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2011年浙江省高中数学竞赛试题(含答案)


2011 年浙江省高中数学竞赛试题 参考解答与评分标准
一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号 填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分)
1. 已知 ? ? [
5? 4
5? 4

,

3? 2

] ,则 1 ? sin 2? ?

1 ? sin 2? 可化简为(

D



A. 2 sin ? 解答:因为 ? ? [

B. ? 2 sin ?
, 3? 2

C.

? 2 cos ?

D. 2 cos ?
1 ? sin 2? = co s ? ? sin ? ? co s ? ? sin ?

] ,所以 1 ? sin 2? ?

? 2 c o ? 。正确答案为 D。 s

2.如果复数 ? a ? 2 i ? ?1 ? i ? 的模为 4,则实数 a 的值为( A. 2
B. 2 2 C.
?2

C )

D. ? 2 2

解答:由题意得 2 ? a 2 ? 4 ? 4 ? a ? ? 2 。正确答案为 C。 3. 设 A , 为两个互不相同的集合, B 命题 P:x ? A ? B , 命题 q:x ? A 或 x ? B , 则 p 是 q 的( B ) A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件 解答:P 是 q 的充分非必要条件。正确答案为 B。 4. 过椭圆
x
2

2

? y ? 1 的右焦点 F2 作倾斜角为 4 5
2

?

弦 AB,则 A B 为(

C )

A.

2 6 3

B.

4 6 3

C.

4 3

2

D.

4 3 3

解答:椭圆的右焦点为(1,0) ,则弦 AB 为 y ? x ? 1, 代入椭圆方程得
3 x ? 4 x ? 0 ? x1 ? 0, x 2 ?
2

4 3

? AB ?

2 ( x1 ? x 2 ) ?
2

4 2 3

。正确答案为 C。

5. 函数

?1 ? 5 ? x f (x) ? ? x ? 5 ?1

x?0 x? 0

,则该函数为(

A



A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数 解答:由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为 A。 6. 设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( A )

1

2 2

2 2 2 2 3 1 1

正视图 A. 4+
5? 2

侧视图 B. 4+
3? 2

俯视图(圆和正方形) D. 4+ ?
?
2

C. 4+

?
2

解答:该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分( 以该几何体的体积为 2 ? 2 ? 1 ? 3? ?
?
2 ? 4? 5? 2

) ,所

。正确答案为 A。

7.某程序框图如右图所示,现将输出( x , y ) 值依 次记为: ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ), ? , ( x n , y n ), ? ; 若程序运行中 输出的一个数组是 ( x , ? 1 0 ), 则数组中的 x ? ( B ) A.64 B.32 C.16 答案 经计算 x ? 32 。正确答案为 B。 D.8

| ? 8. 在平面区域 ? ( x , y ) | x |? 1, | y ? 1 上恒有 a x ? 2 b y ? 2 ,则动点
P (a, b)

所形成平面区域的面积为( B.8 C. 16 D. 32

A



A. 4

解答:平面区域 ? ( x , y ) | x |? 1, | y |? 1? 的四个边界点(—1,—1) , (—1,1)(1,—1)(1,1)满足 a x ? 2 b y ? 2 ,即有 , ,
a ? 2 b ? 2, a ? 2 b ? 2, ? a ? 2 b ? 2, ? a ? 2 b ? 2

由此计算动点 P ( a , b ) 所形成平面区域的面积为 4。正确答案为 A。 9. 已知函数 f ( x ) ? s in ( 2 x ? ( C ) A. ? , 1 ?
?2 ? ?1 ?

?
6

)? m

在 ? 0, ? 上有两个零点,则 m 的取值范围为 ? 2?

?

? ?

B ? , 1? ?2 ?

?1

?

C. ? , 1 ? ?2 ?

?1

?

D. ? , 1 ? ?2 ?

?1

?

2

解答:问题等价于函数 f ( x ) ? s in ( 2 x ?
?1 ? ?

?
6

) 与直线 y ? m

在 ? 0, ? 上有两个交点, ? 2?

?

? ?

所以 m 的取值范围为 ? , 1 ? 。正确答案为 C。
?2

10. 已知 a ? [ ? 1,1] ,则 x 2 ? ( a ? 4) x ? 4 ? 2 a ? 0 的解为( C ) A. x ? 3 或 x ? 2 B. x ? 2 或 x ? 1 C. x ? 3 或 x ? 1 D. 1 ? x ? 3

解答:不等式的左端看成 a 的一次函数, f ( a ) ? ( x ? 2 ) a ? ( x 2 ? 4 x ? 4 ) 由 f ( ? 1) ? x 2 ? 5 x ? 6 ? 0, f (1) ? x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ? x ? 1 或 x ? 3 。 正确答案为 C。 二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分, 共 49 分) 11. 函数 f ( x ) ? 2 sin
x 2 ? 3 co s x 的最小正周期为______4 ? ____。

解答:最小正周期为 4 ? 。

12. 已知等差数列 ? a n ? 前 15 项的和 S 1 5 =30,则 a1 ? a 8 ? a1 5 =____6_______.
解答:由 S 1 5 ? 3 0 ? a1 ? 7 d ? 2 ,而 a1 ? a 8 ? a15 ? 3( a1 ? 7 d ) ? 6 。

13. 向量 a ? (1, sin ? ) , b ? (co s ? , 3 ) , ? ? R ,则 a ? b 的取值范围为 [1,3] 解答: a ? b ? (1 ? co s ? ) 2 ? (sin ? ? 3 ) 2 ? 5 ? 2 (co s ? ? 3 sin ? ) = 5 ? 4 sin (
?
6 ??)
? ?

?

?

?

?



,其最大值为 3,最小值为 1,取值范围为[1,3]。

14. 直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 ,底面 ? A B C 是正三角形,P,E 分别为 B B1 , C C 1 上 的动点(含端点) 为 BC 边上的中点,且 P D ? P E 。则直线 A P , P E 的夹角为 ,D _ 90 ? _。 解答:因为平面 ABC⊥平面 B C C 1 B1 ,AD⊥BC,所以 AD⊥平面 B C C 1 B1 ,所以 AD⊥PE,又 PE⊥PD,PE⊥平面 APD,所以 PE⊥PD。即夹角为 90 ? 。 15.设 x , y 为实数,则
5 x ? 4 y ? 10 x
2

max 2

( x ? y ) ? _____4________。
2 2

3

解答: 5 x 2 ? 4 y 2 ? 10 x ? 4 y 2 ? 10 x ? 5 x 2 ? 0 ? 0 ? x ? 2
4( x ? y ) ? 10 x ? x ? 25 ? (5 ? x ) ? 25 ? 3 ? x ? y ? 4
2 2 2 2 2 2 2

16. 马路上有编号为 1,2,3,…,2011 的 2011 只路灯,为节约用电要求关闭 其中的 300 只灯,但不能同时关闭相邻两只,也不能关闭两端的路灯,则满足条 件的关灯方法共有___ C 1370100 _______种。 (用组合数符号表示) 解答: 问题等价于在 1711 只路灯中插入 300 只暗灯, 所以共有 C 1370100 种关灯方法。 17. 设 x , y , z 为整数, x ? y ? z ? 3 , x 3 ? y 3 ? z 3 ? 3 ,则 x 2 ? y 2 ? z 2 ? _3 或 57_。 且 解答:将 z ? 3 ? x ? y 代入 x 3 ? y 3 ? z 3 ? 3
xy ? 3( x ? y ) ? 9 ? 8 x? y

得到

,因为 x , y 都是整数,所以

?x ? y ? 1 ?x ? y ? 4 ?x ? y ? 2 ?x ? y ? 8 ,? ,? ,? , 前两个方程组无解; 后两个方程组解得 ? ? xy ? 2 ? xy ? 5 ? xy ? 1 ? xy ? 1 6
x ? y ? z ? 1; x ? y ? 4, z ? ? 5 。所以 x ? y
2 2

? z

2

?3

或 57。

三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 17 分,共计 51 分) 18. 设 a ? 2 ,求 y ? ( x ? 2 ) x 在 [ a , 2 ] 上的最大值和最小值。 解答:当 x ? 0, y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1,
当 x ? 0, y ? ( x ? 1) ? 1,
2

---------------------------------- 5 分 ---------------------------------- 10 分

由此可知 y m ax ? 0 。 当 1 ? a ? 2, y m in ? a ? 2 a ;
2

当1 ?

2 ? a ? 1, y m in ? ? 1 ; 2 , y m in ? ? a ? 2 a 。
2

当a ? 1?

---------------------------------- 17 分

19. 给 定 两 个 数 列 ? x n ? , ? y n ? 满 足 x 0 ? y 0 ? 1 , x n ?

x n ?1 2 ? x n ?1

( n ? 1)



4

yn ?

y n ?1 1 ? 2 y n ?1

2

( n ? 1) 。证明对于任意的自然数

n,都存在自然数 j n ,使得

yn ?x

jn



解答:由已知得到:
1 xn 1 xn ? 1? 2 x n ?1 ?1 ? 2 ? 1 xn
n ?1

? 1 ? 2 (1 ?

1 x n ?1

)?{

1 xn

? 1} 为等比数列,首项为 2,公比为 2,

所以

? xn ?

1 2
n ?1

?1
2



----------------- 5 分

又由已知, y n ? 1 ?
1 y0 1 yn

( y n ? 1 ? 1)

1 ? 2 y n ?1
? 2 2 n

?

yn ? 1 yn

?(

y n ?1 ? 1 y n ?1

) ? 1?
2

1 yn

? (1 ?

1 y n ?1

)

2

由1 ?

? 2 ? 1?

? yn ? 2 2

1 n ?1



所以取 j n ? 2 ? 1 即可。

n

------------------- 17 分

20. 已知椭圆

x 5

2 2

?

y 4

2 2

? 1 ,过其左焦点 F1 作一条直线交椭圆于

A,B 两点,D ( a , 0 )

为 F1 右侧一点,连 AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰好 过 F1 ,求 a 的值。 解答: F1 ( ? 3, 0 ), 左 准 线 方 程 为 x ? ?
25 3 ; A B 方 程 为 y ? k ( x ? 3)( k 为 斜 率 ) 。

? y ? k ( x ? 3) ? 设 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,由 ? x 2 y 2 ? ?1 ? 16 ? 25

? ( 1 6?

2 5 x) ? k
2 2

1k5 0 ? x
2

2 2? k 5
2

? 0 0 4

0

得 x1 ? x 2 ? ?

150k

2 2

16 ? 25k

, x1 x 2 ? ?

225k ? 400
2

16 ? 25k

2

? y1 y 2 ? k ( x1 ? 3)( x 2 ? 3) ? ?
2

256k

2 2

16 ? 25k

----------------------10 分 设 M (?
25 3 , y 3 ), N ( ? 25 3 , y 4 ) 。由 M、A、D 共线 y 3 ?
(3 a ? 2 5) y 1 3( a ? x1 ) ,同 理 y 4 ? (3 a ? 2 5) y 2 3( a ? x 2 )





????? ???? ? ????? ???? ? ????? ???? ? 16 16 F1 M ? ( ? , y 3 ), F1 N ? ( ? , y 4 ),由 已 知 得 F1 M ? F1 N ? F1 M ? F1 N ? 0 3 3

, 得

5

y3y

? ? 4

256 9

,而 y 3 y

? 4

( 3 a ? 2 5) y 1 y 2
2

9 ( a ? x1 )( a ? x 2 )

,即 ?

256k

2 2

16 ? 25k

?

( 3 a ? 2 5)

2

9 ( a ? x1 )( a ? x 2 )

=?

256 9

,

整理得

(1 ? k )(1 6 a ? 4 0 0 ) ? 0 ? a ? ? 5, 又 a ? ? 3, 所 以 a ? 5 。
2 2

--------------17 分

四、附加题(本大题共 2 小题,每小题 25 分,共计 50 分) 21. 在锐角三角形 ABC 中,? A ?
?
3

,设在其内部同时满足 PA ? PB 和 PA ? PC 的
1

点 P 的全体形成的区域 G 的面积为三角形 ABC 面积的 。 证明三角形 ABC 为
3

等边三角形。 解答:做 ? A B C 的外接圆 O,做 OE ? AB 于E , OF ? AC 于F , OM ? BC 于 M , 则 G 为四 A
边形 AEOF。又

E

F

O

C B
S四 边 形 AEOF ? 1 3 1 3

M

D

S ?ABC , 2 S四 边 形 AEO F ? 2 S ?AEO ? 2 S ?AO F ? S ?AO B ? S ?AO C S ?ABC 。
? ?

所以 S ? O B C ?

--------------------------10 分
1 2 R(R为 ?ABC外 接 圆 半 径 )

由 已 知 ? BO C ? 120 , 则 ? O BC ? 30 ,则 OM= 作 AD ? BC于 D ,则 AD ? AO ? OM ? S ?ABC ? 1 2 ? 3R 2 3 2 R

B C ? 3 S ? O B C ,等号成立当且仅当 A、O、M 共线,即 ? A B C 为等边三角形。

--------------------------25 分

22. 设 a , b , c ? R ? ,且 a ? b ? c ? 3 。求证:

6

a?b 2?a?b

?

b?c 2?b?c

?

c?a 2?c?a

?

3 2



并指明等号成立的条件。
n

证明:由柯西不等式 ?

ai

2

(? ai ) ?
i ?1 n

n

2

得到
i

i ?1

bi

?b
i ?1

a?b 2?a?b

?

b?c 2?b?c

?

c?a 2?c?a

?

( a?b ?

c?b ?

a ? c)

2

6 ? 2(a ? b ? c)

(1) --------------------10 分

(1)式右边的分子= 2( a ? b ? c ) ? 2( a ? b c ? b ?
2

c?b

a?c ?
2

a?c

c ?b)

= 2(a ? b ? c ) ? 2( b ? b (a ? c ) ? ac ? ? ) ? 2(a ? b ? c ) ? 2( b ? 2b ac ? ac ? ? )
? 2( a ? b ? c ) ? 2( b ?
? 3( a ? b ? c ? 3) 。

ac ? a ?

bc ? c ?

ab ) ? 3( a ? b ? c ) ? ( a ?

b ?

c)

2

--------------------------20 分 --------------------------25 分

等号成立条件是 a ? b ? c ? 1 。结论成立。

7


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