时,有 l∥P1P2,此时可求得 l 的方程为 5-3 y-2= (x+1),即 x+3y-5=0;(5 分) -4-2 ②当 P1,P2 在 l 异侧时,l 必过 P1P2 的中点(-1,4),此时 l 的方程为 x=-1.(7 分) ∴所求直线的方程为 x+3y-5=0 或 x=-1.(8 分) (2)设点 A(x,y)在 l1 上,

x+x ? ? 2 =3, 由题意知? y+y ? ? 2 =0,
B B

∴点 B(6-x,-y),

? ?2x-y-2=0, 解方程组? ??6-x?+?-y?+3=0, ?

(10 分)

11 ? ?x= 3 , 得? 16 ? ?y= 3 ,

16 -0 3 ∴k= =8. 11 -3 3

∴所求的直线方程为 y=8(x-3),即 8x-y-24=0.(14 分) 10. 解 设点 A(-1, -4)关于直线 y+1=0 的对称点 A′(x1, y1), 则 x1=-1, y1=2?(- 1)-(-4)=2, 即 A′(-1,2)在直线 BC 上.(6 分)
10

再设 A(-1,-4)关于 l2:x+y+1=0 的对称点为 A″(x2,y2),

y +4 ? ?x +1??-1?=-1, 则有:? x -1 y -4 ? ? 2 + 2 +1=0,
2 2 2 2

解得:?

? ?x2=3, ?y2=0, ?

即 A″(3,0)也在直线 BC 上.(12 分) y-2 x+1 由直线方程的两点式得: = . 0-2 3+1 所以 x+2y-3=0 即为△ABC 的边 BC 所在的直线方程.(14 分) 1 11.解 (1)令 a=2,得直线 l1:x= , 5 令 a=0,得直线 l2:x-2y+1=0. 1 3 ∵l1 与 l2 的交点 A( , ),(3 分) 5 5 1 3 且当 x= ,y= 时, 5 5 (a-2)y=(3a-1)x-1 对任意 a∈R 恒成立. ∴直线 l:(a-2)y=(3a-1)x-1 恒过定点 A. 1 3 ∵点 A( , )在第一象限, 5 5 ∴该直线总过第一象限.(7 分) 3 -0 5 1 3 (2)设 O 为原点,由(1)知直线(a-2)y=(3a-1)x-1 过定点 A( , ),且 kAO= = 5 5 1 -0 5 3.(10 分) 1 当 a=2 时,直线 x= 不过第二象限,(11 分) 5 3a-1 1 3a-1 当 a≠2 时,直线 y= x- 要想不过第二象限,需满足 ≥kAO, a-2 a-2 a-2 3a-1 即 ≥3,解得 a>2. a-2 综上可知,当 a∈[2,+∞)时, 直线(a-2)y=(3a-1)x-1 不过第二象限.(14 分)

11


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