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北京六十六中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2015-2016 学年北京六十六中高一(上)期中数学试卷 一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1.全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 M={1,3,5,7},N={2,5,8}则(?UM)∩N=( A.U B.{1,3,7} C.{2,8} D.{5} ) )

2.设全集 U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则 A∩?U

B=(

A.{x|0≤x<1} B.{x|0<x≤1} C.{x|x<0} D.{|x>1} 3.函数 f(x)=ln(x﹣1)的定义域为( )

A.{x|x>1} B.{x|x<1} C.{x|x>0} D.{x|x<0} 4.关于函数 f(x)=x3 的性质表述正确的是( A.奇函数,在(﹣∞,+∞)上单调递增 C.偶函数,在(﹣∞,+∞)上单调递增
3

) B.奇函数,在(﹣∞,+∞)上单调递减 D.偶函数,在(﹣∞,+∞)上单调递减 )

5.已知 f(x)=ax +bx﹣4,若 f(2)=6,则 f(﹣2)=( A.﹣14 B.14 C.﹣6 D.10

6.已知函数 f(x)= A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1

,则 f(﹣10)的值是(

)

7.如图的容器甲注水,下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关 系( )

A.

B.

C.

D.

8. 如果函数 f (x) =x +2 (a﹣1) x+2 在 (﹣∞, 4]上是减函数, 那么实数 a 取值范围是( A.a≤﹣3 B.a≥﹣3 C.a≤5 D.a≥5

2

)

9.已知 f(x)= 范围是( A.{a| ) } B.{a|

是(﹣∞,+∞)上的增函数,则实数 a 的取值

} C.{a|1<a<6} D.{a|a>6}

10.当 x1≠x2 时,有 f(

) )

,则称函数 f(x)是“严格下凸

函数”,下列函数是严格下凸函数的是( A.y=x B.y=|x| C.y=x D.y=log2x
2

二、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.函数 的定义域__________.

12.

,若 f(x)=10,则 x=__________.

13.A={x|﹣2≤x≤5},B={x|x>a},A? B,则 a 取值范围是__________. 14.若函数 f(x)=(a﹣2)x2+(a﹣1)x+3 是偶函数,则 f(x)的增区间是__________. 15.求满足 >4﹣2x 的 x 的取值集合是__________.

16.奇函数 f(x)满足:①f(x)在(0,+∞)内单调递增;②f(1)=0,则不等式 x?f(x) <0 的解集为__________. 三、解答题(本题共 4 小题,每小题 9 分,共 36 分) 17.设 A={x|x2+ax+12=0},B={x|x2+3x+2b=0},A∩B={2}. (1)求实数 a、b 的值及集合 A、B; (2)设全集 U=A∪B,求(?UA)∪(?UB). 18.已知函数 f(x)=lg(3+x)+lg(3﹣x). (1)求函数 f(x)的定义域;? (2)判断函数 f(x)的奇偶性. 19.当 x∈时,求函数 f(x)=x2+(2﹣6a)x+3a2 的最小值. 20.设 f(x)是定义在 R 上的函数,对任意 x,y∈R,恒有 f(x+y)=f(x)+f(y).

(1)求 f(0)的值; (2)求证 f(x)为奇函数; (3)若函数 f(x)是 R 上的增函数,已知 f(1)=1,且 f(2a)>f(a﹣1)+2,求 a 的取 值范围.

2015-2016 学年北京六十六中高一(上)期中数学试卷 一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1.全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 M={1,3,5,7},N={2,5,8}则(?UM)∩N=( A.U B.{1,3,7} C.{2,8} D.{5} )

【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合. 【分析】根据题意和补集、交集的运算分别求出?UM、(?UM)∩N. 【解答】解:因为全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 M={1,3,5,7},所以?UM={2,4, 6,8},又 N={2,5,8},则(?UM)∩N={2,8}, 故选:C. 【点评】本题考查了交、补、并集的混合运算,属于基础题. 2.设全集 U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则 A∩?UB=( )

A.{x|0≤x<1} B.{x|0<x≤1} C.{x|x<0} D.{|x>1} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合. 【分析】由全集 R 及 B,求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的交集即可. 【解答】解:∵全集 U=R,A={x|x>0},B={x|x>1}, ∴?UB={x|x≤1}, 则 A∩?UB={x|0<x≤1}, 故选:B. 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 3.函数 f(x)=ln(x﹣1)的定义域为( )

A.{x|x>1} B.{x|x<1} C.{x|x>0} D.{x|x<0} 【考点】对数函数的定义域. 【专题】计算题. 【分析】根据对数的真数大于 0 建立不等式,解之可得其定义域. 【解答】解:要使函数 f(x)=ln(x﹣1)有意义,必有 x﹣1>0,即 x>1. 故函数 f(x)=ln(x﹣1)的定义域为{x|x>1} 故选 A.

【点评】本题主要考查对数函数的定义域的求法,解题时注意负数和 0 没有对数,属于基础 题. 4.关于函数 f(x)=x3 的性质表述正确的是( A.奇函数,在(﹣∞,+∞)上单调递增 C.偶函数,在(﹣∞,+∞)上单调递增 ) B.奇函数,在(﹣∞,+∞)上单调递减 D.偶函数,在(﹣∞,+∞)上单调递减

【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 【专题】计算题. 【分析】利用 f(﹣x)=﹣x3=﹣f(x)可判断函数 f(x)的奇偶性,再利用导数值的符号与 原函数单调性的关系可判断函数 f(x)的单调性,两者结合即可判断选项. 【解答】解:函数 f(x)=x3 的定义域为 R,关于原点对称, 又∵f(﹣x)=﹣x =﹣f(x), ∴函数 f(x)=x 为奇函数, ∵f′(x)=3x ≥0,故函数 f(x)=x 在(﹣∞,+∞)上单调递增. 故选 A. 【点评】本题考查函数奇偶性的判断、函数单调性的判断与证明,着重考查导数工具的应用, 属于基础题. 5.已知 f(x)=ax +bx﹣4,若 f(2)=6,则 f(﹣2)=( A.﹣14 B.14 C.﹣6 D.10
3 2 3 3 3

)

【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】根据 f(x)=ax +bx﹣4,可得 f(x)+f(﹣x)=﹣8,从而根据 f(2)=6,可求 f (﹣2)的值. 【解答】解:∵f(x)=ax +bx﹣4 ∴f(x)+f(﹣x)=ax3+bx﹣4+a(﹣x)3+b×(﹣x)﹣4=﹣8 ∴f(x)+f(﹣x)=﹣8 ∵f(2)=6 ∴f(﹣2)=﹣14 故选 A. 【点评】本题以函数为载体,考查函数的奇偶性,解题的关键是判断 f(x)+f(﹣x)=﹣8, 以此题解题方法解答此类题,比构造一个奇函数简捷,此法可以推广.
3 3

6.已知函数 f(x)= A.﹣2 B.﹣1 C.0 【考点】函数的值. 【专题】计算题;函数的性质及应用. D.1

,则 f(﹣10)的值是(

)

【分析】由题意,代入分段函数求函数的值. 【解答】解:f(﹣10)=f(﹣10+3)=f(﹣7)=f(﹣7+3) =f(﹣4)=f(﹣4+3)=f(﹣1)=f(﹣1+3)=f(2) =log22=1. 故选 D. 【点评】本题考查了分段函数的应用,属于基础题. 7.如图的容器甲注水,下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关 系( )

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【专题】作图题. 【分析】由容器的形状可知:注入水的高度随着时间的增长越来越高,但增长的速度越来越 慢,即图象开始陡峭,后来趋于平缓,考查选项可得答案. 【解答】解:由容器的形状可知:

注入水的高度随着时间的增长越来越高, 但增长的速度越来越慢, 即图象开始陡峭,后来趋于平缓, 综合考查几个选项可知只有 B 符合, 故选 B 【点评】本题考查函数的图象,注意理解图象的变化趋势是解决问题的关键,属基础题 8. 如果函数 f (x) =x2+2 (a﹣1) x+2 在 (﹣∞, 4]上是减函数, 那么实数 a 取值范围是( A.a≤﹣3 B.a≥﹣3 C.a≤5 D.a≥5 )

【考点】二次函数的性质. 【专题】计算题. 【分析】先用配方法将二次函数变形,求出其对称轴,再由“在(﹣∞,4]上是减函数”, 知对称轴必须在区间的右侧,求解即可得到结果. 【解答】解:∵f(x)=x +2(a﹣1)x+2=(x+a﹣1) +2﹣(a﹣1) 其对称轴为:x=1﹣a ∵函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在(﹣∞,4]上是减函数 ∴1﹣a≥4 ∴a≤﹣3 故选 A 【点评】本题主要考查二次函数的单调性,解题时要先明确二次函数的对称轴和开口方向, 这是研究二次函数单调性和最值的关键. 9.已知 f(x)= 范围是( A.{a| ) } B.{a| } C.{a|1<a<6} D.{a|a>6} 是(﹣∞,+∞)上的增函数,则实数 a 的取值
2 2 2 2

【考点】函数单调性的性质. 【专题】计算题;综合题. 【分析】根据题意当 x≥1 时,f(x)=logax 在 ∴当 x<1 时,f(x)=(6﹣a)x﹣4a<0, ∴f(1)=(6﹣a)?1﹣4a≤0,即 5a≥6,a≥ ④

由③④可得 ≤a<6. 故选 A. 【点评】本题考查函数单调性的性质,难点在于对“f(x)= 是

(﹣∞,+∞)上的增函数”的分段讨论与整体把握,特别是对“当 x<1 时,f(x)=(6﹣a) x﹣4a<0”的理解与应用,易错点在于忽略“f(1)=(6﹣a)?1﹣4a≤0”中的等号,属于 难题. 10.当 x1≠x2 时,有 f( ) ) ,则称函数 f(x)是“严格下凸

函数”,下列函数是严格下凸函数的是( A.y=x B.y=|x| C.y=x2 D.y=log2x

【考点】对数函数的单调性与特殊点;函数单调性的性质. 【专题】计算题;新定义. 【分析】先求出 f( )的解析式以及 的解析式,利用函数的单调

性、基本不等式判断 f( 数”的定义域, 得出结论.

)和

的大小关系,再根据“严格下凸函

【解答】解:A、对于函数 y=f(x)=x,当 x1≠x2 时,有 f(

)=



=



f(

)=

,故不是严格下凸函数.

B、对于函数 y=f(x)=|x|,当 x1≠x2 >0 时,f(

)=|

|=



=

=



f(

)=

,故不是严格下凸函数.

C、对于函数 y=f(x) =x2, 当 x1≠x2 时, 有 f(

)=

=



= 严格下凸函数.

,显然满足 f(



,故是

D、对于函数 y=f(x)=log2x,f(

)=



=

=



f( 故选 C.

)>

,故不是严格下凸函数.

【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,基本不等式的应用,“严格下凸函数” 的定义,属于中档题. 二、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.函数 的定义域{x|x≠±2}.

【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】计算题. 【分析】本题中的函数是一个分工型函数,故可令分母不为零,解出使分母有意义的自变量 的取值范围,此范围即函数的定义域. 【解答】解:由题设,令 x2﹣2≠0,解得 x≠±2 故函数的定义域为{x|x≠±2} 故答案为:{x|x≠±2} 【点评】本题的考点是函数的定义域及共求法,求函数的定义域即求使得函数的解析式有意 义的自变量的取值集合,其方法一般是令分母不为 0,偶次根式根号下非负,对数的真数大于 0 等.解题时要注意积累求定义域的规律. 12. ,若 f(x)=10,则 x=3 或﹣5.

【考点】分段函数的应用;函数的值.

【专题】计算题;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】利用分段函数的解析式列出方程,求解即可. 【解答】解: 当 x>0 时,x +1=10,解得 x=3, 当 x≤0 时,﹣2x=10,解得 x=﹣5. 故答案为:3 或﹣5. 【点评】本题考查分段函数的应用,函数的零点的求法,考查计算能力. 13.A={x|﹣2≤x≤5},B={x|x>a},A? B,则 a 取值范围是(﹣∞,﹣2). 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】集合. 【分析】借助于子集概念得到两集合端点值的关系,求解不等式得到 m 的范围. 【解答】解:因为 A={x|﹣2≤x≤5},B={x|x>a},A? B, 所以 a<﹣2, 故答案为(﹣∞,﹣2). 【点评】本题考查了集合的包含关系判断及应用,体现了数形结合思想. 14.若函数 f(x)=(a﹣2)x +(a﹣1)x+3 是偶函数,则 f(x)的增区间是(﹣∞,0](也 可以填(﹣∞,0)). 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】计算题. 【分析】由已知中函数 f(x)=(a﹣2)x2+(a﹣1)x+3 是偶函数,根据偶函数的性质,我们 可以求出满足条件的 a 的值,进而求出函数的解析式,根据二次函数的性质,即可得到答案. 【解答】解:∵函数 f(x)=(a﹣2)x2+(a﹣1)x+3 是偶函数, ∴a﹣1=0 ∴f(x)=﹣x2+3,其图象是开口方向朝下,以 y 轴为对称轴的抛物线 故 f(x)的增区间(﹣∞,0] 故答案为:(﹣∞,0](也可以填(﹣∞,0)) 【点评】本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合,其中根据已知条件结合偶函数的性质, 得到 a 值,是解答本题的关键.
2 2

,f(x)=10,

15.求满足

>4

﹣2x

的 x 的取值集合是(﹣2,4).

【考点】指、对数不等式的解法. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】先将指数不等式的底数化成相同,然后将底数跟 1 进行比较得到单调性,最后根据 单调性建立关系式,解之即可求出所求. 【解答】解:∵ ∴ 又∵
2

>4﹣2x, ,

> ,

∴x ﹣8<2x,解得﹣2<x<4, ∴满足 >4﹣2x 的 x 的取值集合是(﹣2,4).

故答案为:(﹣2,4). 【点评】本题主要考查了指数不等式的解法,一般解指数不等式的基本步骤是将指数化成同 底,然后将底数跟 1 进行比较得到单调性,最后根据单调性建立关系式,属于基础题. 16.奇函数 f(x)满足:①f(x)在(0,+∞)内单调递增;②f(1)=0,则不等式 x?f(x) <0 的解集为(﹣1,0)∪(0,1). 【考点】其他不等式的解法. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】利用奇函数在对称区间上有相同的单调性,结合题意即可求得不等式 x?f(x)<0 的解集. 【解答】解:∵f(x)在(0,+∞)内单调递增,且 f(1)=0, ∴当 0<x<1 时,f(x)<0; 当 x>1 时,f(x)>0; ∴当 x>0 时,x?f(x)<0 的解集为(0,1);① ∵f(x)为奇函数, ∴f(x)在对称区间上有相同的单调性, ∴f(x)在(﹣∞,0)内单调递增,且 f(﹣1)=0, ∴当 x<0 时,x?f(x)<0 的解集为(﹣1,0);② 综合①②知,不等式 x?f(x)<0 的解集为(﹣1,0)∪(0,1).

故答案为:(﹣1,0)∪(0,1). 【点评】本题考查奇函数的单调性与对称性,考查解不等式的能力,考查逻辑思维与运算能 力,属于中档题. 三、解答题(本题共 4 小题,每小题 9 分,共 36 分) 17.设 A={x|x +ax+12=0},B={x|x +3x+2b=0},A∩B={2}. (1)求实数 a、b 的值及集合 A、B; (2)设全集 U=A∪B,求(?UA)∪(?UB). 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合. 【分析】(1)根据条件求出 a,b 的值,然后求出集合 A,B 的元素, (2)结合集合的基本运算即可得到结论. 【解答】解:(1)∵A∩B={2}. ∴2∈A,2∈B, 则 4+2a+12=0,且 4+6+2b=0, 解得 a=﹣8,b=﹣5. 此时 A={x|x ﹣8x+12=0}={2,6},B={x|x +3x﹣10=0}={2,﹣5}, (2)U=A∪B={2,6,﹣5}, 则?UA={﹣5},?UB={6},(?UA)∪(?UB)={﹣5,6}. 【点评】本题主要考查集合的基本运算,根据集合的交,补运算是解决本题的关键. 18.已知函数 f(x)=lg(3+x)+lg(3﹣x). (1)求函数 f(x)的定义域;? (2)判断函数 f(x)的奇偶性. 【考点】函数奇偶性的判断;函数的定义域及其求法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】(1)欲使 f(x)有意义,须有 (2)利用函数奇偶性的定义即可作出判断; 【解答】解:(1)依题意有 ,解得﹣3<x<3, ,解出即可;
2 2 2 2

所以函数 f(x)的定义域是{x|﹣3<x<3}.

(2)由(1)知 f(x)定义域关于原点对称, ∵f(x)=lg(3+x)+lg(3﹣x)=lg(9﹣x2), ∴f(﹣x)=lg(9﹣(﹣x)2)=lg(9﹣x2)=f(x), ∴函数 f(x)为偶函数. 【点评】本题考查函数定义域的求解及函数奇偶性的判断,属基础题,定义是解决函数奇偶 性的基本方法. 19.当 x∈时,求函数 f(x)=x2+(2﹣6a)x+3a2 的最小值. 【考点】函数的最值及其几何意义. 【专题】综合题;数形结合;分类讨论;数形结合法. 【分析】先求得函数 f(x)=x2+(2﹣6a)x+3a2 的对称轴,为 x=3a﹣1,由于此问题是一个区 间定轴动的问题,故分类讨论函数的最小值 【解答】解:该函数的对称轴是 x=3a﹣1, ①当 3a﹣1<0,即 ②当 3a﹣1>1,即 ③当 0≤3a﹣1≤1,即 综上所述,函数的最小值是:当 =3a2﹣6a+3;当 时,fmin(x)=f(0)=3a2; 时,fmin(x)=f(1)=3a ﹣6a+3; 时,fmin(x)=f(3a﹣1)=﹣6a +6a﹣1. 时,fmin(x)=f(0)=3a2,当 时,fmin(x)=f(1)
2 2

时,fmin(x)=f(3a﹣1)=﹣6a2+6a﹣1.

【点评】本题考查函数的最值及其几何意义,解题的关键是根据二次函数的性质对函数在区 间的最值进行研究得出函数的最小值,二次函数在闭区间上的最值问题分为两类,一类是区 间定轴动的问题,如本题,另一类是区间动轴定的问题,两类问题求共性都是要分类讨论求 最值,此问题是高考解题的一个热点,很多求最值的问题最后都归结为二次函数的最值,对 此类问题求最值的规律要认真总结,熟记于心.

20.设 f(x)是定义在 R 上的函数,对任意 x,y∈R,恒有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求 f(0)的值; (2)求证 f(x)为奇函数; (3)若函数 f(x)是 R 上的增函数,已知 f(1)=1,且 f(2a)>f(a﹣1)+2,求 a 的取 值范围.

【考点】函数奇偶性的判断;抽象函数及其应用. 【专题】计算题;转化思想. 【分析】(1)令 x=0,代入 f(x+y)=f(x)+f(y)可构造一个关于 f(0)的方程,解方程 即可得到答案; (2)令 y=﹣x,f(x+y)=f(x)+f(y),可得到 f(﹣x)与 f(x)的关系,结合函数奇偶 性的定义即可得到结论; (3)由 f(1)=1,我们根据 f(x+y)=f(x)+f(y),易得 f(2)=2,故可将 f(2a)>f (a﹣1)+2 转化为一个关于 a 的二次不等式,解不等式即可得到 a 的取值范围. 【解答】解:(1)令 y=x=0 得 f(0)=2f(0) ∴f(0)=0 (2)令 y=﹣x 得 f(0)=f(x)+f(﹣x)→f(﹣x)=﹣f(x) 又函数的定义域为 R ∴f(x)为奇函数 (3)∵f(x+y)=f(x)+f(y)又 f(1)=1 ∴2=f(1)+f(1)=f(1+1)=f(2) ∴f(2a)>f(a﹣1)+2 即为 f(2a)>f(a﹣1)+f(2) 又 f(a﹣1)+f(2)=f(a﹣1+2)=f(a+1) ∴f(2a)>f(a+1) 又函数 f(x)是 R 上的增函数 ∴2a>a+1 得 a>1 ∴a 的取值范围是{a|a>1} 【点评】本题考查的知识点是抽象函数函数值的求法,单调性的判断及单调性的应用,其中 抽象函数“凑”的思想是解答的关键.


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