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高一数学必修四(公式总结)


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高一数学公式总结
复习指南 1. 注重基础和通性通法 在平时的学习中,应立足教材,学好用好教材,深入地钻研教材,挖掘教材的潜力,注意避免眼高手低,偏重 难题,搞题海战术,轻视基础知识和基本方法的不良倾向,当然注重基础和通性通法的同时,应注重一题多解的探 索,经常利用变式训练和变式引申来提高自

己的分析问题、解决问题的能力。 2.注重思维的严谨性 平时学习过程中应避免只停留在“懂”上,因为听懂了不一定会,会了不一定对,对了不一定美。即数学学习 的五种境界:听——懂——会——对——美。 我们今后要在第五种境界上下功夫,每年的高考结束,结果下来都可以发现我们宿迁市的考生与南方的差距较大, 这就是其中的一个原因。 另外我们的学生的解题的素养不够,比如仅仅一点“规范答题”问题,我们老师也强调很多遍,但作为学生的 你们又有几人能够听进去! 希望大家还是能够做到我经常所讲的做题的“三观” : 1. 审题观 2. 思想方法观 3. 步骤清晰、层次分明观 3. 注重应用意识的培养 注重培养用数学的眼光观察和分析实际问题,提高数学的兴趣,增强学好数学的信心,达到培养创新精神和实 践能力的目的。 4.培养学习与反思的整合 建构主义学习观认为知识并不是简单的由教师或者其他人传授给学生的,而只能由学生依据自身已有的知识、 经验,主动地加以建构。学习是一个创造的过程,一个批判、选择、和存疑的过程,一个充满想象、探索和体验的 过程。你不想学,老师强行的逼迫是不容易的或者说是作用不大,俗话说“强扭的瓜不甜”嘛!数学学习不但要对 概念、结论和技能进行记忆,积累和模仿,而且还要动手实践,自主探索,并且在获得知识的基础上进行反思和修 正。 (这也就是我们经常将让大家一定要好好预习,养成自学的好习惯。 )记得有一位中科院的教授曾经给“科学” 下了一个定义:科学就是以怀疑和接纳新知识作为进步的标准的一门学问,仔细想来确实很有道理! 所以我们在平时学习中要注意反思,只有这样才能使内容得到巩固,知识的得到拓展,能力得到提高,思维得 到优化,创新能力得到真正的发展,希望大能够让数学反思成为我们的自然的习惯! 5.注重平时的听课效率 听课效率高不仅可以让自己深刻的理解知识,而且事半功倍,可以省好多的时间。而有些同学则认为上课时听 不到什么,索性就不听,抓紧课堂上的每一点时间做题,多做几道题心里就踏实。这种认识是不科学的,想象如果 上课没有用的话,国家还开办学校干嘛?只要印刷课本就足够了,学生买了书就可以自己学习到时候参加考试就行 了。 想想好多东西还是在课堂上聆听的,听听老师对问题的分析和解题技巧,老师是如何想到的,与自己预习时的 想法比较。课堂上记下比较重要的东西,更重要的是跟着老师的思路,注重老师对题目的分析过程。课后宁愿花时 间去整理笔记,因为整理笔记实际上是一种知识的整合和再创造!回忆课堂上老师是怎样讲的,自己在整理时有比 较好的想法,就记下来,抓住自己思维的火花,因为较为深刻的思维火花往往是稍纵即逝的。 在这里我再一次强调听课要做到“五得” ? 听得懂 ? 想得通 ? 记得住 ? 说得出 ? 用得上 6. 注重思想方法的学习 学习数学重再学习数学思想方法,它是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴含于数学知识发生、发展 和应用的过程中,也是历年来高考数学命题的特点之一。不少学者认为: “传授知识”是数学的一种境界,加上“能力培养”是稍高的境界,再加上“方法渗透”是较高的境界,而再 加上“提高修养(指数学文化和非智力引力的介入) ”则是最高境界。作为学生一定要深刻理解数学的思想方法, 它是数学的精髓,只有运用数学思想方法,才能把数学的知识和技能转化为分析问题和解决问题的能力,才能体现
1

尖锋教育,一对一精细化辅导 www.edu086.org 数学的学科特点,才能形成数学素养。即使在以后我们走上社会,在工作岗位上我们的这种数学素养就会内化为自 身的较深的修养,从而使得自己的气质得以升华,它对于我们今后的做人和处事有很大的指导意义,再加上我们的 人文素养就可以造就自己哲学修养。 真心希望我的这些忠告能够对你今后的学习有所帮助,果真如此,也就聊以欣慰了! 基本三角函数 Ⅰ

?

? ?Ⅰ ? ?Ⅱ ? ?Ⅲ ? ?Ⅳ

? 2 ? 2 ? 2 ? 2

? 2
? Ⅰ、Ⅲ ? Ⅰ、Ⅲ ? Ⅱ、Ⅳ ? Ⅱ、Ⅳ

Ⅱ ? 终边落在 x 轴上的角的集合: ? ? ? ?? , ? ? z

?

?

? 终边落在 y 轴上的角的集合:?? ? ? ?? ?

? ?

?

? ,? ? z? ? 2 ?

终边落在坐标轴上的角的集合: ?? ? ? ?

? ?

?

? ,? ? z? 2 ?
? 基本三角函数符号记 忆: “一全,二正弦,三切,四 余弦” 或者“一全正,二正弦,三两 切,四余弦”

l ? ? r

360 度 ? 2? 弧度 1 ?
?

?

?
180
.

S ?

1 1 l r ? ? r2 2 2

弧度 180

1 弧度 ?

?



180 ? ? ? 弧度

tan ? cot? ? 1
?倒数关系: Sin?Csc? ? 1

正六边形对角线上对应的三角函数之积为 1

Cos?Sec? ? 1
tan 2 ? ? 1 ? Sec2?
平方关系: Sin ? ? Cos ? ? 1
2 2

三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等与对 边对应的三角函数的平方 , 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积

1 ? Cot 2? ? Csc 2?
乘积关系: Sin? ? tan?Cos? Ⅲ

诱导公式? 终边相同的角的三角函数值相等
Cos?? ? 2k? ? ? Cos? tan?? ? 2k? ? ? tan ? Sin?? ? 2k? ? ? Sin? , , , k?z k?z k?z

2

尖锋教育,一对一精细化辅导 www.edu086.org ?

角?与角 ? ?关于x轴对称

Cos?? ? ? ? Cos?

Sin?? ? ? ? ? Sin? tan?? ? ? ? ? tan ?
Cos?? ? ? ? ? ?Cos? tan?? ? ? ? ? ? tan ? Sin?? ? ? ? ? Sin?

?

角? ? ?与角?关于y轴对称

?

角? ? ?与角?关于原点对称 Sin??

Cos?? ? ? ? ? ?Cos? tan?? ? ? ? ? tan ?

? ? ? ? ? Sin?

?角

?
2

? ?与角?关于y ? x对称

?? ? Sin? ? ? ? ? Cos? ?2 ? ?? ? Cos? ? ? ? ? Sin? 2 ? ? ?? ? tan? ? ? ? ? cot ? ?2 ?

?

?? ? Sin? ? ? ? ? Cos? ?2 ? ?? ? Cos? ? ? ? ? ? Sin? ?2 ? ?? ? tan? ? ? ? ? ? cot? ?2 ?



上述的诱导公式记忆口诀: “奇变偶不变,符号看象限” 周期问题
y ? ASin??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 , y ? ACos??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 , y ? ASin??x ? ? ? y ? ACos??x ? ? ? , A ? 0,? ? 0, , A ? 0,? ? 0, T ? 2?

?

? 2? T ? ? ? T ? ? ? T ? ?
, , T ? T ?

y ? ASin??x ? ? ? ? b y ? ACos??x ? ? ? ? b

, A ? 0,? ? 0, b ? 0 , A ? 0,? ? 0, b ? 0

2? 2?

?

y ? A tan??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 ,

?

y ? A cot??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 , y ? A tan??x ? ? ? y ? A cot??x ? ? ? , A ? 0,? ? 0, , A ? 0,? ? 0,

? T? ? ? T? ?
T?

?

? ? ? T? ?

Ⅴ 性 质

三角函数的性质

y ? Sin x
R

y ? Cos x
R

定义域 值 域

?? 1,1?
2?
奇函数

?? 1,1?
2?
偶函数

周期性 奇偶性

3

尖锋教育,一对一精细化辅导 www.edu086.org 单调性

? ?? ? ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ?, k ? z , 增函数 ? ? ? 3? ? ? ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ?, k ? z , 减函数 ? ?

?2k? ? ? ,2k? ?, k ? z, 增函数 ?2k? ,2k? ? ? ?, k ? z, 减函数

对称中心

?k? ,0?, k ? z
x ? k? ?

? ? ? ? k? ? ,0 ?, k ? z 2 ? ?
x ? k? , k ? z
5 4

对称轴

?
2

,k ? z



5

3
4

y
2
3

y
2

1


-π /2
-8

x
1

-8

-2π -6

-3π /2 -4



-2

-π /2

O

π /2

2

π

4

3π /2

6



8

3π /2 O π /2 2 π
4 6

x 2π
8

-1

-2π-6

-3π /2

-4



-2

-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

-6





y ? tan x
? ? ? ? x x ? ?? ? , ? ? z ? 2 ? ?
R

y ? cot x

定义域

?x x ? ?? , ? ? z?
R





周期性 奇偶性 单调性

?
奇函数

?
奇函数

? ?? ? ? k? ? , k? ? ?, k ? z , 增函数 2 2? ?

?k? , k? ? ? ?, k ? z, 增函数
? ? ? ,0 ?, k ? z ? k? ? 2 ? ?

对称中心 对称轴

?k? ,0?, k ? z

10 8

无 y
y

6

图 像
-15 -10 -5

4

2

x -3π /2 -π -π /2 O π /2 π 3π /2 5
10 15

-2

0

x

-4

-6

-8

-10

?

怎样由y ? Sinx变化为y ? ASin??x ? ? ? ? k


4

尖锋教育,一对一精细化辅导 www.edu086.org 振幅变化: y ? Sinx

y ? ASinx 左右伸缩变化:
左右平移变化

y ? ASin?x
上下平移变化

y ? ASin(?x ? ? )

y ? ASin(?x ? ? ) ? k
a, a ? 0 , b, 如果有

Ⅵ平面向量共线定理:一般地,对于两个向量

?

?

一个实数? , 使得b ? ? a, a ? 0 , 则b与a是共线向量;反之如果b与a是共线向量 那么又且只有一个实数? , 使得b ? ? a.
Ⅶ 线段的定比分点 点 P 分有向线段 P P2 所成的比的定义式 P P ? ? PP2 1 1 . 线段定比分点坐标公式 线段定比分点向量公式

?

?

x ? ?x2 x? 1 1? ? y1 ? ?y 2 y? 1? ?
? 当 ? ?1时
线段中点坐标公式
x? x1 ? x2 2

?

. OP ?

OP 1 ? ? OP 2 1? ?

? 当 ? ?1时
线段中点向量公式

y ? y2 y? 1 2

. OP ? OP 1 ? OP 2 2



向量的一个定理的类似推广 向量共线定理:
b ? ?a

?a ? 0?

? 推广
平面向量基本定理:
? 其中e1 , e2为该平面内的两个? ? a ? ?1 e1 ? ? 2 e2 , ? ? 不共线的向量 ? ? ?

? 推广
a ? ?1 e1 ? ? 2 e2 ? ?3 e3 ,
空间向量基本定理:

? 其中e1 , e2 , e3为该空间内的三个? ? ? ? 不共面的向量 ? ? ?
5

尖锋教育,一对一精细化辅导 www.edu086.org Ⅸ一般地,设向量 a ? ?x1 , y 1 ?, b ? ?x 2 , y 2 ?且a ? 0, 如果a ∥ b那么x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0 反过来,如果 x 1 y 2 ? x 2 y1 ? 0, 则a ∥ b . Ⅹ 一 般 地 , 对 于 两 个 非 零 向 量 a, b 有

a ? b ? a b Cos? , 其 中 θ 为 两 向 量 的 夹 角 。

Cos? ?

a ?b ab

? x1

x1 x2 ? y1 y 2
2 ?

y1

2

x2

2

?

y2

2

特别的, a ? a ? a ? a Ⅺ

2

2

或者 a ? a ? a

如果 a ? ?x1 , y1 ? , b ? ?x2 , y 2 ? 且a ? 0 , 则a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 特别的 , a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0
若正n边形A1 A2 ? ? ? An的中心为O , 则OA1 ? OA2 ? ? ? ? ? OAn ? 0
三角形中的三角问题 ?
A? B ?C ?? , A? B ?C ? ? 2 2 , A? B ? C ? 2 2 2
? A? B? ?C ? Sin? ? ? Cos? ? ? 2 ? ?2?



Sin? A ? B ? ? Sin?C ?

Cos? A ? B ? ? ?Cos?C ?

? A? B? ?C ? Cos? ? ? Sin? ? ? 2 ? ?2?

? 正弦定理:

a b c a?b?c ? ? ? 2R ? SinA SinB SinC SinA ? SinB ? SinC
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bcCosA , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2acCosB c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2abCosC

余弦定理:

CosA ?
变形:

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 , CosB ? 2bc 2ac 2 2 2 a ?b ?c CosC ? 2ab
三角公式以及恒等变换

?

tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C
, S (? ? ? ) , S (? ? ? )

? 两角的和与差公式: Sin?? ? ? ? ? Sin?Cos? ? Cos?Sin? Sin?? ? ? ? ? Sin?Cos? ? Cos?Sin?

Cos?? ? ? ? ? Cos?Cos? ? Sin?Sin? , C (? ? ? ) Cos?? ? ? ? ? Cos?Cos? ? Sin?Sin? , C (? ? ? ) tan? ? tan ? tan?? ? ? ? ? 1 ? tan? tan ? tan? ? tan ? tan?? ? ? ? ? 1 ? tan? tan ? , T (? ? ? ) , T (? ? ? )
tan? ? tan ? ? tan?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ?

变形:

tan? ? tan ? ? tan?? ? ? ??1 ? tan? tan ? ? tan? ? tan ? ? tan ? ? tan? tan ? tan ? 其中? , ? , ?为三角形的三个内角

6

尖锋教育,一对一精细化辅导 www.edu086.org ? 二倍角公式:
Sin2? ? 2 Sin?Cos? Cos2? ? 2Cos 2? ? 1 ? 1 ? 2 Sin2? ? Cos 2? ? Sin2? tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

? 半角公式:

Sin

?
2

?? ??

1 ? Cos? 2 1 ? Cos? 2
2

Cos

?
2

tan

?
2

??

1 ? Cos? Sin? 1 ? Cos? ? ? 1 ? Cos? 1 ? Cos? Sin?

? 降幂扩角公式: Cos2? ? 1 ? Cos2?
Sin?Cos? ?

, Sin2? ?

1 ? Cos2? 2

1 ?Sin?? ? ? ? ? Sin?? ? ? ?? 2 1 ? 积化和差公式: Cos?Sin? ? ?Sin?? ? ? ? ? Sin?? ? ? ?? 2 1 Cos?Cos? ? ?Cos?? ? ? ? ? Cos?? ? ? ?? 2 1 Sin?Sin? ? ? ?Cos?? ? ? ? ? Cos?? ? ? ?? 2

?? ? ? ? ?? Sin? ? Sin? ? 2 Sin? ?Cos? ? 2 ? ? ?? ? ? ? ?? Sin? ? Sin? ? 2Cos? ? Sin? ? 和差化积公式: ? 2 ? ?

??? ? 2 ? ??? ? 2 ? ??? ? 2 ? ?? ? ? 2 ?

S ? S ? 2 SC

( S ? S ? 2CS )
C ? C ? 2CC C ? C ? ?2 SS

?? ? ? ? ?? Cos? ? Cos? ? 2Cos? ?Cos? ? 2 ? ? ?? ? ? ? ?? Cos? ? Cos? ? ?2 Sin? ? Sin? 2 ? ? ?
Sin? ? 2 tan 1 ? tan

?
2
2

?
2

? 万能公式:

Cos? ?

1 ? tan

2

? ?
2 2

(

S ?T ?C ? ?

)

tan ? ?

2 tan 1 ? tan

?
2
2

1 ? tan 2

?
2

? 三倍角公式: Sin3? ? 3Sin? ? 4 Sin ? Cos3? ? 4Cos3? ? 3Cos?
3

tan 3? ?

3 tan? ? tan 3 ? 1 ? 3 tan 2 ?

“三四立,四立三,中间横个小扁担” ?

7

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1. y ? aSin? ? bCos? ? 2. y ? aCos? ? bSin? ? ? 3. a 2 ? b 2 Cos?? ? ? ? a 2 ? b 2 Sin?? ? ? ? a 2 ? b 2 Sin?? ? ? ? a 2 ? b 2 Sin?? ? ? ? 其中 , 其中 , 其中 , 其中 , tan ? ? b a a tan ? ? b b tan ? ? a b tan ? ? a a tan ? ? b tan ? ? a b

y ? aSin? ? bCos? ?

? ? a 2 ? b 2 Cos?? ? ? ? 其中 , 4. y ? aCos? ? bSin? ? a 2 ? b 2 Sin?? ? ? ?

? ? a 2 ? b 2 Sin?? ? ? ? 其中 , ? a 2 ? b 2 Cos?? ? ? ? 其中 ,

b a 注 : 不同的形式有不同的化归, 相同的形式也有不同的化归, 进而可以 tan ? ? 求解最值问题. 不需要死记公式, 只要记忆 1. 的推导即表达技巧, 其它 的就可以直接写出 . 一般是表达式第一项是正弦的就用两角和与差的正弦来靠, 第一 项是余弦的就用两角和与差的与弦来靠. 比较容易理解和掌握 .

? 补充: 1. 由公式

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? tan?? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ? tan?? ? ? ? ?

, T(? ? ? ) , T(? ? ? )

可以推导 : 当? ? ? ? ?? ? 在有些题目中应用广泛。 2. 3.

?
4

时, ? ? z , ?1 ? tan? ??1 ? tan ? ? ? 2

tan? ? tan ? ? tan?? ? ? ? tan? tan ? ? tan?? ? ? ?
柯西不等式 (a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd ) , a, b, c, d ? R.
2 2 2 2 2

补充 1.常见三角不等式: (1)若 x ? (0, (2) 若 x ? (0,

?
2

) ,则 sin x ? x ? tan x .

(3) | sin x | ? | cos x |? 1 . ) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 . 2 2 2 2. sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? (平方正弦公式); cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos 2 ? ? sin 2 ? .

?

a sin ? ? b cos? = a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 (a, b) 的象限决定, tan ? ?
3. 三倍角公式 : sin 3? ? 3sin ? ? 4sin ? ? 4sin ? sin(
3

?

? ? )sin( ? ? ) . 3 3

?

b ). a

cos3? ? 4cos3 ? ? 3cos? ? 4cos? cos( ? ? ) cos( ? ? ) . 3 3
8

?

?

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tan 3? ?

3 tan ? ? tan 3 ? ? ? ? tan ? tan( ? ? ) tan( ? ? ) . 2 1 ? 3 tan ? 3 3

4.三角形面积定理:(1) S ?

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 ??? ??? 2 ??? ??? 2 ? ? ? ? 1 (3) S?OAB ? (| OA | ? | OB |) ? (OA ? OB) . 2
在△ABC 中,有

5.三角形内角和定理

A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) ?

C ? A? B ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . ? ? 2 2 2
k? ?

6. 正弦型函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的对称轴为 x ?

?
2

??

?

( k ? Z ) ;对称中心为 (

k? ? ? ,0)(k ? Z ) ;类 ?

似可得余弦函数型的对称轴和对称中心; 〈三〉易错点提示: 1. 在解三角问题时,你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了 吗? 2. 在三角中,你知道 1 等于什么吗?( 这些统称为 1 的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的 应用. 3. 你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角,异 名化同名,高次化低次) 4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗?( )

9


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