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高中数学必修2立体几何解答题含答案


高一数学复习题三(立几部分)
1、如下图(3),在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 是平行四边形, M , N 分别是 AB, PC 的 中点,求证: MN//?平面PAD 。 P N D C

A P 证明:如图,取 PD 中点为 E ,连接 AE, EN ———1 分

M

B

E
D

N C

? E , N 分别是 PD, PC 的中点

1 ? EN // DC 2

———————————————4 分

? M 是 AB 的中点 ? A M//
? EN // AM
? AE//MN

1 D C ——————7 分 2
—9 分

A

M

B

? 四边形 AMNE 为平行四边形

图(3)

———————————————11 分

又? AE ? 面APD

?M N? 面 A P D ? M N //?平面 P A D 。 ————————12 分

2、 (本小题满分 12 分)如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, (1)画出二面角 A ? B1C ? C1 的平面角;并说明理由 (2)求证:面 BB1DD1 ? 面 AB1C 解: (1)如图,取 B1C 的中点 E ,连接 AE, EC1 。 D

C
B
E

A

D
D1

? AC, AB1 , B1C 分别为正方形的对角线 ? AC ? AB1 ? B1C

C1
B1

? E 是 B1C 的中点

A1

? AE ? B1C

——————————————2 分

又? 在正方形 BB1C1C 中

? EC1 ? B1C ——————————————3 分
? ?AEC1 为二面角 A ? B1C ? C1 的平面角。 —————————————————4 分
(2) 证明: ? D1D ? 面ABCD , AC ? 面ABCD 又? 在正方形 ABCD 中

? D1 D? A C —————6 分

? AC ? BD

—————————————————8 分 ———————————————10 分 ——————————————12 分

? D1D ? BD ? D
又? AC ? 面AB1C

? AC ? 面DD1B1B
? 面 BB1DD1 ? 面 AB1C

3、如图,在边长为 a 的菱形 ABCD 中,E,F 是 PA 和 AB 的中点。∠ABC=60°,PC⊥面 ABCD; (1)求证: EF||平面 PBC ; (2)求 E 到平面 PBC 的距离。
P

E

D

C

? AE ? PE, AF ? BF , 解(1)证明: ? EF || PB

A

F

B

又 EF ? 平面PBC, PB ? 平面PBC, 故 EF || 平面PBC (2)解:在面 ABCD 内作过 F 作 FH ? BC于H

? PC ? 面ABCD, PC ? 面PBC
? 面PBC ? 面ABCD

又 面PBC ? 面ABCD ? BC , FH ? BC , FH ? 面ABCD
? FH ? 面ABCD

又 EF || 平面PBC ,故点 E 到平面 PBC 的距离等于点 F 到平面 PBC 的距离 FH。
? 在直角三角形 FBH 中, ?FBC ? 60 , FB ?

a , 2

FH ? FB sin ?FBC ?

a a 3 3 ? sin 600 ? ? ? a 2 2 2 4

故点 E 到平面 PBC 的距离等于点 F 到平面 PBC 的距离, 等于
3 a 4
平行四
S

4、 (本题8分)如图,四棱锥 S- ABCD 中,底面 ABCD 为 边形,E 是 SA 上一点, 试探求点 E 的位置,使 SC//平面 EBD,并证明. 答:点 E 的位置是 . 证明:
A

解:答:点 E 的位置是 棱 SA 的中点 . 证明:取 SA 的中点 E,连结 EB,ED,AC,设 AC 与 BD 为 O,连结 EO. ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴点 O 是 AC 的中点. 又 E 是 SA 的中点,∴OE 是Δ SAC 的中位线. ∴OE//SC. ∵SC ? 平面 EBD,OE ? 平面 EBD, ∴SC//平面 EBD.

D C

B

的交点

题 20 图

5、 (本题 10 分)如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,AD1 与 A1D 相交 于点 O. (1)判断 AD1 与平面 A1B1CD 的位置关系,并证明; (2)求直线 AB1 与平面 A1B1CD 所成的角.

D1 A1 O D A

C1 B1

C B

(1)解: AD 1 ? 平面A 1B 1CD . 证明:∵在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,

题 23 图

A1B1 ? AD1, AD1 ? A1D, A1D ? A1B1 ? A1 ,
∴ AD 1 ? 平面A 1B 1CD . (2)连结 B1O .∵ AD 1 ? 平面A 1B 1CD 于点 O, ∴直线 B1O 是直线 AB1 在平面 A1 B1CD 上的射影. ∴ ?AB1O 为直线 AB1 与平面 A1 B1CD 所成的角. 又∵ AB1 ? 2 AO , ∴ sin ?AB1O ?
m

AO 1 ? . AB1 2

∴ ?AB1O ? 30 °.
6、 如图, 用一付直角三角板拼成一直二面角 A—BD—C, 若其中给定 AB=AD =2,?BCD ? 90? ,?BDC ? 60? , (Ⅰ)求三棱锥 A-BCD 的体积; (Ⅱ)求直线 AC 与平面 BCD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 D 到平面 ABC 的距离.

A

解:(1)、∵二面角 A-BD-C 是直二面角 ∴平面 ABD⊥平面 CBD 过 A 作 AE⊥BD,垂足为 E,则 AE⊥面 ABD 即 AE 是三棱锥 A-BCD 的高 又 由已知得:BD= 2 2 ,DC= ∴

B C

D

1 BD= 2 2

,BC= BD2 ? CD2 ? 6 ,AE= 2

? BCD 的面积为 S

? BCD

? 3
6 3

∴三棱锥 A-BCD 的体积为 VA? BCD ?

(2) 、∵AE⊥面 ABD 所以 CE 为直线 AC 在平面 BCD 内的射影,

??ACE 为直线 AC
在 Rt ?AEC 中,

与平面 BCD 所成的角,

1 BD ? 2 , ??ACE ? 45? , 2 故直线 AC 与平面 BCD 所成的角为 45?

AE ? 2 , CE ?

(3) 、过 E 作 EF⊥BC,垂足为 F,连接 AF,则 AF⊥BC.

又在 Rt△AEF 中可求得 AF= ∴ S? ABC ? 15

10 2

2

设点 D 到平面 ABC 的距离为 h

?VA? B C D ?V

?D

ABC

1 6 ? h ? S? ABC ? V A?BCD ? 3 3

?h ?

3VA?BCD S? ABC

?

2 10 5
2 10 5

即 D 到面 ABC 的距离为 h =

注意:利用等体积积法求点到面的距离。 7、如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? 3 , BC ? 4 , AB ? 5 , (1)求证: AC ? BC1 ; (2)求证: AC1 ∥平面 CDB1 . 证明: (1) 因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱, 所以 C1C ? 平面 ABC , 所以 C1C ? AC . 又因为 AC ? 3 , BC ? 4 , AB ? 5 , 所以 AC ? BC ? AB ,
2 2 2

点 D 是 AB 的中点.

C1 B1 A1

C A D

B

(第 6 题图)

所以 AC ? BC . 又 CC1 ? BC ? C , 所以 AC ? 平面 CC1 B1 B , 所以

AC ? BC1 .

(2) 令 BC1 与 CB1 的交点为 E , 连结 DE . 因为 D 是 AB 的中点, E 为 BC1 的中点,

所以 DE ∥ AC1 . 又 因为 AC1 ? 平面 CDB1 , DE ? 平面 CDB1 , 所以 AC1 ∥平面 CDB1 .

8、 (本小题 14 分)已知四棱锥 P-ABCD ,底面 ABCD 是 ?A ? 60 、边长为 a 的菱形,又
?

PD ? 底ABCD ,且 PD=CD,点 M、N 分别是棱 AD、PC 的中点.
(1)证明:DN//平面 PMB; (2)证明:平面 PMB ? 平面 PAD; (3)求点 A 到平面 PMB 的距离.

P

N

D M A

C B

解: (1)证明:取 PB 中点 Q,连结 MQ、NQ,因为 M、N 分别是棱 AD、PC 中点,所以 QN//BC//MD,且 QN=MD,于是 DN//MQ.

? ? MQ ? 平面PMB? ? DN // 平面PMB .… DN ? 平面PMB ? ? DN // MQ
(2)

…………………6 分

PD ? 平面ABCD ? ? ? PD ? MB MB ? 平面ABCD?
?

又因为底面 ABCD 是 ?A ? 60 、边长为 a 的菱形,且 M 为 AD 中点, 所以 MB ? AD .又 所以 MB ? 平面PAD .

MB ? 平面 PAD ? ? ? 平面 PMB ? 平面 PAD . ………………10 分 MB ? 平面 PMB ?
(3)因为 M 是 AD 中点,所以点 A 与 D 到平面 PMB 等距离. 过点 D 作 DH ? PM 于 H,由(2)平面 PMB ? 平面 PAD,所以 DH ? 平面PMB . 故 DH 是点 D 到平面 PMB 的距离.

a ?a 5 5 a .………14 分 DH ? 2 ? a. 所以点 A 到平面 PMB 的距离为 5 5 5 a 2

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1、证明:如图,取 PD 中点为 E ,连接 AE, EN ———1 分

? E , N 分别是 PD, PC 的中点

1 D C —————————4 分 2 1 ? M 是 AB 的中点 ? A M// D C ———7 分 2 ? E N//
? E N// A M ? 四边形 AMNE 为平行四边形
? AE//MN
—9 分

———————————————11 分

又? AE ? 面APD

?M N? 面 A P D ? M N //?平面 P A D 。 ————————12 分
D

2、解: (1)如图,取 B1C 的中点 E ,连接 AE, EC1 。

C
B E

? AC, AB1 , B1C 分别为正方形的对角线 ? AC ? AB1 ? B1C

A

D
D1

? E 是 B1C 的中点
? AE ? B1C
——————————————2 分

C1
B1

A1

又? 在正方形 BB1C1C 中

? EC1 ? B1C ——————————————3 分
? ?AEC1 为二面角 A ? B1C ? C1 的平面角。 —————————————————4 分

(2) 证明: ? D1D ? 面ABCD , AC ? 面ABCD 又? 在正方形 ABCD 中

? D1 D? A C —————6 分

? AC ? BD

—————————————————8 分 ———————————————10 分 ——————————————12 分

? D1D ? BD ? D
又? AC ? 面AB1C

? AC ? 面DD1B1B
? 面 BB1DD1 ? 面 AB1C

? AE ? PE, AF ? BF , 3、 解(1)证明: ? EF || PB

又 EF ? 平面PBC, PB ? 平面PBC, 故 EF || 平面PBC (2)解:在面 ABCD 内作过 F 作 FH ? BC于H

? PC ? 面ABCD, PC ? 面PBC
? 面PBC ? 面ABCD

又 面PBC ? 面ABCD ? BC , FH ? BC , FH ? 面ABCD
? FH ? 面ABCD

又 EF || 平面PBC ,故点 E 到平面 PBC 的距离等于点 F 到平面 PBC 的距离 FH。
? 在直角三角形 FBH 中, ?FBC ? 60 , FB ?

a , 2

FH ? FB sin ?FBC ?

a a 3 3 ? sin 600 ? ? ? a 2 2 2 4

故点 E 到平面 PBC 的距离等于点 F 到平面 PBC 的距离, 等于
3 a 4
S

4、解:答:点 E 的位置是 棱 SA 的中点 . 证明: 取 SA 的中点 E,连结 EB,ED, AC, 设 AC 与 BD 的交点为 O, 连结 EO. ∵四边形 ABCD 是平行四边形, B ∴点 O 是 AC 的中点.

A C

D

又 E 是 SA 的中点,∴OE 是Δ SAC 的中位线. ∴OE//SC. ∵SC ? 平面 EBD,OE ? 平面 EBD, ∴SC//平面 EBD. 5、(1)解: AD 1 ? 平面A 1B 1CD . 证明:∵在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,

D1 A1 O D A

C1 B1

C B

A1B1 ? AD1, AD1 ? A1D, A1D ? A1B1 ? A1 ,
∴ AD 1 ? 平面A 1B 1CD . (2)连结 B1O .∵ AD 1 ? 平面A 1B 1CD 于点 O, ∴直线 B1O 是直线 AB1 在平面 A1 B1CD 上的射影. ∴ ?AB1O 为直线 AB1 与平面 A1 B1CD 所成的角. 又∵ AB1 ? 2 AO , ∴ sin ?AB1O ?
m

AO 1 ? . AB1 2

∴ ?AB1O ? 30 °.
6、解:(1)、∵二面角 A-BD-C 是直二面角

∴平面 ABD⊥平面 CBD 过 A 作 AE⊥BD,垂足为 E,则 AE⊥面 ABD 即 AE 是三棱锥 A-BCD 的高 又 由已知得:BD= 2 2 ,DC=

A

1 BD= 2 2

, B C D

BC= BD2 ? CD2 ? 6 ,AE= 2 ∴

? BCD 的面积为 S

? BCD

? 3
6 3

∴三棱锥 A-BCD 的体积为 VA? BCD ?

(2) 、∵AE⊥面 ABD 所以 CE 为直线 AC 在平面 BCD 内的射影,

??ACE 为直线 AC

与平面 BCD 所成的角,

1 BD ? 2 , ??ACE ? 45? , 2 故直线 AC 与平面 BCD 所成的角为 45?
在 Rt ?AEC 中,

AE ? 2 , CE ?

(3) 、过 E 作 EF⊥BC,垂足为 F,连接 AF,则 AF⊥BC. 又在 Rt△AEF 中可求得 AF= ∴ S? ABC ? 15

10 2

2

设点 D 到平面 ABC 的距离为 h

?VA? B C D ?V

?D

ABC

1 6 ? h ? S? ABC ? V A?BCD ? 3 3

?h ?

3VA?BCD S? ABC

?

2 10 5
2 10 5

即 D 到面 ABC 的距离为 h =

注意:利用等体积积法求点到面的距离。 7、证明: (1) 因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱, 所以 C1C ? 平面 ABC , 所以 C1C ? AC . 又因为 AC ? 3 , BC ? 4 , AB ? 5 , 所以 AC ? BC ? AB ,
2 2 2

C1 B1 A1

C A D

B

所以 AC ? BC . 又 CC1 ? BC ? C , 所以 AC ? 平面 CC1 B1 B , 所以

(第 7 题图)

AC ? BC1 .

(2) 令 BC1 与 CB1 的交点为 E , 连结 DE . 因为 D 是 AB 的中点, E 为 BC1 的中点, 所以 DE ∥ AC1 .

又 因为 AC1 ? 平面 CDB1 , DE ? 平面 CDB1 , 所以 AC1 ∥平面 CDB1 .

高一数学复习题一(立几部分)
姓名 考号 1、 (本小题满分 12 分) 如下图(3), 在四棱锥 P ? ABCD 中, 四边形 ABCD 是平行四边形,M , N 分别是 AB, PC 的中点,求证: MN//?平面PAD 。 P N D C

A

M

B

2、 (本小题满分 12 分)如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, (2)画出二面角 A ? B1C ? C1 的平面角;并说明理由 (2)求证:面 BB1DD1 ? 面 AB1C D

C
B E
C1
B1

A

D
D1

A1

3、如图,在边长为 a 的菱形 ABCD 中,E,F 是 PA 和 AB 的中点。∠ABC=60°,PC⊥面 ABCD; (1)求证: EF||平面 PBC ; P (2)求 E 到平面 PBC 的距离。

E

4、 (本题8分)如图,四棱锥 S- ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,E 是 SA 上一点, 试探求点 E 的位置,使 SC//平面 EBD,并证明. 答:点 E 的位置是 . S 证明:

A B C

D

题4图 5、 (本题 10 分)如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,AD1 与 A1D 相交于点 O. (1)判断 AD1 与平面 A1B1CD 的位置关系,并证明; (2)求直线 AB1 与平面 A1B1CD 所成的角. C1 D1
A1 O D A C B B1

题5图 6、如图,用一付直角三角板拼成一直二面角 A—BD—C,若其中给定 AB=AD =2, ?BCD ? 90? ,

?BDC ? 60? ,
(Ⅰ)求三棱锥A-BCD 的体积; (Ⅱ)求直线 AC 与平面 BCD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 D 到平面 ABC 的距离.

A

B C

D

7、如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? 3 , BC ? 4 , AB ? 5 , (1)求证: AC ? BC1 ;
A1 C1

点 D 是 AB 的中点.
B1

(2)求证: AC1 ∥平面 CDB1 .
C A D B

(第 7 题图)


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