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终边相同的角教案


第一课时





电工 1332 班 2014 年

科目 4 月 3

数学 日 学 时 星期

授课教师 四 1 课型

石元辉 第6节 理论课

授课 时间 课 题

终边相同的角 一、终边

相同角的概念;

教学内容

二、与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法; 三、计算在指定范围内与已知角终边相同的角.

一、理解终边相同角的概念; 教学目标 二、掌握与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法; 三、会计算在指定范围内与已知角终边相同的角.

教学重点

掌握与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法.

教学难点 教 学 法 法

会计算在指定范围内与已知角终边相同的角. 讲授法、练习法. 预习方法、听课方法、复习方法、作业方法、小结方法.

教学过程: 一、导课
观察:390?,?330?角的终边与 30?角的终边有什么关系?(相同)

二、新授
终边相同的角的集合? (一) 探究: 终边相同的角都可以表示成一个 0?到 360?的角与 k ? k ? Z ? 个周角的和: (k ? 1) (k ? ?1) 390?=30?+360? ?330?=30??360? 30?=30?+0×360?
(k ? 0)

1470?=30?+4×360? (k ? 4)

(二)结论:所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合

-1-

S ? ? | ? ? ? ? k ? 360? , k ? Z

?

?
王新敞
奎屯 新疆

即:任何一个与角?终边相同的角,都可以表示成角?与整数个周角的和 (三)注意 1. k ? Z

2.?是任意角; 0 3. k ? 360 与?之间是“+”号,如 k ? 3600 ? 300 ,应看成 k ? 3600 ? ? ?300 ? ; 4.终边相同的角不一定相等,但相等的角,终边一定相同,终边相同的角有无数多 个,它们相差 360°的整数倍.

三、例题讲解
(一)例 1、在 0°到 360°度范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它是 哪个象限的角?
1. ? 120? ; 2 . 6 4?0 ; 3. ? 950?12 '
王新敞
奎屯 新疆

解:1.∵-120?=-360?+240?, ∴240?的角与-140?的角终边相同,它是第三象限角. 2.∵640?=360?+280?, ∴280?的角与 640?的角终边相同,它是第四象限角. 3.∵-950?12’=-3 ? 360?+129?48’, ∴129?48’的角与-950?12’的角终边相同,它是第三象限角. (二)例 2、写出与下列各角终边相同的角的集合 S,并把 S 中在 ?360? ~ 720? 间的 角写来:1. 60? ; 2. ?21? ; 3. 363?14?
王新敞
奎屯 新疆

解:1. S ? ?? | ? ? 60? ? k ? 360?,k ? Z? S 中在-360°~720 间的角是:-1×360°+60°=-280°; 0×360°+60°=60° 1×360°+60°=420°. 2. S ? ?? | ? ? ?21? ? k ? 360?,k ? Z? S 中在-360°~720 间的角是:0×360°-21°=-21°; 1×360°-21°=339°;2×360°-21°=699°. 3. S ? ?? | ? ? 363?14? ? k ? 360?,k ? Z? S 中在-360°~720°间的角是:-2×360°+ 363?14? =- 363?14? ; -1×360°+363?14’=3?14’;0×360°+ 363?14? = 363?14? .

四、课堂训练
(一)与-1050°终边相同的最小正角是(
0 0 0

). ). ). )

(二)在[-360 ,720 ]间,与 45 终边相同的角有是( (三)在直角坐标系中,终边落在 x 轴上的所有角是( (四)若 ? ? ?210 ,则与角 ? 终边相同的角可以表示为(
-2-

A、 k ? 3600 (k ? Z ) B、 00 与 1800 C、 k ? 3600 ? 1800 (k ? Z ) D、 k ?1800 (k ? Z )

A、 k ? 3600 ? 210 (k ? Z ) C、 k ?1800 ? 210 (k ? Z ) A、 6300 B、 ?6300

B、 k ? 3600 ? 210 (k ? Z ) D、 k ?1800 ? 210 (k ? Z ) ) C、 ?7500 D、 k ? 3600 ? 3300 (k ? Z )

(五)下列各角中,与 3300 终边相同的角是(

小结:
一、终边相同角的概念; 二、与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法; 三、计算在指定范围内与已知角终边相同的角.

课后作业:
课本 P104 页练习 5.1.2.

-3-

第二课时





电工 1332 班 2014 年

科目 4 月 4

数学 日 星期 学 时

授课教师 五 1 课型

石元辉 第3节 理论课

授课 时间 课 题

终边相同的角的几个重要结论 一、终边相同角的概念;

教学内容

二、所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法; 三、计算指定范围内与已知角终边相同的角
王新敞
奎屯 新疆

一、理解终边相同角的概念; 教学目标 二、掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法 三、会计算指定范围内与已知角终边相同的角
王新敞
奎屯 新疆

教学重点

掌握与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法.

教学难点 教 学 法 法

会计算指定范围内与已知角终边相同的角. 讲授法、练习法. 预习方法、听课方法、复习方法、作业方法、小结方法.

教学过程: 一、知识点梳理
(一)终边相同的角的概念 如果当角 ? 与角 ? 的始边重合(X 轴非负半轴)时,它们的终边也重合,那么我们 称角 ? 与角 ? 是终边相同的角. (二)终边相同的角之间的关系 所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合: S ? ?? | ? ? ? ? k ? 3600 , k ? Z ?

-4-

即:任何一个与角?终边相同的角,都可以表示成角?与整数个周角的和. 即 : ? 与 ? 终 边 相 同 ? ? ? ? ? k ? 3600 ? ? 与 ? 相 差 3600 的 整 数 倍 . ,? Z ? ? ? ? ? k ? 3 6 00 k

二、新授:关于终边相同的角的几条重要结论
(一)关于终边相同的角中的最大负角和最小正角 与 ? 终边相同的角 ?? | ? ? ? ? k ? 3600 , k ? Z ? 有无数个, 其中 ? 有最大负角和最小正 角. (二) x 轴上角的集合

?? | ? ? n ?180 , n ? Z ?
0

(三) y 轴上角的集合

?? | ? ? 90
(四)第一象限角的集合

0

? n ?1800 , n ? Z ?

?? | k ? 360
(五)第二象限角的集合

0

? ? ? 900 ? k ? 3600 , k ? Z ?

?? | 90
(六)第三象限角的集合

0

? k ? 3600 ? ? ? 1800 ? k ? 3600 , k ? Z ? ? k ? 3600 ? ? ? 2700 ? k ? 3600 , k ? Z ?

?? |180
?? | 270
0

0

(七)第四象限角的集合:
? k ? 3600 ? ? ? 3600 ? k ? 3600 , k ? Z ? ? ?? | 2700 ? k ? 3600 ? ? ? k ? 3600 , k ? Z ?

三、例题讲解
(一)例 1、写出终边在 y 轴上的角的集合. 解:终边在 y 轴非负半轴上的角的集合为:

?? | ? ? 90
0

0

? k ? 360 , k ? Z ? ? ?? | ? ? 900 ? 2k ?180 , k ? Z ?

终边在 y 轴非正半轴上的角的集合为:

?? | ? ? 270 ? k ? 360 , k ? Z? ? ?? | ? ? 90 ? ?? | ? ? 90 ? ? 2k ? 1?180 , k ? Z ?
0 0

0

? 1800 ? k ? 360 , k ? Z ?

-5-

所以终边在 y 轴轴上的角的集合为: ?? | ? ? 900 ? n ?1800 , n ? Z ? . (二)例 2、设 ? 为第二象限的角,指出 解: ? 是第二象限的角

? 是第几象限的角. 2

?900 ? k ? 3600 ? ? ? 1800 ? k ? 3600
? 450 ? k ?1800 ?

?
2

? 900 ? k ?1800

当 k 为偶数时,令 k ? 2n, n ? Z ,则 450 ? 2n ?1800 ? 即: 450 ? n ? 3600 ? 所以:当 k 为偶数时,

?
2

? 900 ? 2n ?1800 , n ? Z .

?
2

? 900 ? n ? 3600 , n ? Z .

? 是第一象限的角. 2

当 k 为奇数时,令 k ? 2n ? 1, n ? Z ,则
450 ? ? 2n ? 1? ?1800 ? 450 ? 1800 ? n ? 3600 ? 2250 ? n ? 3600 ?

?

?

2

? 900 ? ? 2n ? 1? ?1800 , n ? Z ? 900 ? 1800 ? n ? 3600 , n ? Z ? 2700 ? n ? 3600 , n ? Z

?

2 2

所以:当 k 为奇数时,

? 是第三象限的角. 2

四、学生练习
(一)与 3300 角终边相同的角为( ) A、 ?600 B、 3900 C、 ?3900 D、 ?450

(二)求与 3300 角终边相同的最小正角和最大负角.

小结:
一、终边相同角的概念; 二、与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法; 三、计算在指定范围内与已知角终边相同的角.

课后作业:
课本 P104 习题 5.1 A 组 第 3 题、B 组.

-6-

第三课时





电工 1333 班 2014 年

科目 4 月 9

数学 日 星期 学 时

授课教师 三 1 课型

石元辉 第4节 理论课

授课 时间 课 题

弧度制 一、弧度制的概念;

教学内容

二、角度制、弧度制的换算公式; 三、 通过弧度制的学习, 理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方 法,二者是辩证统一的,而不是孤立、割裂的关系. 一、理解弧度制的概念;

教学目标

二、掌握角度制、弧度制的换算公式; 三、 通过弧度制的学习, 理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方 法,二者是辩证统一的,而不是孤立、割裂的关系.

教学重点

角度制、弧度制的换算公式.

教学难点 教 学 法 法

弧度制的概念. 讲授法、练习法. 预习方法、听课方法、复习方法、作业方法、小结方法.

教学过程: 一、导课
(一)分钟每分钟转过多少度?时钟每小时转过多少度? (二)是否还有其它度量角的方法?

二、新授
(一)什么是弧度制?什么是 1 弧度的角? 师生探讨:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角 它的单位是 rad 读
王新敞
奎屯 新疆

作弧度,这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制. 如下图,依次是 1rad , 2rad , 3rad ,αrad .
-7-

1.平角、周角的弧度数,(平角=? rad、周角=2? rad)

王新敞
奎屯

新疆

2.正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是 0 l 3.角?的弧度数的绝对值 ? ? ( l 为弧长, r 为半径) r
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

4.角度制、弧度制度量角的两种不同的方法,单位、进制不同,就像度量长度一样 有不同的方法,千米、米、厘米与丈、尺、寸,反映了事物本身不变,改变的是不同的 观察、处理方法,因此结果就有所不同
王新敞
奎屯 新疆

5.用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同(都是 0) 用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同 角度制与弧度制的换算公式是什么? ∵ 360?=2? rad ∴1 ?
0
王新敞
奎屯 新疆

∴180?=? rad

?
180

rad ? 0.01745rad

? 180 ? 0 0 1rad ? ? ? ? 57.30 ? 57 18' ? ? ?
王新敞
奎屯 新疆

0

王新敞
奎屯

新疆

6.在具体运算时,“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 (二)一些特殊角的度数与弧度数的对应值 角度 弧度 角度 弧度 0° 0 30° π/6 45° π/4 60° π/3 90° π/2

120° 135° 150° 180° 2π/3 3π/4 5π/6 π

210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π /6 2π

(三)应确立如下的概念 角的概念推广之后, 无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建 立一种一一对应的关系
王新敞
奎屯 新疆

正角 零角 负角

正实数 零 负实数

任意角的集合

实数集 R

三、例题讲解
(一)把下列各角由角度换算为弧度 (1) 15
0

0 ' (2) 8 30

(3) ?100

0

(二)把下列各角由弧度换算为角度

-8-

(1)

3? 5

(2) 2.1

(3) ?3.5

四、课堂练习
课本 p99 页 1、2 题.

小结:
一、弧度制的概念; 二、角度、弧度的换算公式.

课后作业:
课本 P104 习题 5.1 A 组 第 3 题、B 组.

-9-

第四课时





电工 1333 班 2014 年 4

科目 月 15

数学 日 星期 学 时

授课教师 二 1

石元辉 第 1-2 节 课型 理论课

授课 时间 课 题

任意角的正弦函数、 余弦函数和正切 函数 一、任意角三角函数概念;

教学内容

二、正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域; 三、运用任意角终边上点的坐标求这个角的三角函数值.

一、理解任意角三角函数概念; 教学目标 二、了解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域; 三、能运用任意角终边上点的坐标求这个角的三角函数值.

教学重点

任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数的概念.

教学难点 教 学 法 法

理解终边在 y 轴上角的正切值不存在. 讲授法、练习法. 预习方法、听课方法、复习方法、作业方法、小结方法.

教学过程: 一、导课
初中学过的锐角三角函数是怎样定义的?
sin ? ? a 角?的对边 ? c 角?的斜边 cos ? ? b 角?的邻边 ? c 角?的斜边 tan ? ? a 角?的对边 ? b 角?的邻边

二、新授
(一)将直角 ?ABC 放在平面直角坐标系中,任意角 ? 的三角函数可怎样定义?
- 10 -

探究:设点 p 的坐标为(x,y),r 为角终边上的点 p 到原点的距离,则 y x y 于是三角函数定义可以写作: sin ? ? , cos ? ? , tan ? ? . r r x (二)正弦、余弦、正切函数的定义域? 1.探究:当角 ? 的终边在 y 轴上的时候 x=0, tan ? ? 义, ? ?

r?

x2 ? y2

?
2

y 无意义;因此: tan ? 要有意 x

? k? .

2.结论: 三角函数
sin ?

定义域 R R

cos?

tan ?

?? ? ?

? ? k? , k ? z? 2

三、例题讲解
例、已知角α的终边经过点 P(2,-3),求 ? 的三角函数值. 解:因为 x=2,y=-3,所以 r ? 22 ? ? ?3? ? 13 .
2

于是

sin ? ?

y 3 3 13 , ?? ?? r 13 13
tan ? ? y 3 ?? . x 2

cos ? ?

x 2 2 13 , ? ? r 13 13

四、课堂训练
已知角 ? 的终边经过点 P(3,-2),求 ? 的三角函数值.

小结:
一、任意角三角函数概念; 二、正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域; 三、运用任意角终边上点的坐标求这个角的三角函数值.

课后作业:
课本 p112 练习 5.3.1.

- 11 -


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