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新人教A版必修4高中数学2.2.3向量的数乘运算及其几何意义导学案


高中数学 2.2.3 向量的数乘运算及其几何意义导学案 新人教 A 版必修 4 学习目标 1. 掌握向量数乘运算,并理解其几何意义; 2. 理解两个向量共线的含义; 掌握向量的线性运算性质及其 几何意义. 学习重点 数乘向量的定义与共线向量定理 学习难点 三点共线的条件 学习过程 一、课前准备(预习教材 P87—P90) 复习: 向量减法的几何意义是什么? 二、新课导学 ※ 探索新知 探究:向量数乘运算与几何意义 问题 1:已知非零向量 a ,作出: ①a?a?a; ② ? ?a ? ? ? ?a ? ? ? ?a ? . 通过作出图形,同学们能否说明它们的几何意 义? 1 1、一般地,我们规定___________________是一个向量, 这 种运算称做向量的数乘记作 ? a ,它的长度与方向规定如下: (1) | ? a | =___________________________________; (2)当_________时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当_______ 时, ? a 的方向与 a 方向相反,当_________时, ? a = O 。 问题 2:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.请 同学们解 释它们的几何意义. 问题 3:引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量 之间有什么位置关系? 2 3、两个向量共线(平行)的充要条件:向量 b 与非零向量 a 平 行的充要条件是有且仅有一个实数 λ , 使得 对此定理的证明,是两层来说明的: 其一,若存在实数 λ ,使 b = λa ,则由实数与向量乘积定 义中第(2)条可知 λb 与 a 平行,即 b 与 a 平行. 其二,若 b 与 a 平行,且不妨令 a ? 0 ,设 |b| = μ (这是 实 |a| 。 数概念).接下来看 a 、b 方向如何:① a 、b 同向,则 b = μa , ②若 a 、b 反向,则记 b = - μa ,总而言之,存在实数 λ ( λ = μ 或 λ = - μ )使 b = λa . ※ 典型例题 例 1 、计算:⑴ ? ?7 ? ? 6a ; ⑵ 4 ? a ? b ? ? 3 ? a ? b ? ? 8a ; ⑶ ? 5a ? 4b ? c ? ? 2 ? 3a ? 2b ? c ? . 例 2:如图,在 ΔABC 中,已知 M 、 N 分别是 AB 、 AC 的中点, 用向量方法证明: MN // BC M 1 2 A N C B 3 2 题 例 3、已知两个向量 e1 和 e2 不共线, AB ? e1 ? e2 , BC ? 2e1 ? 8e2 , CD ? 3e1 ? 3e2 ,求证: A 、 B 、 D 三点共线. 例 4、如图,平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M ,且 AB ? a , AD ? b ,你能用 a 、b 表示 AM DM 、BM 、CM 、 吗? 4 三、小结反思 1、 8(a ? c) ? 7(a ? c) ? c =_________ __. (a ? 9b ? 2c) ? (b ? 2c) =________ _. a ? ? 2a ? b ? a ? = ? ? ? ? ; 1 ?1 ? (2a) ? 8b ? (4a ? 2b) ? =______ ___. ? 3 ?2 ? 2、 在 ?ABC 中,E 、F 分别是 AB 、AC 的中点, 若 AB ? a ,AC ? b , 则 EF 等于( A.

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