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高中数学角概念的推广和弧度制的考点解析和例题辅导


角的概念的推广和弧度制
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理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算 知识点归纳
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1 角 ? 和 ? 终边相同: ? ? ? ? k ? 360 ?
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k ?Z

2 几种终边在特殊位置时对应角的集合为:
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角的终边所在位置 X 轴正半轴

角的集合

?? | ? ? k ? 360 ?,

k ? Z? k ? Z? k ? Z?
k ? Z?

Y 轴正半轴

?? | ? ? k ? 360? ? 90?, ?? | ? ? k ? 360 ? ? 180 ?,
?? | ? ? k ? 360 ? ? 270 ?,
?? | ? ? k ?180?,

X 轴负半轴

Y 轴负半轴

X轴

k ? Z?

Y轴

?? | ? ? k ?180? ? 90?, ?? | ? ? k ? 90?,
k ? Z?

k ? Z?

坐标轴

3 弧度制定义:我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 1 弧度角
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角度制与弧度制的互化: 180 ? ? ?

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1? ?

?
180

1 弧度 ?

180 ?

?

? 57.3?

4 弧长公式: l ?| ? | r
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( ? 是圆心角的弧度数)

5 扇形面积公式: S ?
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1 1 l r ? |? | r2 2 2

题型讲解

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例 1 已知角 ? ? 45? ; (1)在区间 [?720 ?, 0? ] 内找出所有与角 ? 有相同终边的角 ? ;

(2)集合 M ? ? x | x ? ? 180 ? ? 45?, k ? Z ? , N ? ? x | x ? ? 180 ? ? 45?, k ? Z ?

? ?

k 2

? ?

? ?

k 4

? ?

那么两集合的关系是什么? 分析: (1)从终边相同的角的表示入手分析问题,先表示出所有与角 ? 有相同终边的角, 然后列出一个关于 k 的不等式, 找出相应的整数 k , 代回求出所求解; (2) 可对整数 k 的奇、 偶数情况展开讨论
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解: (1)所有与角 ? 有相同终边的角可表示为: 45? ? k ? 360 ? (k ? Z ) ,

则令

? 720 ? ? 45? ? k ? 360 ? ? 0? ,

得 ? 765 ? ? k ? 360 ? ? ?45? 解得 ?

765 45 ?k?? 360 360

从而 k ? ?2 或 k ? ?1 代回 ? ? ?675 ? 或 ? ? ?315 ? (2)因为 M ? ?x | x ? (2k ? 1) ? 45?, k ? Z ?表示的是终边落在四个象限的平分线上的角 的集合;而集合 N ? ?x | x ? (k ? 1) ? 45?, k ? Z ? 表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上
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的角的集合,从而: M ? N

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例 2 若角 ? 是第二象限角,则 (1)

? 是哪个象限角? (2) 2? 是哪个象限角? 2

分析: k ? 360 ? ? 90? ? ? ? k ? 360 ? ? 180 ? ( k ? Z ) 解: (1)因为角 ? 是第二象限角,所以 k ? 360 ? ? 90? ? ? ? k ? 360 ? ? 180 ? 则 k ? 180 ? ? 45? ? 当 k 是偶数时,设 k ? 2n 则 n ? 360 ? ? 45? ?

?
2

? k ? 180 ? ? 90? (k ? Z )

(n ? Z ) ,

?
2

? n ? 360 ? ? 90? (n ? Z )

可知

? 在第一象限; 2

当 k 是奇数时,设 k ? 2n ? 1 (n ? Z ) , 则 n ? 360 ? ? 225 ? ?

?
2

? n ? 360 ? ? 270 ? (n ? Z )

可知

? 在第三象限; 2

综上述,角 ? 是第二象限角,则

? 是第一象限角或第三象限角; 2

(2)因为 2k ? 360? ? 180? ? 2? ? 2k ? 360? ? 360? 可知角 2? 的终边应在第三象限或第四象限或 Y 轴的负半轴上; 例 3 已知下列各个角: ? 1 ? ? (1)其中是第三象限的角是 (2)将它们化为另一种度量制下的数量分别是多少?

11 511 ? ,? 2 ? ? , ? 3 ? 9 , ? 4 ? ?855 ? ; 7 6

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分析: (1)先将已知角对应化为 ? ? 2k? 或 y? ? k ? 360 ? (k ? Z ) 的形式后,再根据终边相 同来判断角所在象限; (2)根据换算公式解第二问; 解: (1) ? 1 ? ?

11 3? ,它是第一象限角; ? ? ?2? ? 7 7

?2 ?

511 7? ? 504? 7? ,它是第三象限角; ?? ? 84? ? 6 6 6

? 3 ? 9 ? (9 ? 2? ) ? 2? ,它是第二象角,

? 4 ? ?855 ? ? ?3 ? 360 ? ? 225? ,它也是第三象角;
答案为: ? 2 和 ? 4 (2) ? 1 ? ?

11 11 ? ? ? ? 180 ? ? ?282 .86? 7 7

?2 ?

511 511 ?? ? 180 ? ? 1 5 3 3?0 6 6 180 ?

?3 ? 9 ? 9 ?

?

? 516 .66?

? 4 ? ?855 ? ? ?855 ? ?

?
180

??

19 ? 4

例 4 一个半径为 r 的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的长,则扇形的圆心角是多少弧 度?多少度?扇形的面积是多少? 解:设扇形的圆心角是 ? rad ,因为扇形的弧长 r ? , 所以扇形的周长是 2r ? r ? 依题意知: 2r ? r ? ? ? r ,解得 ? ? ? ? 2 转化为角度度制为 ? ? ? ? 2 它的面积为: S ?

rad

rad ? (? ? 2) ?

180 ?

?

? 65?19 ,

1 2 1 r ? ? (? ? 2)r 2 2 2

例5

已知“ ? 是第三象限角,则

? 是第几象限角? 3
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分析

由 ? 是第三象限角,可得到 ? 角的范围,进而可得到
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定其象限即可 也可用几何法来确定
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? 所在的象限 3

? 的取值范围,再根据范围确 3

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解法一: 因为 ? 是第三象限角,所以 2k? ? ? ? ? ? 2k? ?

3 ? ?k ? Z ? 2



2k ? ? 2k ? ? ? ? ? ? ? ?k ? Z ? 3 3 3 3 2

∴当 k=3m(m∈Z)时,

? 为第一象限角; 3

当 k= 3m+1(m∈Z)时,

? 为第三象限角, 3 ? 为第四象限角 3
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当 k= 3m+2(m∈Z)时,



? 为第一、三、四象限角 3

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解法二: 把各象限均分 3 等份,再从 x 轴的正向的上方起 依次将各区域标上 I、Ⅱ、Ⅲ、
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Ⅳ,并依次循环一周,则 ? 原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为

? 的终边所在的区域 3

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由图可知,

? 是第一、三、四象限角 3

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小结:已知角 ? 的范围或所在的象限,求 和几何法,其中几何法具体操作如下:

? 所在的象限是常考题之一,一般解法有直接法 n

把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正向的上方起,依次将各区域标上 I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ, 并循环一周,则 ? 原来是第几象限的符号所表示的区域即为

? (n∈N*)的终边所在的区域 n

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1 在下列各组角中,终边不相同的一组是(
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A 60? 与 ? 300?
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B 230 ? 与 950 ?
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C 1050 ? 与 ? 300?
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D ?1000 ? 与 80?
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2 下列各命题中,真命题是(
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) B 直角不是任何象限角
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A 每一象限角是锐角
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C 第二象限角比第一象限角大
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D 三角形的内角一定是第一或第二象限角
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3 若角 ? 是第三象角,则角
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? 是( 2
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)的角; B 第二象限或第三象限
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A 第一象限或第三象限
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C 第二象限或第四象限
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D 第一象限或第四象限
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4 角的终边在第一象限和第三象限的平分线上的角的集合为(
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A {45?, 225 ? }
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B {? | ? ? k? ?
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?
4

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, k ? Z}

C {? | ? ? 2k? ?
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?
4

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, k ? Z}

D {? | ? ? k? ?
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?
4

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, k ? Z}

5 若 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,则这个圆心角的所夹扇形的面积为( )
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A

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1 sin 2

B

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1 sin 2 2


C

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1 sin 2 1

D tan1
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6 若 ? ? ?3 rad ,则它是(
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A 第一象限角
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B 第二象限角 C 第三象限角
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D 第四象限角
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7 在不等的圆中,1 弧度的圆心角所对的(
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A 弦长相等
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B 弧长相等
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C 弦长等于所在圆的半径
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D 弧长等于所在圆的半径
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8角
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16 ? 化为 ? ? 2k? (k ? Z , 0 ? ? ? 2? ) 的形式是( 3



A 5? ?
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?
3

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B 4? ?
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4? 3

C 6? ?
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2? 3

D 3? ?
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7? 3

9 一个半径为 R 的扇形,它的周长为 4R ,则这个扇形所含弓形的面积为( )
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A

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1 (2 ? sin1cos1) R 2 2 1 2 R 2
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B

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1 sin 1cos1R 2 2
2

C

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D (1 ? sin1cos1) R
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? 10 已知集合 M ? ? | 2k? ? ? ? (2k ? 1)? , k ? Z ?, N ? ? | ?6 ? ? ? 6? , ?
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则M ? N ?( A?
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) B

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?? | 0 ? ? ? ? 或6 ? ? ? 2? ?

C

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?? | 0 ? ? ? ? ?
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? D ? | 0 ? ? ? ? 或 ? 6 ? ? ? ?? ?
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11 第三象限角的集合为:
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12 在区间 [?720 ?, 360 ?] 上且与角 125 ? 终边相同的角是:
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13 在扇形中,圆心角所对弦长等于半径,则这个圆心角的角度数为
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14 若 ?
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?
2

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?? ? ? ?

?
2

,则角 ? ? ? 的取值范围是

15 已知角 ? ? 2005 ? ;
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(1)将它表示成 ? ? 2k? (k ? Z , 0 ? ? ? 2? ) 的形式; (2)在区间 [?2? , 0 ) 上找出与它终边相同的角;

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16 对于角 ? (0? ? ? ? 360 ?) ,若它的终边与角 7? 的终边相同,则求角 ? 的值;
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参考答案: 1C 2B
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3C
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4B
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5 C 6 C 7 D 8 B 9 D 10 D
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11 ?? | 2k? ? ? ? ? ? 2k? ?
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? ?

3 ? ?, k ? Z? 2 ?

12 ? 595? 、 ? 235? 、 125 ?
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13 60?
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14 (?? , 0 )
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15 (1) 10? ?
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41 ? 36

(2) ?

31 ? 36

16 ? ? 0或? ?
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?
3

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或? ?

2? 4? 5? 或? ? 或? ? ? 或? ? 3 3 3

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