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空间直角坐标系


空间直角坐标系

数轴上的点
B
-2 -1 A

O

1

2

3

x

数轴上的点可以用 唯一的一个实数表示

平面坐标系中的点
y

y

P (x,y) 平面中的点可以用 有序实数对(x,y) 来表示点

O

x

x

在教室里同学们的位置坐标
O
讲台

y

x

教室里某位同学的头所在的位置
z

y O

x

空间直角坐标系 —Oxyz
z
1

竖轴

右手直角坐标系

纵轴
o
1

1

空间的点
y

x

有序数组 ( x , y , z )

横轴

?

求空间点的坐标
例 1.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M 为 BC1 的中点,在如图所示的直角坐标系中,试写出 各点的坐标.

特殊位置的点的坐标
? ? ? ? ? ? X轴上的点(x,0,0) Y轴上的点(0,y,0) Z轴上的点(0,0,z) Xoy平面上的点(x,y,0) Yoz平面上的点(0,y,z) Xoz平面上的点(x,0,z)

练习 1、 如 图 在 长 方 体 OABC ? D?A? B?C2 中, OA ? 3, OC ? 4, OD? ? 2, 写 出C,A? ,B?, P , Q点 的 坐 标 。
A'

z
D'
P

C'
B'

o
3

Q

4

C
B
P

xA 2.在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC ,

?BAC ? 90 , D, E, F 分别是棱 AB, BC , CD
F

的中点, AB ? AC ? 1, PA ? 2 ,试建立适当的
A C

空间直角坐标系并确定各点坐标
B

D E

?

求空间点的坐标

例 2.在棱长均为 2 的正四棱锥 P-ABCD 中, 建立恰当的空间 直角坐标系,写出正四棱锥 P-ABCD 各顶点坐标;

z

y

x

?

求空间点的坐标

练习 3:在棱长为 2 的三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 试建立 适当的空间直角坐标系并确定各点坐标
A1 C1

B1

A

C

B

?
横坐标相反, 纵坐标不变。

空间中点的对称问题
y

P2 (-x0 ,y0) - x0

y0

P (x0,y0) x0 x

O

P3 (-x0 , -y0) -y0
横坐标相反, 纵坐标相反。

P1 (x0 , -y0)
横坐标不变, 纵坐标相反。

? 空间中点的对称问题 例3.求点M(a,b,c)关于坐标平面,坐标 轴及坐标原点的对称点的坐标.

关于坐标平面对称
? ? ? ? 一般的P(x , y , z) 关于: (x,y,-z) (1)xoy平面对称的点P1为__________; ( -x,y, z) (2)yoz平面对称的点P2为 __________; (x, -y, z) (3)xoz平面对称的点P3为__________;

关于谁对称谁不变

对称点
? ? ? ? 一般的P(x , y , z) 关于: ( x, ? y, ? z ) (1)x轴对称的点P1为__________; (? x, y, ? z ) (2)y轴对称的点P2为__________; (? x, ? y, z ) (3)z轴对称的点P3为__________;

关于谁对称谁不变

练习4:
? 在空间直角坐标系中, 点P(1,2,3)关于yOZ平面的对称点是____ (-1,2,3) 点P(1,2,3)关于Y轴的对称点是________
(-1,2,-3)

点P(1,2,3)关于原点的对称点是_______
(-1,-2,-3)

两点间距离公式
平面: | PP ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) 1 2 |?
2 2

类比

猜想

空间: | PP ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z2 ) 1 2 |?
2 2

2

?

空间中两点间的距离

例4、 (1)在空间直角坐标系中,A(-6,0,1), B(-5,1,3),则|AB|=________.
(2)若点 P 在 x 轴上,它到 P1(0, 2,3)的距离是到 P2(0,1,-1)距离的 2 倍,则点 P 的坐标为________.
思考:对于实数 x、y、z, x2+y2+z2+ ?x-1?2+?y-1?2+?z-1?2的最小值为________.

课堂小结


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