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安徽省合肥168中2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试卷 Word版含解析


2014-2015 学年安徽省合肥 168 中高二(上)期中数学试卷(理 科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请将正确答案的序号填在答题卷的表格里. ) 1.下列命题正确的是( ) A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C. 若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 D. 若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 2.设α,β是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是( A. 若 l⊥α,α⊥β,则 l? β B. 若 l∥α,α∥β,则 l? β C. 若 l⊥α,α∥β,则 l⊥β D. 若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β )

3.已知直线 mx+ny+1=0 平行于直线 4x+3y+5=0,且在 y 轴上的截距为 ,则 m,n 的值分别 为( ) A. 4 和 3 B. ﹣4 和 3 C. ﹣4 和﹣3 D. 4 和﹣3 4.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )

A. 28+6

B. 30+6

C. 56+12

D. 60+12

5.经过点 P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,且截距之和最小,则直线的方 程为( ) A. x+2y﹣6=0 B. 2x+y﹣6=0 C. x﹣2y+7=0 D. x﹣2y﹣7=0 6.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 6,底面边长为 4,则该球的表面积为 ( ) A. B. C. D. 16π

7.已知 0<x<1,0<y<1,则 的最小值为 ( ) A.

B.

C. 2 D. 8

8.如图,在三棱柱 ABC﹣A'B'C'中,若 E、F 分别为 AB、AC 的中点,平面 EB'C'F 将三棱柱 分成体积为 V1、V2 的两部分,那么 V1:V2 为( )

A. 3:2 B. 7:5 C. 8:5 D. 9:5 9.设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的直线 mx﹣y﹣m+3=0 交于点 P(x,y) , 则|PA|+|PB|的取值范围是( ) A. [ ,2 ] B. [ ,2 ] C. [ ,4 ] D. [2 ,4 ] 10.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0,x+y+b=0,已知 a,b 是方程 x +x+c=0 的两个实根, 且 0≤c≤ ,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( A. B. C. D. )
2

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将正确答案填在答题卷的相应位 置. ) 11.直线 l:ax+(a+1)y+2=0 的倾斜角大于 45°,则 a 的取值范围是 . 12. 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图, 边 AB 平行于 y 轴, BC, AD 平行于 x 轴. 已 知四边形 ABCD 的面积为 2 cm ,则原平面图形的面积为
2



13.已知正四面体的俯视图如图所示,其中四边形 ABCD 是边长为 2cm 的正方形,则这个正 四面体的主视图的面积为 cm .
2

14.如图,在三棱锥 D﹣ABC 中,已知 BC⊥AD,BC=2,AD=6,AB+BD=AC+CD=10,则三棱锥 D ﹣ABC 的体积的最大值是 .

15.在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正确 的是 (写出所有正确命题的编号) . ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y=kx+b 不经过任何整点; ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点; ④如果 k 与 b 都是有理数,则直线 y=kx+b 经过无穷多个整点; ⑤存在恰经过一个整点的直线.

三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16.已知 E、F、G、H 为空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上的点,且 EH∥FG.求证: EH∥BD.

17.如图,在△ABC 中,BC 边上的高所在的直线方程为 x﹣2y+1=0,∠A 的平分线所在的直 线方程为 y=0,若点 B 的坐标为(1,2) ,求点 A 和点 C 的坐标.

18.如图,在锥体 P﹣ABCD 中,ABCD 是边长为 1 的菱形,且∠DAB=60°,PA=PD= E,F 分别是 BC,PC 的中点 (1)证明:AD⊥平面 DEF (2)求二面角 P﹣AD﹣B 的余弦值.

,PB=2,

19.已知直线 l:y=3x+3. (1)求点 P(5,3)关于直线 l 的对称点 P′的坐标; (2)求直线 l1:x﹣y﹣2=0 关于直线 l 的对称直线 l2 的方程; (3)已知点 M(2,6) ,试在直线 l 上求一点 N 使得|NP|+|NM|的值最小. 20.如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D,E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点. (Ⅰ)求证:DE∥平面 BCP; (Ⅱ)求证:四边形 DEFG 为矩形; (Ⅲ)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由.

21.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC, E 是 PC 的中点. (1)证明 CD⊥AE; (2)证明 PD⊥平面 ABE; (3)求二面角 A﹣PD﹣C 的正切值.

2014-2015 学年安徽省合肥 168 中高二 (上) 期中数学试 卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请将正确答案的序号填在答题卷的表格里. ) 1.下列命题正确的是( ) A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C. 若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 D. 若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: A,B,C 列举所有情况,D 考虑线面平行的性质定理及平行公理即可. 解答: 解:对于 A,两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行、相交、异 面都有可能,故不正确; 对于 B,一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行或相交,故不正 确; 对于 C,两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行或相交,故不正确; 对于 D,由 a∥α得,经过 a 的平面与α相交于直线 c,则 a∥c,同理,设经过 a 的平面与 β相交于直线 d,则 a∥d,由平行公理得:c∥d,则 c∥β,又 c? α,α∩β=b,所以 c ∥b,又 a∥c,所以 a∥b. 故选:D.

点评: 本题主要考查了空间线面位置关系,要求熟练掌握相应的定义和定理,注意定理成 立的条件. 2.设α,β是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是( A. 若 l⊥α,α⊥β,则 l? β B. 若 l∥α,α∥β,则 l? β C. 若 l⊥α,α∥β,则 l⊥β D. 若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. )

分析: 本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系,逐一分析四个答案中的结论,发 现 A,B,D 中由条件均可能得到 l∥β,即 A,B,D 三个答案均错误,只有 C 满足平面平行 的性质,分析后不难得出答案. 解答: 解:若 l⊥α,α⊥β,则 l? β或 l∥β,故 A 错误; 若 l∥α,α∥β,则 l? β或 l∥β,故 B 错误; 若 l⊥α,α∥β,由平面平行的性质,我们可得 l⊥β,故 C 正确; 若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β或 l∥β,故 D 错误; 故选 C 点评: 判断或证明线面平行的常用方法有:①利用线面平行的定义(无公共点) ;②利用线 面平行的判定定理(a? α,b? α,a∥b? a∥α) ;③利用面面平行的性质定理(α∥β, a? α? a∥β) ;④利用面面平行的性质(α∥β,a? α,a? ,a∥α? ? a∥β) .线线 垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是 寻找线线垂直的重要依据. 垂直问题的证明, 其一般规律是 “由已知想性质, 由求证想判定” , 也就是说, 根据已知条件去思考有关的性质定理; 根据要求证的结论去思考有关的判定定理, 往往需要将分析与综合的思路结合起来.

3.已知直线 mx+ny+1=0 平行于直线 4x+3y+5=0,且在 y 轴上的截距为 ,则 m,n 的值分别 为( ) A. 4 和 3 B. ﹣4 和 3 C. ﹣4 和﹣3 D. 4 和﹣3 考点: 两条直线平行的判定;直线的截距式方程. 专题: 待定系数法. 分析: 由直线在 y 轴上的截距为 ,可得 求出 m. 解答: 解:由题意得 ∴ = ≠ , = ,n=﹣3,直线 mx+ny+1=0 平行于直线 4x+3y+5=0, = ,解出 n,再由直线平行可得 = ≠ ,

∴m=﹣4. 故选 C. 点评: 本题考查直线在 y 轴上的截距的定义,两直线平行的性质. 4.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )

A. 28+6

B. 30+6

C. 56+12

D. 60+12

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 立体几何. 分析: 通过三视图复原的几何体的形状,利用三视图的数据求出几何体的表面积即可. 解答: 解:三视图复原的几何体是底面为直角边长为 4 和 5 的三角形, 一个侧面垂直底面的等腰三角形,高为 4,底边长为 5,如图, 所以 S 底= S 后= S 右= S 左= =10, , =10, =6 . .

几何体的表面积为:S=S 底+S 后+S 右+S 左=30+6 故选:B.

点评: 本题考查三视图与几何体的关系,注意表面积的求法,考查空间想象能力计算能力. 5.经过点 P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,且截距之和最小,则直线的方 程为( ) A. x+2y﹣6=0 B. 2x+y﹣6=0 C. x﹣2y+7=0 D. x﹣2y﹣7=0 考点: 直线的斜截式方程. 专题: 计算题. 分析: 设出直线方程的截距式,把经过的点 P(1,4)的坐标代入得 a 与 b 的等式关系, 把截距的和 a+b 变形后使用基本不等式求出它的最小值. 解答: 解:设直线的方程为 + =1(a>0,b>0) ,则有 + =1, ∴a+b=(a+b)×1=(a+b)×( + )=5+ + 当且仅当 = ,即 a=3,b=6 时取“=” . ≥5+4=9,

∴直线方程为 2x+y﹣6=0.

故选 B. 点评: 本题考查直线方程的截距式,利用基本不等式求截距和的最小值,注意等号成立的 条件需检验. 6.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 6,底面边长为 4,则该球的表面积为 ( ) A. B. C. D. 16π

考点: 球的体积和表面积. 专题: 球. 分析: 根据正四棱锥 P﹣ABCD 与外接球的关系求出球的半径,即可求出球的表面积. 解答: 解:如图,正四棱锥 P﹣ABCD 中,PE 为正四棱锥的高,根据球的相关知识可知,正 四棱锥的外接球的球心 O 必在正四棱锥的高线 PE 所在的直线上,延长 PE 交球面于一点 F, 连接 AE,AF, 由球的性质可知△PAF 为直角三角形且 AE⊥PF, ∵底面边长为 4,∴AE= ,PE=6, ∴侧棱长 PA= =
2

,PF=2R,

根据平面几何中的射影定理可得 PA =PF? PE, 即 44=2R×6,解得 R= 则 S=4πR =4π( 故选:B
2


2

)=



点评: 本题考查球的表面积,球的内接几何体问题,考查计算能力,根据条件求出球的半 径是解决本题的关键.

7.已知 0<x<1,0<y<1,则 的最小值为 ( ) A.

B.

C. 2 D. 8

考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用四个和式的几何意义求得答案. 解答: 解:根号 根号 表示点(x,y)与原点(0,0)之间的距离, 表示点(x,y)与点(0,1)之间的距离, 表示点(x,y)与点(1,0)之间的距离, 表示点(x,y)与点(1,1)之间的距离, ∴函数就是四个距离之和, 满足条件 0<x<1,0<y<1 的点(x,y)位于矩形内, 则距离之和的最小值就是此矩形的对角线长的 2 倍, 等于 . 故选:A. 点评: 本题考查了函数值的求法,考查了数学转化思想方法,关键是转化为几何意义,是 中档题. 8.如图,在三棱柱 ABC﹣A'B'C'中,若 E、F 分别为 AB、AC 的中点,平面 EB'C'F 将三棱柱 分成体积为 V1、V2 的两部分,那么 V1:V2 为( )

A. 3:2 B. 7:5 C. 8:5 D. 9:5 考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题. 分析: 由已知中平面 EB'C'F 将三棱柱分成一个棱台 (体积为 V1) 和一个不规则几何体, (体 积为 V2) ,我们根据棱柱体积公式,和棱台的体积公式,结合组合体的体积求法,分别计算 出 V1,V2 的表达式,即可得到答案. 解答: 解:设 S△AEF=x,则 S△ABC=S△A1B1C1=4x, S□EFBC=3x

V1:V2= (4x+2x+x) :4x﹣[ (4x+2x+x)]=7:5 故选 B 点评: 本题考查的知识点是棱柱的体积, 棱台的体积, 组合体的体积, 其中分析出面 EB'C'F 将三棱柱分成一个棱台(体积为 V1)和一个不规则几何体, (体积为 V2) ,是解答本题的关 键. 9.设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的直线 mx﹣y﹣m+3=0 交于点 P(x,y) , 则|PA|+|PB|的取值范围是( ) A. [ ,2 ] B. [ ,2 ] C. [ ,4 ] D. [2 ,4 ] 考点: 两条直线的交点坐标;函数最值的应用. 专题: 直线与圆. 分析: 可得直线分别过定点(0,0)和(1,3)且垂直,可得|PA| +|PB| =10.三角换元 后,由三角函数的知识可得. 解答: 解:由题意可知,动直线 x+my=0 经过定点 A(0,0) , 动直线 mx﹣y﹣m+3=0 即 m(x﹣1)﹣y+3=0,经过点定点 B(1,3) , ∵动直线 x+my=0 和动直线 mx﹣y﹣m+3=0 的斜率之积为﹣1,始终垂直,P 又是两条直线的 交点, ∴PA⊥PB,∴|PA| +|PB| =|AB| =10. 设∠ABP=θ,则|PA|= sinθ,|PB|= 由|PA|≥0 且|PB|≥0,可得θ∈[0, ∴|PA|+|PB|= ∵θ∈[0, ∴sin(θ+ ∴2 (sinθ+cosθ)=2 ],∴θ+ )∈[ ∈[ , ] sin(θ+ ], ) ,
2 2 2 2 2

cosθ,

,1], ,2 ],

sin(θ+

)∈[

故选:B. 点评: 本题考查直线过定点问题,涉及直线的垂直关系和三角函数的应用,属中档题. 10.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0,x+y+b=0,已知 a,b 是方程 x +x+c=0 的两个实根, 且 0≤c≤ ,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( A. B. C. D. )
2

考点: 两条平行直线间的距离. 专题: 计算题. 分析: 利用方程的根,求出 a,b,c 的关系,求出平行线之间的距离表达式,然后求解距 离的最值.

解答: 解:因为 a,b 是方程 x +x+c=0 的两个实根, 所以 a+b=﹣1,ab=c,两条直线之间的距离 d= ,

2

∴d = 所以 ≤1﹣4c≤1, 即d
2

2

=

,因为 0≤c≤ ,

,所以两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是



故选 C. 点评: 本题考查平行线之间的距离的求法,函数的最值的求法,考查计算能力. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将正确答案填在答题卷的相应位 置. ) 11.直线 l:ax+(a+1)y+2=0 的倾斜角大于 45°,则 a 的取值范围是 {a|a<﹣ 或 a> 0} . 考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆. 分析: 当 a=﹣1 时,符合题意;当 a≠﹣1 时,只需 <0 或 >1 即可,解不等

式综合可得. 解答: 解:当 a+1=0 即 a=﹣1 时,直线无斜率,倾斜角为 90°,满足倾斜角大于 45°; 当 a+1≠0 即 a≠﹣1 时,直线的斜率 <0 或 >1 即可

解不等式可得 a<﹣1 或﹣1<a<﹣ 或 a>0 综上可得 a 的取值范围为:{a|a<﹣ 或 a>0} 故答案为:{a|a<﹣ 或 a>0} 点评: 本题考查直线的倾斜角,涉及不等式的解集和分类讨论,属基础题. 12. 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图, 边 AB 平行于 y 轴, BC, AD 平行于 x 轴. 已 知四边形 ABCD 的面积为 2 cm ,则原平面图形的面积为
2

8cm

2



考点: 平面图形的直观图. 专题: 空间位置关系与距离.

分析: 首先,根据所给的图形中∠BAD=45°,得到原图形为一个直角梯形,然后,根据高 之间的关系进行求解. 解答: 解:根据题意,得 ∠BAD=45°, 则原图形为一个直角梯形, 上下底面的边长和 BC、AD 相等, 高为梯形 ABCD 的高的 2 倍, 2 ∴原平面图形的面积为 8cm . 2 故答案为:8cm . 点评: 本题重点考查了斜二侧画法、平面图形的面积的求解方法等知识,属于中档题.解 题关键是准确理解斜二侧画法的内涵, 与 x 轴平行的线段长度保持不变, 与 y 轴平行的线段 的长度减少为原来的一半. 13.已知正四面体的俯视图如图所示,其中四边形 ABCD 是边长为 2cm 的正方形,则这个正 四面体的主视图的面积为 2 cm .
2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 作图题;综合题. 分析: 根据题意,画出图形,结合题目所给数据,求出正视图的三边的长,可求其面积. 解答: 解:这个正四面体的位置是 AC 放在桌面上, BD 平行桌面,它的正视图是和几何体如图, 则正视图 BD=2 ,DO=BO= , ∴S△BOD= 故答案为:2 . ,

点评: 本题考查由三视图求面积,考查空间想象能力逻辑思维能力,是中档题. 14.如图,在三棱锥 D﹣ABC 中,已知 BC⊥AD,BC=2,AD=6,AB+BD=AC+CD=10,则三棱锥 D ﹣ABC 的体积的最大值是 .

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 分析: 过 BC 作与 AD 垂直的平面,交 AD 于 E,过 E 作 BC 的垂线,垂足为 F,则 V= S△BCE ×AD,进而可分析出当 BE 取最大值时,EF 取最大值时,三棱锥 D﹣ABC 的体积也取最大值, 利用椭圆的几何意义及勾股定理,求出 EF 的最大值,可得答案. 解答: 解:过 BC 作与 AD 垂直的平面,交 AD 于 E 过 E 作 BC 的垂线,垂足为 F,如图所示:

∵BC=2,AD=6, 则三棱锥 D﹣ABC 体积 V= S△BCE×(AE+DE)=V= S△BCE×AD= × ? BC? EF×AD=2EF 故 EF 取最大值时,三棱锥 D﹣ABC 的体积也取最大值 即 BE 取最大值时,三棱锥 D﹣ABC 的体积也取最大值 在△ABD 中,动点 B 到 A,D 两点的距离和为 10, 故 B 在以 AD 为焦点的椭圆上, 此时 a=5,c=3,故 BE 的最大值为 b= 此时 EF= = =4

故三棱锥 D 一 ABC 的体积的最大值是 故答案为: 点评: 本题考查的知识点是棱锥的体积,其中将求棱锥体积的最大值,转化为求椭圆上动 点到长轴的距离最远是解答的关键. 15.在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正确 的是 ①③⑤ (写出所有正确命题的编号) . ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y=kx+b 不经过任何整点; ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点; ④如果 k 与 b 都是有理数,则直线 y=kx+b 经过无穷多个整点; ⑤存在恰经过一个整点的直线.

考点: 进行简单的合情推理. 专题: 推理和证明. 分析: ①举一例子即可说明本命题是真命题; ②举一反例即可说明本命题是假命题; ③假设直线 l 过两个不同的整点,设直线 l 为 y=kx,把两整点的坐标代入直线 l 的方程, 两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线 l 上, 利用同样的方法, 得 到直线 l 经过无穷多个整点,得到本命题为真命题; ④根据③为真命题,把直线 l 的解析式 y=kx 上下平移即不能得到 y=kx+b,所以本命题为假 命题; ⑤举一例子即可得到本命题为真命题. 解答: 解:①令 y=x+ ,既不与坐标轴平行又不经过任何整点,所以本命题正确; ②若 k= ,b= ,则直线 y= x+ 经过(﹣1,0) ,所以本命题错误; 设 y=kx 为过原点的直线,若此直线 l 过不同的整点(x1,y1)和(x2,y2) , 把两点代入直线 l 方程得:y1=kx1,y2=kx2, 两式相减得:y1﹣y2=k(x1﹣x2) , 则(x1﹣x2,y1﹣y2)也在直线 y=kx 上且为整点, 通过这种方法得到直线 l 经过无穷多个整点, 又通过上下平移得到 y=kx+b 不一定成立.则③正确,④不正确; ⑤令直线 y= x 恰经过整点(0,0) ,所以本命题正确. 综上,命题正确的序号有:①③⑤. 故答案为:①③⑤ 点评: 此题考查学生会利用举反例的方法说明一个命题为假命题,要说明一个命题是真命 题必须经过严格的说理证明,以及考查学生对题中新定义的理解能力,是一道中档题. 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16.已知 E、F、G、H 为空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上的点,且 EH∥FG.求证: EH∥BD.

考点: 直线与平面平行的判定;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 证明题. 分析: 先由 EH∥FG,得到 EH∥面 BDC,从而得到 EH∥BD. 解答: 证明:∵EH∥FG,EH? 面 BCD,FG? 面 BCD ∴EH∥面 BCD, 又∵EH? 面 ABD,面 BCD∩面 ABD=BD, ∴EH∥BD 点评: 本题主要考查线面平行的判定定理,是道基础题.

17.如图,在△ABC 中,BC 边上的高所在的直线方程为 x﹣2y+1=0,∠A 的平分线所在的直 线方程为 y=0,若点 B 的坐标为(1,2) ,求点 A 和点 C 的坐标.

考点: 两条直线的交点坐标. 专题: 计算题. 分析: 根据三角形的性质解 A 点,再解出 AC 的方程,进而求出 BC 方程,解出 C 点坐标.逐 步解答. 解答: 解:点 A 为 y=0 与 x﹣2y+1=0 两直线的交点, ∴点 A 的坐标为(﹣1,0) . ∴kAB= =1.

又∵∠A 的平分线所在直线的方程是 y=0, ∴kAC=﹣1. ∴直线 AC 的方程是 y=﹣x﹣1. 而 BC 与 x﹣2y+1=0 垂直,∴kBC=﹣2. ∴直线 BC 的方程是 y﹣2=﹣2(x﹣1) . 由 y=﹣x﹣1,y=﹣2x+4, 解得 C(5,﹣6) . ∴点 A 和点 C 的坐标分别为(﹣1,0)和(5,﹣6) 点评: 本题可以借助图形帮助理解题意,将条件逐一转化求解,这是上策. 18.如图,在锥体 P﹣ABCD 中,ABCD 是边长为 1 的菱形,且∠DAB=60°,PA=PD= E,F 分别是 BC,PC 的中点 (1)证明:AD⊥平面 DEF (2)求二面角 P﹣AD﹣B 的余弦值. ,PB=2,

考点: 与二面角有关的立体几何综合题;二面角的平面角及求法. 专题: 空间位置关系与距离;空间角;立体几何.

分析: (1)利用线面垂直的判定定理进行证明是解决本题的关键,在平面 DEF 中找两条相 交直线与 AD 垂直,利用 60°角菱形的特征可以发现 AD⊥DE,通过取出 AD 的中点构造一个 平面可以证明 AD⊥EF; (2)利用(1)中的结论找到二面角 P﹣AD﹣B 的平面角是解决本题的关键,求角往往要利 用三角形中的余弦定理. 解答: 解: (1)取 AD 的中点 G,连接 PG,BG,在△ABG 中,根据余弦定理可以算出 BG=
2 2 2



发现 AG +BG =AB ,可以得出 AD⊥BG,又 DE∥BG ∴DE⊥AD, 又 PA=PD,可以得出 AD⊥PG,而 PG∩BG=G, ∴AD⊥平面 PBG,而 PB? 平面 PBG, ∴AD⊥PB,又 PB∥EF, ∴AD⊥EF.又 EF∩DE=E,∴AD⊥平面 DEF. (2)由(1)知,AD⊥平面 PBG,所以∠PGB 为二面角 P﹣AD﹣B 的平面角, 在△PBG 中,PG= ,BG= ,PB=2,

由余弦定理得 cos∠PGB=



因此二面角 P﹣AD﹣B 的余弦值为



点评: 本题考查立体几何中基本的线面关系,考查线面垂直的判定方法,考查二面角的求 法,训练了学生基本的空间想象能力,考查学生的转化与化归思想,解三角形的基本知识和 学生的运算能力,属于基本的立体几何题. 19.已知直线 l:y=3x+3. (1)求点 P(5,3)关于直线 l 的对称点 P′的坐标; (2)求直线 l1:x﹣y﹣2=0 关于直线 l 的对称直线 l2 的方程; (3)已知点 M(2,6) ,试在直线 l 上求一点 N 使得|NP|+|NM|的值最小. 考点: 与直线关于点、直线对称的直线方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (1)设点 P 的对称点为 P'(a,b) ,由中点坐标公式和两直线垂直的条件列方程, 解出即可; (2)首先求出两直线的交点,再由点关于直线对称的求法求出对称点,再由直线方程的形 式,即可得到; (3)可由(1)的结论,连接 P'M,交直线 l 于 N,连接 NP,再由三点共线的知识,即可求 出 N. 解答: 解: (1)设点 P 的对称点为 P'(a,b) ,
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,解得:



即点 P'的坐标为(﹣4,6) ;

(2)解方程组





即两直线 l 与 l 的交点坐标为 因为直线 l 与 l2 关于直线 l 对称,所以直线 l2 必过点 ,

又由(1)可知,点 P(5,3)恰好在直线 l 上,且其关于直线 l 的对称点为 P'(﹣4,6) ,

所以直线 l2 必过点 P'(﹣4,6) ,这样由两点式可得:



即 7x+y+22=0; (3)由(1)得 P'(﹣4,6) ,连接 P'M,交直线 l 于 N,连接 NP, 则|NP|+|NM|=|NP'|+|NM|=|P'M|最小, 设出 N(x,3x+3) ,则由 P',M,N 共线,可得, ,解得,x=1, 则可得 N(1,6) . 点评: 本题考查点关于直线对称、直线关于直线对称,以及运用:求最值,考查直线方程 的知识,考查运算能力,属于中档题. 20.如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D,E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点. (Ⅰ)求证:DE∥平面 BCP; (Ⅱ)求证:四边形 DEFG 为矩形; (Ⅲ)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由.

考点: 直线与平面平行的判定;空间中直线与直线之间的位置关系.

专题: 空间位置关系与距离;立体几何. 分析: (Ⅰ)根据两个点是两条边的中点,得到这条线是两条边的中位线,得到这条线平 行于 PC,根据线面平行的判定定理,得到线面平行. (Ⅱ)根据四个点是四条边的中点,得到中位线,根据中位线定理得到四边形是一个平行四 边形,根据两条对角线垂直,得到平行四边形是一个矩形. (Ⅲ)做出辅助线,证明存在点 Q 到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等,根据第二问证 出的四边形是矩形,根据矩形的两条对角线互相平分,又可以证出另一个矩形,得到结论. 解答: 证明: (Ⅰ)∵D,E 分别为 AP,AC 的中点, ∴DE∥PC, ∵DE? 平面 BCP, ∴DE∥平面 BCP. (Ⅱ)∵D,E,F,G 分别为 AP,AC,BC,PB 的中点, ∴DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF ∴四边形 DEFG 为平行四边形, ∵PC⊥AB, ∴DE⊥DG, ∴四边形 DEFG 为矩形. (Ⅲ)存在点 Q 满足条件,理由如下: 连接 DF,EG,设 Q 为 EG 的中点, 由(Ⅱ)知 DF∩EG=Q,且 QD=QE=QF=QG= EG, 分别取 PC,AB 的中点 M,N,连接 ME,EN,NG,MG,MN, 与(Ⅱ)同理,可证四边形 MENG 为矩形,其对角线交点为 EG 的中点 Q, 且 QM=QN= EG, ∴Q 为满足条件的点.

点评: 本题考查直线与平面平行的判定,考查三角形中位线定理,考查平行四边形和矩形 的判定及性质,本题是一个基础题. 21.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC, E 是 PC 的中点. (1)证明 CD⊥AE; (2)证明 PD⊥平面 ABE;

(3)求二面角 A﹣PD﹣C 的正切值.

考点: 二面角的平面角及求法. 专题: 计算题;证明题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)运用线面垂直的判定和性质定理即可得证 CD⊥AE; (2)运用线面垂直的性质和判定定理,即可得到 PD⊥平面 ABE; (3)过 E 点作 EM⊥PD 于 M 点,连结 AM,由(2)知 AE⊥平面 PCD,则 AM⊥PD,则∠AME 是 二面角 A﹣PD﹣C 的平面角.通过解三角形 AEM,即可得到所求值. 解答: (1)证明:∵PA⊥底面 ABCD,CD? 平面 ABCD,∴PA⊥CD, 又 AC⊥CD,AC∩PA=A, ∴CD⊥平面 PAC,又 AE? 平面 PAC, ∴CD⊥AE; (2)证明:∵PA⊥底面 ABCD,AB? 平面 ABCD∴PA⊥AB, 又 AD⊥AB,AD∩PA=A ∴AB⊥平面 PAD,又 PD? 平面 PAD∴AB⊥PD, 由 PA=AB=BC,∠ABC=60°,则△ABC 是正三角形. ∴AC=AB∴PA=PC ∵E 是 PC 中点∴AE⊥PC 由(1)知 AE⊥CD,又 CD∩PC=C∴AE⊥平面 PCD ∴AE⊥PD,又 AB⊥PD,AB∩AE=A ∴PD⊥平面 ABE; (3)解:过 E 点作 EM⊥PD 于 M 点,连结 AM, 由(2)知 AE⊥平面 PCD,则 AE⊥PD, 则 PD⊥平面 AEM,∴AM⊥PD, 则∠AME 是二面角 A﹣PD﹣C 的平面角. 设 AC=a,AD= = ,PA=A,PD= = a,

AM=

=

=



在 Rt△AEM 中,AE=

a,EM=

=

=

a,

则 tan∠AME=

=

=



点评: 本题考查线面垂直的性质和判定定理及运用,考查空间二面角的求法,考查运算和 推理能力,属于中档题.


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