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2.1.2椭圆的简单几何性质


椭圆定义:|MF1|+|MF2|=2a

椭圆的标准方程:
y
M

y
F2
M

F1

o
2 2

F2

x

o
F1

x

x a

2 2

?

y b

?1

?a ? b ? 0?

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1 ?a ? b ? 0?

F1(-c,0),F2(c,0)
2 2

F1(0,-c),F2(0,c)
2

a ?b ?c

wds152

椭圆的简单几何性质
? 1、范围
? 2、对称性 ? 3、顶点

? 4、离心率
2 2 2 2

利用椭圆的标准方程 来研究椭圆的性质

x a

?

y b

? 1(a ? b ? 0)

1、范围
在 x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )中

?

y b

2 2

?0

?

x a

2 2

y

?1
y ?b
o x

? x ?a
同理 y ? b
?椭圆位于直线

y ? ?b

x ? ?a
x ? ? a, y ? ?b

x?a
所围成的矩形内

2、对称性
P2(-x,y) o

y

P (x,y)

x

P3(-x,-y)

P1(x,-y)

原点叫椭圆的对称中心,简称中心.

y x 轴、 轴叫椭圆的对称轴.

椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
在椭圆的方程
x a
2 2

3、顶点
y

?

y b

2 2

?1

里,

B2(0,

b)
x

A1 ( ? a , 0 )

o
B1(0, ) ?b

A2 ( a , 0 )

令 y ? 0 得x ? ?a , 因此椭圆和 x 轴有两个交点

A1 ( ? a , 0 ), A2 ( a , 0 )

令 x ? 0 得 y ? ?b , 因此椭圆和 y 轴有两个交点

B1 ( 0 , ? b ), B 2 ( 0 , b )

y

A1 A 2 叫椭圆的长轴,长为 2 a
B 1 B 2 叫椭圆的短轴.长为
. A1 . F1

B2 . F2 B1 . A2

x

2b

o
.

a, b

分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.

2 c 为椭圆的焦距, c 为椭圆的半焦距

B1 F1 ? B1 F2 ? B 2 F1 ? B 2 F2 ? a

4、离心率
概念:椭圆焦距与长轴长之比.

y

B2
O

A1
王新敞
奎屯 新疆

A2 B1

x

定义式:e ?
王新敞
奎屯 新疆

c

?

e?

a 范围: 0 ? e ? 1
e ? 0, c ? 0

1? ( ) a

b

2

椭圆变圆,直至成为极限位置:圆 椭圆变扁,直至成为极限位置:线段

e ? 1, c ? a ,

两种标准方程的椭圆性质的比较
方程
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1(a ? b ? 0)
y

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1(a ? b ? 0)
y

B2

A2 F2 F2 A2 x B1 F1

图形

O A1 F1 B1

O

B2 x

A1

范围 对称性

? a ? x ? a ,? b ? y ? b

? a ? y ? a ,? b ? x ? b

关于x轴、y轴、原点对称 A1(-a,0), A2(a,0) A1(0,-a), A2(0,a) B1(0,-b), B2(0,b) B1(-b,0), B2(b,0)

顶点
离心率

例题分析
例1、求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴长,离心 率,焦点和顶点坐标
?解:把已知方程化为标准方程
2 2

x

?

y

?1

25

16

所以 a ? 5 , b ? 4 , c ? 3

因此长轴长 2 a ? 10 离心率 e ?
c a ? 3 5

短轴长 2 b ? 8 焦点F1(-3,0)和F2(3,0),

椭圆的四个顶点是A1(-5,0)、A2(5,0) B1(0,-4)、B2(0,4)

练习:求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)经过点P(-3,0),Q(0,-2); (2)长轴长等于20,离心率等于
3 5

.

解: (1)由椭圆的几何性质可知,点P、Q分别为椭圆 长轴和短轴的一个端点. ? a ? 3, ? 2 b
x ? y ? 1 为所求椭圆的标准方程 . ? 9 4
( 2 ) 由已知 2 a ? 20 , ? c ? 3 , e a 5
2 2

? a ? 10 , ? 6 . c

? b ? a ? c ? 64 .
2 2 2

所以椭圆方程为:

x

2

?

y

2

? 1或

y

2

?

x

2

?1

100

64

100

64

小结
方程
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1(a ? b ? 0)
y

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1(a ? b ? 0)
y

图形
A1 F1

B2
O

A2 F2 F2 A2 x B1 F1

O

B2 x

B1

范围 对称性 顶点 离心率

-a≤x≤a,-b ≤y≤b

-b ≤x≤b, -a≤y≤a

A1

关于x轴、y轴、原点对称 A1(0,-a), A2(0,a) A1(-a,0), A2(a,0) B1(0,-b), B2(0,b)
e? c a

B1(-b,0),
(0 ? e ? 1)

B2(b,0)


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