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平面向量的基本定理习题及答案


§ 5.2

平面向量的基本定理及坐标表示
(时间:45 分钟 满分:100) )

一、选择题(每小题 7 分,共 35 分) 1.已知向量 a=(1,-2),b=(1+m,1-m),若 a∥b,则实数 m 的值为( A.3 B.-3 C.2 D.-2 )

2.已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则 2a+3b 等于( A.(-2,-4) C.(-4,-8) B.(-3,-6) D.(-5,-10) )

3.设向量 a=(3, 3),b 为单位向量,且 a∥b,则 b 等于( A.? B.? 3 1? ? 3 1? 或 ? 2 ,-2? ?- 2 ,2?

3 1? ? 2 ,2?

C.?-

?

3 1? ,- 2 2?

D.?

3 1? ? 3 1? , 或 - ,- 2? ? 2 2? ? 2 )

4.已知向量 a=(1,-m),b=(m2,m),则向量 a+b 所在的直线可能为( A.x 轴 B.第一、三象限的角平分线 C.y 轴 D.第二、四象限的角平分线 5.已知 A(7,1)、B(1,4),直线 y ? A.2 B.1

1 → ax 与线段 AB 交于 C,且 AC ? 2CB,则实数 a 等于( 2
4 C. 5 5 D. 3

)

二、填空题(每小题 6 分,共 24 分) 1 1 6.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b) (ab≠0)共线,则 + 的值等于________. a b 7.已知向量 a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且 u∥v,则实数 x 的值为________. 8.若向量 a ? ( x ? 3, x ? 3x ? 4) 与 AB 相等,其中 A(1,2),B(3,2),则 x=________.
2

9.若平面向量 a,b 满足|a+b|=1,a+b 平行于 y 轴,a=(2,-1),则 b=______________. 三、解答题(共 41 分) 10.(13 分)a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时,ka+b 与 a-3b 平行?平行时它们是同向 还是反向?

11.(14 分)三角形的三内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,设向量 m=(3c-b,a-b), n=(3a+3b,c),m∥n. (1)求 cos A 的值; (2)求 sin(A+30° )的值. 12.(14 分)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,已知向量 m=(a,b),向量 n = (cos A,cos B),向量 p=?2 2sin

?

B+C ,2sin A?,若 m∥n,p2=9,求证:△ABC 为等 2 ?

边三角形. 答案 1.B 6. 1 2 2.C 7. 1 2 3.D 8.-1 4.A 5.A 9.(-2,0)或(-2,2)

10.解 方法一 ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), 当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数 λ 使 ka+b=λ (a-3b),由(k-3,2k+2)= λ (10,-4)得,
?k-3=10λ, ? ? ?2k+2=-4λ. ?

1 解得 k=λ =- , 3

1 ∴当 k=- 时,ka+b 与 a-3b 平行, 3 1 1 这时 ka+b=- a+b=- (a-3b). 3 3 1 ∵λ =- <0,∴ka+b 与 a-3b 反向. 3 方法二 由方法一知 ka+b=(k-3,2k+2), a-3b=(10,-4),∵ka+b 与 a-3b 平行, 1 ∴(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,解得 k=- , 3 2 ? 1 ? 1 此时 ka+b=?- -3,- +2?=- (a-3b). 3 ? 3 ? 3 1 ∴当 k=- 时,ka+b 与 a-3b 平行,并且反向. 3 11. 解 (1)因为 m∥n,所以(3c-b)c-(a-b)(3a+3b)=0, 1 2 2 2 即 a =b +c - bc, 3 又∵在△ABC 中,a =b +c -2bccos A,
2 2 2

1 ∴cos A= . 6 1 35 (2)由 cos A= 得 sin A= , 6 6 sin(A+30°)=sin Acos 30°+cos Asin 30° = 35 3 1 1 1+ 105 × + ×= . 6 2 6 2 12 ∵∥ m n,∴ acos B=bcos A.

12. 证明

由正弦定理,得 sin Acos B=sin Bcos A, 即 sin(A-B)=0. ∵A、B 为△ABC 的内角,∴-π <A-B<π . ∴A=B.∵p =9,∴8sin
2 2

B+C
2

+4sin A=9.
2

2

∴4[1-cos(B+C)]+4(1-cos A)=9. 1 2 ∴4cos A-4cos A+1=0,解得 cos A= . 2 π 又∵0<A<π ,∴A= .∴A=B=C. 3 ∴△ABC 为等边三角形.


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