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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修3【配套备课资源】3.3.1


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3.3.1

3.3.1
【学习要求】
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几何概型

1.通过本节课的学习与探究,理解几何概型试验的基本 特征,了解几何概型与古典概型的区别与联系; 2.理解并掌握几何概型的定义; 3.会求简单的几何概型试验的概率. 【学

法指导】 通过生产与生活中与几何概型有关的实例,了解几何概 型,培养解决实际问题的能力;通过增加与同学合作学 习交流的机会,培养合作能力.

填一填·知识要点、记下疑难点

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1.几何概型的概念 事件 A 理解为区域 Ω 的某一子区域 A,如图,A 的概
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率只与子区域 A 的 几何度量 (长度、面积或体积)成 正比 ,而与 几何概型 . A 的位置 和 形状 无关.满足以上条件的试验称为 2.几何概型的概率计算公式 μA 在几何概型中,事件 A 的概率定义为:P(A)=μ ,其中,μΩ 表 Ω 示 区域Ω的几何度量 ,μA 表示 子区域A的几何度量 .

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3.3.1

本 [问题情境] 在现实生活中,常常会遇到试验的所有可 课 能结果是无穷多的情况,例如:一个正方形方格内 时 栏 有一内切圆,往这个方格中投一个石子,求石子落 目 开 在圆内的概率,由于石子可能落在方格中的任何一 关

点,这个实验不能用古典概型来计算事件发生的概 率.对此,我们必须学习新的方法来解决这类问题.

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探究点一 导引 1 几何概型的概念

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如图, 转盘上有 8 个面积相等的扇形. 转

动转盘,求转盘停止转动时指针落在阴影部分
本 课 问题 1 古典概型有哪两个共同的特征? 时 栏 答 共同的特征:(1)有限性:在一次试验中,可能出现的结 目 开 果只有有限个, 即只有有限个不同的基本事件; (2)等可能性: 关

的概率.

每个基本事件发生的可能性是均等的.

问题 2 导引 1 中的试验可能结果个数有多少?这个试验是 否是古典概型? 答 指针落在阴影部分的位置有无限多种可能, 所以试验的

可能结果有无限多个,所以这个试验不是古典概型.

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问题 3

在导引 1 中,指针落在转盘上的任意一个位置的

可能性是否相等?用什么量来衡量指针落在阴影部分 的可能性的大小?指针落在阴影部分的概率是多少?
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转盘停止时指针落在转盘上的哪一个位置的可能性

是一样的;用阴影部分面积与总面积之比来衡量;所求 4 概率为8=0.5.

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小结

3.3.1

设导引 1 中的事件 A 为“指针指向阴影区域”,

我们发现事件 A 包含的基本事件有无数个,而试验的基 本事件总数也是无数个.如果我们仿照古典概型的概率
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公式,用事件 A 包含的基本事件个数与试验的基本事件 总数的比例来解决这个问题,那样就会出现“无数比无 数”的情况,没有办法求解. 因此,我们需要一个量,来度量事件 A 和 Ω,使这个比 例式可以操作,这个量就称为“几何度量”.这就得到 μA 了几何概型的概率公式 P(A)=μ ,其中 μΩ 表示区域 Ω Ω 的几何度量,μA 表示子区域 A 的几何度量.

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导引 2 问题 4
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在 500 mL 水中有一只草履虫,现从中随机抽取 导引 2 中的试验结果个数有多少?这个试验是否

2 mL 水样放到显微镜下观察,求发现草履虫的概率. 是古典概型?

答 由于取水样的随机性,所以试验结果的个数有无限多 个,因此这个试验不是古典概型.

问题 5 导引 2 中的概率用什么几何量来表达?所求的概 率是多少?
答 导引 2 中的概率与体积有关,所以用水样的体积与总 2 体积的比来表示概率,所求概率为500=0.004.

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小结

若事件 A 理解为区域 Ω 的某一子区域 A,A 的概率

只与子区域的几何度量(长度、 面积或体积)成正比, 而与 A 的位置和形状无关. 满足以上条件的试验称为几何概型. 在 μA 几何概型中,事件 A 的概率定义为:P(A)=μ . Ω

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探究点二 例1


几何概型的应用

一海豚在水池中自由游弋. 水池为长 30 m, 20 m 宽
对于几何概型,关键是要构造出随机事件对应的几

的长方形.求此刻海豚嘴尖离岸边不超过 2 m 的概率.
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何图形,利用图形的几何度量来求随机事件的概率.如 图所示. 区域 Ω 是长 30 m,宽 20 m 的长方形, 图中阴影部分表示事件 A:“海豚嘴尖 离岸边不超过 2 m”. 问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率, 2 μ =30×20-26×16=184 (m2). 于是 μΩ=30×20=600 (m ),A
μA 184 23 P(A)=μ =600=75. Ω

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小结

在本例中,海豚位于水池的任意位置都是随机

的,并且是等可能的,因此符合几何概型.

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跟踪训练 1 的概率.

某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音

机,想听电台报时,求他等待的时间不多于 10 分钟
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解 记“等待的时间小于 10 分钟”为事件 A,
打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内则事件 A 发生. 60-50 1 由几何概型的概率公式得 P(A)= 60 =6, 1 即“等待报时的时间不超过 10 分钟”的概率为6.

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例2

平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线, 把一枚半

径 r<a 的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任一 条平行线相碰的概率. 解 设事件 A:“硬币不与任一条平行线相碰”. 为了确定硬币的位置, 由硬币中心 O 向靠得最近的平行 线引垂线 OM,垂足为 M. 这样线段 OM 长度(记作|OM|) 的取值范围是[0,a]. 其长度就是几何概型定义中区域 Ω 的几 何度量. 只有当 r<|OM|≤a 时硬币不与平行线相碰. 其长度就是子区域 A 的几何度量. ?r,a]的长度 a-r 所以,P(A)= = a . [0,a]的长度 小结 求几何概型问题中的概率,关键是分析出用什么几
何量表示结果发生的可能性.

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跟踪训练 2 某路公共汽车 5 分钟一班准时到达某车站, 求任一人在该车站等车时间少于 3 分钟的概率(假定车 到来后每人都能上).
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解 可以认为人在任一时刻到站是等可能的.
设上一班车离站时刻为 a,则某人到站的一切可能时刻 为 Ω=(a,a+5),记 Ag={等车时间少于 3 分钟}, 则他到站的时刻只能为 g=(a+2, a+5)中的任一时刻,

g的长度 3 故 P(Ag)= = . Ω的长度 5

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1.已知地铁列车每 10 min 一班, 在车站停 1 min, 乘客到达站 1 台立即乘上车的概率为________. 11 1 解析 由几何概型知,所求事件 A 的概率为 P(A)=11. 2. 两根相距 6 m 的木杆上系一根绳子, 并在绳子上挂一盏灯, 1 灯与两端距离都大于 2 m 的概率为________. 3

解析

记“灯与两端距离都大于 2 m”为事件 A, 2 1 则 P(A)=6=3.

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3.在圆心角为 90° 的扇形 AOB 中,以圆心 O 为起点作射 线 OC, 求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于 30° 的概率.
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解 如图所示,把圆弧 AB 三等分, 则∠AOF=∠BOE=30° ,

记 A 为“在扇形 AOB 内作一射线 OC, 使∠AOC 和∠BOC 都不小于 30° ”,

要使∠AOC 和∠BOC 都不小于 30° , 则 OC 就落在∠EOF 内,
30° 1 ∴P(A)=90° 3. =

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1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发
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生的概率模型. 2.几何概型主要用于解决长度、面积、体积有关的题目. 3.注意理解几何概型与古典概型的区别. 4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题,利用几 何概型公式求解,概率公式为:

构成事件A的区域长度(面积或体积), 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)


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