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导数的概念及计算教案(1)


选修 2–2 第一章《导数及其应用》章末小结复习教案
(一)导数的概念及运算 【知识回顾】
1. 导数的概念: 设函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处附近有定义, 当自变量在 x ? x0 处有增量 ?x
时,则函数 y ? f ( x) 相应地有增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,如果 ?x ? 0 时,?

y 与 ?x 的比

?y ?y (也叫函数的平均变化率)有极限即 无限趋近于某个常数,我们把这个极限值 ?x ?x
/ x ? x0

叫做函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数(瞬时变化率) ,记作 y

,即:

f / ( x0 ) ? lim

?x?0

f ? x ? ? f ? x0 ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? lim x ? x 0 ?x x ? x0

2.导函数概念:函数 y ? f ( x) 的导数 f ' ( x) ,就是当 ?x ? 0 时,函数的增量 ?y 与自
变量的增量 ?x 的比

?y ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim 的极限,即 f ' ( x) ? lim . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?x

3.导数的几何意义:函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y ? f ( x) 在
点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率,即 k ? f ?( x0 ) .(直线的点斜式方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) )

4.常用的导数公式:
(1) C ? ? 0 (C 为常数); (3) (sin x )? ? cos x ; (5) (a )? ? a ln a ;
x x n n ?1 * (2) ( x )? ? nx ( n ? Q );

(4) (cos x)? ? ? sin x ; (6) (e )? ? e ;
x x

(7) (log a x )? ?

1 ; x ln a

(8) (ln x )? ?

1 . x

5.导数的运算法则:
(1)两个函数四则运算的导数: ① ? f ( x ) ? g ( x ) ?? ? f ?( x ) ? g ?( x ) ;② [ f ( x) ? g ( x )]? ? f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x ) ;

? f ( x ) ?? f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x ) ③? ? ? [ g ( x )]2 ? g ( x) ?

( g ( x ) ? 0) ;④ [cf ( x)]? ? cf ?( x) ( c 为常数)

1

? ? (2)复合函数的导数: y? x ? yu ? ux .

【基础练习】
1.已知曲线 f ( x) ? 2x 2 ? 1 上一点 (1, 1) 及它邻近一点 (1 ? ?x, 1 ? ?y ) ,则 A. 4 B. 4 x C. 4 ? 2?x

?y ?( ?x
2

)

D. 4 ? 2?x ( D.81 ( D.

2.如果质点 A 按规律 s=2t3 运动,则在 t=3 s 时的瞬时速度为 A.6 B.18 C.54

)

3.设 f ( x) ? ax 3 ? 3 x 2 ? 2 ,若 f ?( ?1) ? 4 ,则 a 的值等于 A.

)

19 3

B.

16 3

C.

13 3

10 3

4.曲线 y ? x3 ? 2x2 ? 4x ? 2 在点(1,–3)处的切线方程是_______ 5.已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与抛物线 y ? ax 2 相切,则 a ? ______

【典例剖析】
例 1.求下列函数的导数: (1) f ( x) ? ( x ? 1)( x 2 ? x ? 1) ; (2) y ?

x2 ; (3) y ? e x ? e? x ; (4)y= x2 ? 1 sin x

例 2.求过点(2,0)且与曲线 y ?

1 相切的切线方程; x

2

基础训练:
一、选择题: (每题 5 分共 50 分) 1. 函数 y ? x 2 在区间 [1,2] 上的平均变化率为( (A) 2 2.函数 y ?
5

) (D) 5

( B) 3 )

( B) 4
4 ?1 D. ? x 5 5

x 4 的导数是(

1 3 2 3 4 ?1 A. x B. x C. x 5 5 5 5 1 2 1 3、曲线 y ? x 在点 (1, ) 处切线的倾斜角为 2 2





? 5? D. 4 4 4 2 4.设曲线 y ? ax 在点 (1,a ) 处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行, 则 a ?(
A.1 B. ? C.
1 1 C. ? 2 2 5.设 f ( x) ? x ln x ,若 f '( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ( ln 2 A. e2 B. e C. D. ln 2 2

?



A.1

B.

D. ?1 )

6.若曲线 y ? x3 ? 3x 在点 P 处的切线平行于 x 轴,则点 P 的坐标为 ( ) A. (-1,2) C. (1,2)
1 x

B. (1,-2) D. (-1,2) ,或(1,-2) )

7.曲线 y ? e 2 在点 (4, e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(
9 A. e 2 B. 4e 2 C. 2e 2 D. e2 2 8. 已知 f ( x) ? ln( x2 ? x ? 1) ,若 f ?(a) ? 1,则实数 a 的值为( ). A. 0 B1 C 0或1 D 以上都不对 2 ? cos x 9. 已知 f ( x) ? ,则 f ?( ) 的值是 ( ) 2 4 1 ? sin x 8 8 9 9 A. ? B. C D 9 8 8 9

10. 若 f ?( x0 ) ? 2 ,则 lim f ( x0 ? 2k ) ? f ( x0 ) ?
k ?0

3k

( D
4 3

)

A -1

B

1

C

4 3

3

二、填空题: (每题 5 分共 20 分) 11.如图,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别 为(0,4) , (2,0) , (6,4) ,则 f(f(0))= 函数 f(x)在 x=1 处的导数 f′(1)= . ;

12.直线 y ? 则实数 b=

1 x ? b 是曲线 y ? ln x ? x ? 0? 的一条切线, 2



13. 一质点的运动方程为 s=5-3t2,则在一段时间[1,1+△t]内相应的平均速度 为 ____________ 14、函数 f ( x) ? xekx (k ? 0) 在 (0, f (0)) 处的切线方程为__________________ 三、解答题: (每题各 10 分) x 15. 求曲线 y ? 在点 (1,1) 处的切线方程。 2x ?1

16. 求过点(2,0)且与曲线 y= 解

1 相切的切线方程 x

4

17.已知曲线 C:y=x3-3x2+2x,直线 l:y=kx,且直线 l 与曲线 C 相切,求直线 l 的方程及切 点坐标. 解:

5

6

答案卷:
一、选择题: (每题 5 分共 50 分) 1. 函数 y ? x 2 在区间 [1,2] 上的平均变化率为( (A) 2 2.函数 y ? A.
5

B

) (D) 5

(B) 3

(B) 4

x 4 的导数是( C )

1 3 2 3 4 ?1 4 ?1 x B. x C. x 5 D. ? x 5 5 5 5 5 1 2 1 3、曲线 y ? x 在点 (1, ) 处切线的倾斜角为( C ) 2 2 ? ? 5? A.1 B. ? C. D. 4 4 4 2 4.(2008 全国Ⅱ卷文)设曲线 y ? ax 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ? (A ) 1 1 A.1 B. C. ? D. ? 1 2 2 5.(2008 海南、宁夏文)设 f ( x) ? x ln x ,若 f '( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ( B ) ln 2 2 A. e B. e C. D. ln 2 2
6.若曲线 y ? x3 ? 3x 在点 P 处的切线平行于 x 轴,则点 P 的坐标为 A. (-1,2)
1 x

(

)

B. (1,-2)

C. (1,2)

D. (-1,2) ,或(1,-2)

7.曲线 y ? e 2 在点 (4, e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( D ) A. e

9 2

2

B. 4e

2

C. 2 e

2

D. e

2

8. 已知 f ( x) ? ln( x 2 ? x ? 1) ,若 f ?(a) ? 1,则实数 a 的值为( C ). A. 0 B1 C 0或1 D 以上都不对 9. 已知 f ( x) ? A.

?

8 9

? cos2 x ,则 f ?( ) 的值是 2 4 1 ? sin x 8 9 B. C D 9 8
k ?0

( A

)

-

9 8
( D )

10. 若 A -1

f ?( x0 ) ? 2 ,则 lim
B 1

f ( x0 ? 2k ) ? f ( x0 ) ? 3k

C

4 3

D

-

4 3

二、填空题: (每题 5 分共 20 分) 11.(2008 北京文)如图,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为(0,4) , (2,0) , (6,4) ,则 f(f(0))= 2 ; 函数 f(x)在 x=1 处的导数 f′(1)= -2 .
7

12. (2008 江苏)直线 y ?

1 x ? b 是曲线 y ? ln x ? x ? 0? 的一条切线, 2

则实数 b= ln2-1 . 13、2. 一质点的运动方程为 s=5-3t2,则在一段时间[1,1+△t]内相应的平均速度为 -3△t-6 14、函数 f ( x) ? xekx (k ? 0) 在 (0, f (0)) 处的切线方程为__________________ y ? x 三、解答题:(各 10 分)

x 在点 (1,1) 处的切线方程( y ? ? x ? 2 2x ?1 1 16. 求过点(2,0)且与曲线 y= 相切的切线方程 x
15. 求曲线 y ? 解:因为点(2,0)不在曲线 y=



1 1 上 故设切点(x0,y0) ,则 y0= x x0
x ? x0



且 y′= ?

1 x2

所以所求切线的斜率为 k= y ?

??

1 | 2 x0


所以所求切线方程 y= ?

1 ( x ? 2) 2 x0

又 k=

y0 ? 0 1 ?? 2 x0 ? 2 x0

由①②得 x0 = 1,所以所求切线方程:y=-(x-2), 即 x+y—2=0 17.已知曲线 C:y=x3-3x2+2x,直线 l:y=kx,且直线 l 与曲线 C 相切,求直线 l 的方程及切 点坐标. 解:∵直线过原点,则 y0 ? kx0 . 由点(x0,y0)在曲线 C 上,则 y0=x03-3x02+2x0,∴
y0 =x02-3x0+2. x0

又 y′=3x2-6x+2, ∴在(x0,y0)处曲线 C 的切线斜率应为 k= f ? (x0)=3x02-6x0+2. ∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2. 当 x0= 整理得 2x02-3x0=0.解得 x0= 当 x0=0 时,y0=0,k=2

3 ,x0=0. 2

3 1 3 时,y0=- ,k=- . 2 4 8

因此,直线方程为 y=-

1 3 3 x,切点坐标( ,- )或直线方程为 y=2x,切点坐标(0,0) 4 2 8

8

9


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