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2015届高考数学二轮复习 专题检测12 函数的零点-关键抓住破题题眼


12

函数的零点——关键抓住破题题眼

1.f(x)=2sin π x-x+1 的零点个数为________. 答案 5 解析 ∵2sin π x-x+1=0,∴2sin π x=x-1,图象如图所示,由图象看出 y=2sin π x 与 y=x-1 有 5 个交点, ∴f(x)=2sin π x-x+1 的零点个数为 5.

2.方程|x -2x|=a +1(a>0)的解的个数是________. 答案 2

2

2

解析 (数形结合法) ∵a>0,∴a +1>1.而 y=|x -2x|的图象如图,∴y=|x -2x|的图象与 y=a +1 的图象总有 两个交点.
?log0.5(x+1),0≤x<1, ? 3.定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x≥0 时,f(x)=? ? ?1-|x-3|,x≥1,
2 2 2 2

则关于 x 的函

数 F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为________. 答案 1-2
a

解析 当 0≤x<1 时,f(x)≤0. 由 F(x)=f(x)-a=0,画出函数 y=f(x)与 y=a 的图象如图.

函数 F(x)=f(x)-a 有 5 个零点. 当-1<x<0 时,0<-x<1,

1

所以 f(-x)=log0.5(-x+1)=-log2(1-x), 即 f(x)=log2(1-x),-1<x<0. 由 f(x)=log2(1-x)=a, 解得 x=1-2 , 因为函数 f(x)为奇函数, 所以函数 F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为 1-2 . x ? ?e -x-2,x≤0, ? 4.已知 f(x)= 则函数的零点个数为________. 2 ?ln(x -x+1),x>0, ? 答案 2 解析 当 x>0 时,由 f(x)=0,即 ln(x -x+1)=0, 得 x -x+1=1,解得 x=0(舍去)或 x=1. 当 x≤0 时,f(x)=e -x-2,f′(x)=e -1≤0, 所以函数 f(x)在(-∞,0]上单调递减. 而 f(0)=e -0-2=-1<0,f(-2)=e -(-2)-2=e >0, 故函数 f(x)在(-2,0)上有且只有一个零点. 综上,函数 f(x)有两个零点. 5.(2013·天津改编)函数 f(x)=2 |log0.5 x|-1 的零点个数为________. 答案 2
x
0 -2 -2 2 2

a

a

x

x

?1?x x 解析 当 0<x<1 时,f(x)=2 log0.5x-1,令 f(x)=0,则 log0.5x=? ? , ?2? ?1?x 由 y=log0.5x,y=? ? 的图象知,在(0,1)内有一个交点,即 f(x)在(0,1)上有一个零点. ?2?
当 x>1 时,f(x)=-2 log0.5x-1=2 log2x-1, ?1?x 令 f(x)=0 得 log2x=? ? , ?2? ?1?x 由 y=log2x,y=? ? 的图象知在(1,+∞)上有一个交点,即 f(x)在(1,+∞)上有一个零 ?2? 点,综上有两个零点. 6.已知函数 f(x)=? 确的是________. ①当 k>0 时,有 3 个零点;当 k<0 时,有 2 个零点; ②当 k>0 时,有 4 个零点;当 k<0 时,有 1 个零点; ③无论 k 为何值,均有 2 个零点;
2 ? ?kx+1,x≤0, ?ln ?
x x

x,x>0,

则下列关于函数 y=f(f(x))+1 的零点个数的判断正

④无论 k 为何值,均有 4 个零点. 答案 ② 解析 当 k>0 时,f(f(x))=-1,综合图(1)分析, 1 则 f(x)=t1∈(-∞,- )或 f(x)=t2∈(0,1).

k

对于 f(x)=t1,存在两个零点 x1,x2; 对于 f(x)=t2,存在两个零点 x3,x4. 此时共计存在 4 个零点.

当 k<0 时,f(f(x))=-1,结合图(2)分析, 则 f(x)=t∈(0,1),此时仅有 1 个零点 x0.故②正确. 7.已知函数 f(x)=logax+x-b(a>0,且 a≠1),当 2<a<3<b<4 时,函数 f(x)的零点 x0∈(n,

n+1),n∈N*,则 n=________.
答案 2 解析 由于 2<a<3<b<4,故 f(1)=loga1+1-b=1-b<0, 而 0<loga2<1,2-b∈(-2,-1), 故 f(2)=loga2+2-b<0, 又 loga3∈(1,2),3-b∈(-1,0), 故 f(3)=loga3+3-b>0, 因此函数必在区间(2,3)内存在零点,故 n=2. 8.方程 2 +x =3 的实数解的个数为________. 答案 2 1 x 2 -x 解析 方程变形为 3-x =2 =( ) , 2 1 2 x 令 y1=3-x ,y2=( ) . 2 如图所示,由图象可知有 2 个交点.
-x 2

3

9.(2014·连云港模拟)已知函数 f(x)=2ax +2x-3.如果函数 y=f(x)在区间[-1,1]上有 零点,则实数 a 的取值范围为________. ?1 ? 答案 ? ,+∞? ?2 ? 解析 若 a=0,则 f(x)=2x-3, 3 f(x)=0? x= ?[-1,1],不合题意,故 a≠0. 2 下面就 a≠0 分两种情况讨论: (1)当 f(-1)·f(1)≤0 时,f(x)在[-1,1]上至少有一个零点,即(2a-5)(2a-1)≤0,解得 1 5 ≤a≤ . 2 2

2

? ? 1 (2)当 f(-1)·f(1)>0 时,f(x)在[-1,1]上有零点的条件是? -1<- <1, 2a ? ?f(-1)·f(1)>0,
f?- ?f(1)≤0, ? 2a?
5 解得 a> . 2

?

1?

?1 ? 综上,实数 a 的取值范围为? ,+∞?. ?2 ?
?|x +5x+4|,x≤0, ? 10.(2014·天津)已知函数 f(x)=? ?2|x-2|,x>0. ?
2

若函数 y=f(x)-a|x|恰有 4 个零点,则实数 a 的取值范围为________. 答案 1<a<2 解析 画出函数 f(x)的图象如图所示.

函数 y=f(x)-a|x|有 4 个零点,即函数 y1=a|x|的图象与函数 f(x)的图象有 4 个交点(根 据图象知需 a>0). 当 a=2 时,函数 f(x)的图象与函数 y1=a|x|的图象有 3 个交点.故 a<2.
4

当 y=a|x|(x≤0)与 y=|x +5x+4|相切时,在整个定义域内,f(x)的图象与 y1=a|x|的图 象有 5 个交点, ? ?y=-ax 此时,由? 2 ?y=-x -5x-4 ?
2

2

得 x +(5-a)x+4=0.

2

由 Δ =0 得(5-a) -16=0,解得 a=1,或 a=9(舍去), 则当 1<a<2 时,两个函数图象有 4 个交点. 故实数 a 的取值范围是 1<a<2. 11.已知函数 f(x)=ln x+x . (1)若函数 g(x)=f(x)-ax 在其定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围; (2)在(1)的条件下,若 a>1,h(x)=e -3ae ,x∈[0,ln 2],求 h(x)的极小值; (3)设 F(x)=2f(x)-3x -kx(k∈R),若函数 F(x)存在两个零点 m,n(0<m<n),且 2x0=m+
2 3x 2

x

n.问:函数 F(x)在点(x0,F(x0))处的切线能否平行于 x 轴?若能,求出该切线方程;若不能,
请说明理由. 1 2 解 (1)g(x)=f(x)-ax=ln x+x -ax,g′(x)= +2x-a.

x

由题意,知 g′(x)≥0 在 x∈(0,+∞)内恒成立, 1 即 a≤(2x+ )min.

x

1 2 又 x>0,2x+ ≥2 2,当且仅当 x= 时等号成立. x 2 1 故(2x+ )min=2 2,所以 a≤2 2.

x

(2)由(1)知,1<a≤2 2. 令 e =t,则 t∈[1,2],则 h(t)=t -3at.
x
3

h′(t)=3t2-3a=3(t- a)(t+ a).
由 h′(t)=0,得 t= a或 t=- a(舍去), 3 ∵a∈(1,2 2],∴ a∈[1,2 ], 4 ①若 1<t≤ a,则 h′(t)<0,h(t)单调递减; ②若 a<t≤2,则 h′(t)>0,h(t)单调递增. 故当 t= a时,h(t)取得极小值, 极小值为 h( a)=a a-3a a=-2a a. (3)设 F(x)在(x0,F(x0))的切线平行于 x 轴, 其中 F(x)=2ln x-x -kx.
2

5

? ?2ln n-n -kn=0, 结合题意,有?m+n=2x , ③ 2 ? ?x -2x -k=0, ④
2ln m-m -km=0,
2 0 0 0

2

① ②

m n m 2ln n 所以 k= -2x0. m-n
2 由④得 k= -2x0.

①-②得 2ln -(m+n)(m-n)=k(m-n).

x0

2( -1) n m 2(m-n) 所以 ln = = .⑤ n m+n m +1

m

n

m 2(u-1) 设 u= ∈(0,1),⑤式变为 ln u- =0(u∈(0,1)). n u+1 2(u-1) 设 y=ln u- (u∈(0,1)), u+1 2 1 2(u+1)-2(u-1) (u+1) -4u y′= - = 2 u (u+1) u(u+1)2 2 (u-1) = >0, u(u+1)2 2(u-1) 所以函数 y=ln u- 在(0,1)上单调递增, u+1 2(u-1) 因此,y<y|u=1=0,即 ln u- <0. u+1
2( -1) m n 也就是,ln < ,此式与⑤矛盾. n m +1

m

n

所以 F(x)在(x0,F(x0))处的切线不能平行于 x 轴. 12.(2014·四川)已知函数 f(x)=e -ax -bx-1,其中 a,b∈R,e=2.718 28…为自然对 数的底数. (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值; (2)若 f(1)=0,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,证明:e-2<a<1. (1)解 由 f(x)=e -ax -bx-1, 有 g(x)=f′(x)=e -2ax-b. 所以 g′(x)=e -2a. 因此,当 x∈[0,1]时,g′(x)∈[1-2a,e-2a].
x x x
2

x

2

6

1 当 a≤ 时,g′(x)≥0, 2 所以 g(x)在[0,1]上单调递增, 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; e 当 a≥ 时,g′(x)≤0,所以 g(x)在[0,1]上单调递减, 2 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b; 1 e 当 <a< 时,令 g′(x)=0 得 x=ln(2a)∈(0,1), 2 2 所以函数 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增. 于是,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a)) =2a-2aln(2a)-b. 1 综上所述,当 a≤ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; 2 1 e 当 <a< 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b; 2 2 e 当 a≥ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b. 2 (2)证明 设 x0 为 f(x)在区间(0,1)内的一个零点, 则由 f(0)=f(x0)=0 可知 f(x)在区间(0,

x0)上不可能单调递增,也不可能单调递减.
则 g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负. 故 g(x)在区间(0,x0)内存在零点 x1. 同理,g(x)在区间(x0,1)内存在零点 x2, 所以 g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点. 1 由(1)知,当 a≤ 时,g(x)在[0,1]上单调递增, 2 故 g(x)在(0,1)内至多有一个零点. e 当 a≥ 时,g(x)在[0,1]上单调递减, 2 故 g(x)在(0,1)内至多有一个零点. 1 e 所以 <a< . 2 2 此时 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减, 在区间(ln(2a),1]上单调递增. 因此 x1∈(0,ln(2a)],x2∈(ln(2a),1),必有

g(0)=1-b>0,g(1)=e-2a-b>0.
由 f(1)=0,有 a+b=e-1<2,有
7

g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0.
解得 e-2<a<1. 所以函数 f(x)在区间(0,1)内有零点时,e-2<a<1.

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