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平面向量2.3-2.4导学案


2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 一、学习目标 1.了解平面向量基本定理; 2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解决 实际问题的重要思想方法; 3.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达. 二、自学导引 问题 1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则?

问题 2. 怎样理解向量的数乘运算λ a ? (1)模:|λ a |=|λ || a |; (2)方向:λ >0 时λ a 与 a 方向相同;λ <0 时λ a 与 a 方向相反;λ =0 时λ a = 0 问题 3. 向量 b 、 a a ? 0 是共线的两个向量,则 a 、 b 之间的关系可以表示为 ______________.向量基本定理是什么?

?

?

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问题 4. 什么是向量的基底?当基底确定后,平面内任一向量的表示都是唯一的吗?为什 么?

问题 5. 同一非零向量在不同基底下的分解式相同吗?请举例说明.

三、合作探究 探究 1. 给定平面内任意两个向量 e1 、 e2 ,请同学们作出向量 3e1 ? 2e2 、 e1 ? 2e2 .

探究 2:由探究 1 可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量 e1 、 e2 来表示向量 b , c . 那么平面内的任一向量是否都可以用形如 ?1 e1 ? ?2 e2 的向量表示呢?如下图,设 e1 、 e2 是 同一平面内两个不共线的向量, a 是这一平面内的任一向量,作图表示 a=?1 e1 ? ?2 e2 .

探究 3: 平面中的任意两个非零向量之间存在夹角吗?若存在,向量的夹角与直线的夹角一 样吗?

1、非零向量 a 、 b 的夹角的定义: 当 ? =0o 时, a 、 b 当 ? =180o 时, e1 、 e2
2、两非零向量的夹角的范围:在区间[0° ,180° ]内. 四、典例精析 例 1 已知向量 e1 , e2 求作向量?2.5 e1 +3 e2 .

。 当 ? =90o 时, a 、 b 记做

例2

b 表示 MA , MB , 如图 ABCD 的两条对角线交于点 M , 且 AB = a ,AD = b , 用a ,

?

?

? ?

MC 和 MD .

变 式 训 练 : 如 图 : 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , M , N 分 别 为 DC , BC 的 中 点 , 已 知

AM ? c, AN ? d , 试用 c, d 表示 AB, AD .

例 3 已知 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E ,O 是 任意一点,求证: OA + OB + OC + OD =4 OE

例 4 已知向量 a ? 2e1 ? 3e2 , b ? 2e1 ? 3e2 ,其中 e1 、 e2 不共线,向量 c ? 2e1 ? 9e2 ,问是 否存在这样的实数 ? 、 ? ,使 d ? ? a ? ?b 与 c 共线?

五、自主反馈 1. 设 e1 , e2 是同一平面内所有向量的一组基底, 则以下各组向量中, 不能作为基底的是 ( ) A. C.

? ?

? ? ? ? e1 + e2 和 e1 - e2 ? ? ? ? e1 +2 e2 和 2 e1 + e2

B. 2 e1 -3 e2 和 4 e1 -6 e2 D.

?

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?

? ? ? e1 + e2 和 e2
?

2. 已知 AM 是 ABC 的 BC 边上的中线,若 AB = a , AC = b ,则 AM =( A.

?



? ? ? ? 1 1 ( a- b ) B. - ( a - b ) 2 2 ? ? ? ? 1 1 C.- ( a + b ) D. ( a + b ) 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3. 已知 e1 , e2 不共线, a = ?1 e1 + e2 , b =4 e1 +2 e2 ,并且 a , b 共线,则下列各式正确
的是( ) A. ?1 =1, B. ?1 =2, C. ?1 =3, D. ?1 =4

4. 如图, D, E, F 是 ABC 的边 BC , CA, AB 的中点,且 BC ? 2a, CA ? 2b ,在给出的下 列四个等式中,正确的是( ) ③ BF ? b ? a

A

① AD ? a ? 2b ② BE ? 2a ? b

F B

E C

④ AD ? BE ? CF ? AB ? BC ? CA A. ①② B. ①③ C. ②③④ D. ①②③④

D

5. 设 e1 与 e2 是两个不共线向量, a =3 e1 +4 e2 , b =-2 e1 +5 e2 ,若实数 λ、 μ 满足 λ a +μ b =5

e1 - e2 ,求 λ、μ 的值.

6. 已知 G 为△ ABC 的重心,设 AB = a , AC = b ,试用 a 、 b 表示向量 AG .

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算 一、学习目标 1.理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与有序实数对一一对应关系; 2.能正确地用坐标表示向量,对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标 表示; 3.掌握两向量的和、差,实数与向量的积的坐标表示法。 二、自学导引 问题 1 什么叫向量的正交分解?

问题 2 在平面直角坐标系中,每一个点可用一对有序实数(即它的坐标)表示,那么对平 面直角坐标内的每一个向量,可否用实数对来表示?又如何表示呢?

问题 3 设 i、j 是与 x 轴、y 轴同向的两个单位向量,若设 a =(x1, y1) , b =(x2, y2),则 a = x1i+y1j, b =x2i+y2j,根据向量的线性运算性质,向量 a + b , a - b ,λ a (λ ∈R) 如何分别用基底 i、j 表示?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

问题 4 根据向量的坐标表示,向量 a + b , a - b ,λ a 的坐标分别如何?

?

?

?

?

?

问题 5 已知点 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,那么向量 AB 的坐标如何?

问题 6 一个向量平移后坐标不变,但起点坐标和终点坐标发生了变化,这是否矛盾呢?

三、合作探究 探究一:已知表示有向线段 AB 的向量 a 及始点 A 的坐标,求它的终点 B 的坐标. (1) a ? ?1,?2?, A?0,0? ; (2) a ? ?3,1?, A?5,?1? ; (3) a ? ?? 1,?5?, A?3,7?
?

探究二:已知 A? 2,3? , B?? 1, y ? , C ?x,?2? , D?? 3,6? ,若 AB ? CD ,求 x , y 的值.

?

?

探究三:已知平行四边形 ABCD 中, A?? 3,1?, B?? 2,4?, D?3,2? ,求点 C 的坐标.

探究四:设 a ? (1,?3),b ? (?2,4),c ? (0,5)则 3a ?

b ? c =_________________

四、典例精析 例 1 如图,已知 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,求 AB 的坐标.

小结:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的

减去

的坐标.

变式:你能在上图中标出坐标为 ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? 的 P 点吗?标出 P 点后,你能发现向量的 坐标与点的坐标之间的联系吗?

例 2 已知 a ? b ? ? 2, ?8? , a ? b ? ? ?8,16? ,求 a 和 b .

例 3 已知平行四边形 ABCD 的顶点 A? ?1, ?2? , B ? 3, ?1? , C ? 5,6 ? ,试求顶点 D 的坐标.

变式:若 AC 与 BD 的交点为 O ,试求点 O 的坐标.

P 例 4 已知 P 且P , 求点 P 的 1 2 上一点, 1 ? x1 , y1 ? , P 2 ? x2 , y2 ? , 是直线 PP 1 P ? ? PP 2 (??-1)
坐标。

五、自主反馈 1. 若向量 a ? ? x ? 2,3? 与向量 b ? ?1, y ? 2? 相等,则( A. x ? 1, y ? 3 C. x ? 1, y ? ?5 B. x ? 3, y ? 1 D. x ? 5, y ? ?1 ) )

2. 已知 AB ? ? x, y ? ,点 B 的坐标为 ? ?2,1? ,则 OA 的坐标为( A. ? x ? 2, y ? 1? C. ? ?2 ? x , 1? y? B. ? x ? 2, y ? 1? D. ? x ? 2, y ? 1?

3. 已知 a ? ?3, ?1? , b ? ? ?1,2? ,则 ?3a ? 2b 等于( A. ? 7,1? B. ? ?7, ?1? C. ? ?7 , 1? D. ? 7, ?1?



4. 设点 A? ?1,2 ? , B ? 2,3? , C ? 3, ?1? 且 AD ? 2 AB ?3BC ,则 D 点的坐标为

.

5. 若点 O ? 0,0 ? 、 A?1,2? 、 B ? ?1,3? ,且 OA! ? 2OA , OB! ? 3OB ,则点 A! 的坐标为多少? 点 B! 的坐标为多少?向量 A!B! 的坐标为多少?

6. 已知向量 a ? ? 3, ?2? , b ? ? ?2,1? , c ? ? 7, ?4? ,试用 a, b 来表示 c .

2.3.4 平面向量共线的坐标表示 一、学习目标 1. 理解向量共线的概念,并会应用坐标表示向量共线; 2. 通过自主学习、合作讨论、探究出向量共线的坐标条件、等分点坐标及应用; 3. 通过学习向量共线的坐标表示,认识事物之间的相互联系,培养辨证思维能力. 二、自学导引 问题 1 (复习) (1)若点 A 、 B 的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? 那么向量 AB 的坐标为 .

(2)若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ?

a ?b ?

, ?a ?

问题 2 我们知道,假设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,若 a, b 共线,当且仅当存在实 数 ? ,使 a ? ? b ,用坐标该如何表示这两个向量共线呢?

三、合作探究 探究一:求证:设线段 AB 两端点的坐标分别为 A(x 1,y 1 ), B(x 2 ,y 2 ), 则其中点 M ? x, y ? 的坐标公式是: x=

x1 ? y 1
2

, y=

y1 +y2 2

P 点的坐标。 探究二:当 P 是线段 P 1 (4, ?3), P 2 (?2,6) 的三等分点时,求

P 的坐标: 探究三:已知 P 1 (4, ?3), P 2 (?2,6), 求适合下列条件的点
(1) P (2) P 1 P ? 2 PP 2 , 点 P 在线段 PP 1 P ? 4 PP 2 , 点 P 在线段 PP 1 2 上; 1 2 延长线上;

四、典例精析 例 1 已知 a ? (4, 2) , b ? (6, y) ,且 a // b ,求 y .

b ? (?2, m) , 变式训练 1 已知平面向量 a ? (1,2) , 且 a // b , 则 2a ? 3b 等于_________.

例 2 已知 A(?1, ?1) , B(1,3) , C (2,5) ,求证: A 、 B 、 C 三点共线.

例 3 若向量 a ? ? ?1, x ? 与 b ? ? ? x, 2? 共线且方向相同,求 x .

例 4 设点 P 是线段 PP 1 2 上的一点, P 1, P 2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? .

P 的坐标; (1)当点 P 是线段 PP 1 2 的中点时,求点

P 的坐标. (2)当点 P 是线段 PP 1 2 的一个三等分点时,求点

[来源:学科网 ZXXK]

变式训练 2:当 P 1 P ? ? PP 2 时,点 P 的坐标是什么?

五、自主反馈 1.若 a=(2,3),b=(4,-1+y),且 a∥b,则 y=( A.6 B.5 C.7 ) D.8 )

2.若 A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则 x 的值为( A.-3 B.-1 C.1 D.3

3.若 AB =i+2j, DC =(3-x)i+(4-y)j(其中 i、 j 的方向分别与 x、 y 轴正方向相同且为单位向量).

AB 与 DC 共线,则 x、y 的值可能分别为(
A.1,2 B.2,2 C.3,2

) D.2,4 )

4. 已知 A(2, ?1), B(3,1) 与 AB 平行且方向相反的向量 a 的是( A. a ? (1, )

1 2

B. a ? (?6, ?3)

C. a ? (?1, 2)

D. a ? (?4, ?8) . .

5. 已知 a=(1,2),b=(x,1),若 a+2b 与 2a-b 平行,则 x 的值为

6.已知□ABCD 四个顶点的坐标为 A(5,7),B(3,x),C(2,3),D(4,x),则 x= 2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义 一、学习目标 1. 在物理中功的概念的基础上,理解向量数量积的概念及几何意义;

2. 体会平面向量的数量积与向量投影的关系,理解掌握数量积的性质和运算律,并能运用 性质和运算律进行相关的判断和运算; 3.体会类比的数学思想和方法,进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。 二、自学导引 问题 1 功是一个标量,它由力和位移两个向量来确定,这给我们一种启示,能否把“功” 看成是这两个向量的一种运算的结果呢?

1、平面向量数量积的定义:已知两个______向量 a与b ,我们把______________叫 a与b 的
数量积。 (或________) 记作_________即 a ? b =___________________其中 ? 是 a与b 的夹角。 __________叫做向量 a在b 方向上的______。 我们规定:零向量与任意向量的数量积为____。

问题 2:向量的数量积是一个数量,那么它什么时候为正?什么时候为负? 2、平面向量数量积的性质:设 a与b 均为非零向量: ① a ? b ? ___________ ②当 a与b 同向时, a ? b =________ 当 a与b 反向时, a ? b =_______ _, 特别地, a ? a =______或 a = ___________。 ③ a ? b ? ___________ ④ cos ? = _______ _ ____ ________。

⑤. a ? b 的几何意义:_____________

问题 3: 运算律和运算紧密相连, 引进向量数量积后, 自然要看一看它满足怎么样的运算律, 同学们能推导向量数量积的下列运算律吗? 3、向量的数量积满足下列运算律:已知向量 a , b , c 与实数 ? 。 ① a ? b =___________;

? ? ③ ? a+b ? ? c =___________。
② ? a ? b =___________; 问题 4:我们知道,对任意 a , b ? R ,恒有 ? a ? b? ? a2 ? 2ab ? b2 , ? a ? b ?? a ? b ? ? a 2 ? b2
2

对任意向量 a, b ,是否也有下面类似的结论? ⑴ a?b

?

⑵ a ?b ? a ?b ? 三、典例精析

? ?? ?

?

2

?

; .

? 例 1、已知 a ? 6 , b ? 8 ,且 a 与 b 的夹角 ? ? 120 ,求 a ? b .

变式 1:若 a ? 6 , b ? 8 ,且 a // b ,则 a ? b 是多少?

变式 2:若 a ? 6 , b ? 8 ,且 a ? b ,则 a ? b 是多少?

变式 3:若 a ? 6 , b ? 8 ,且 a 与 b 的夹角 ? ? 60? ,求 a ? 2b ? a ? 3b 。

?

??

?

变式 4:若 a ? 6 , b ? 4 ,且 a ? 2b ? a ? 3b ? ?72 ,求 a 与 b 的夹角。

?

??

?

例 2、在平行四边形 ABCD 中, AB ? 4 , BC ? 2 , ?BAD ? 120 ,求 AB ? AD .

变式:判断下列命题的真假,并说明理由. (1) ?ABC 中,若 AB ? BC ? 0 ,则 ?ABC 是锐角三角形; (2) ?ABC 中,若 AB ? BC ? 0 ,则 ?ABC 是钝角三角形; (3) ?ABC 为直角三角形,则 AB ? BC ? 0 .

例 3 已知 a ? 3, b ? 4 ,且 a 与 b 不共线, k 为何值时,向量 a ? kb 与 a ? kb 互相垂直?

四、自主反馈 1. 已知 a ? 6, a 与 b 的夹角为 60 ,且 a ? 2b ? a ? 3b ? ?72 ,则 b 为(

?

??

?



A. 16

B. 6

C.

9 2

D. 4

2.已知 a ? 1, b ? 2 ,且 a ? b 与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角为( A. 60 B. 30 C. 135 D. 45 ).

?

?



3. 若 a·b<0,则 a 与 b 的夹角 θ 的取值范围是(

? π? A.?0, ? 2? ?

B.?

?π ,π ? ? ?2 ?

?π ? C.? ,π ? ?2 ?
).

?π ? D.? ,π ? ?2 ?

4 已知|a|=|b|=2,a·b=2,则|a-b|=( A.1 B. 3 C.2

D. 3或 2 , a?b = .

5. 已知 a ? 2, b ? 5, a ? b ? ?3 ,则 a ? b =

6.已知|a|=4,a 与 b 的夹角为 30 °,则 a 在 b 方向上的投影为________. 7.已知 a ? 2 , b ? 3 , a 与 b 的夹角为 60 ,求: (1) a ? b ; (2) a ? b ; (3) 2a ? b ? a ? 3b ; (4) a ? b .
2 2

?

??

?

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 一、学习目标 1.在坐标形式下,掌握平面向量数量积的运算公式及其变式(夹角公式) ; 2.掌握向量垂直的坐标表示的充要条件,以及平面内两点间的距离公式; 3.能用所学知识解决有关综合问题。 二、自学导引 问题 1 已知两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,怎样用 a 与 b 的坐标表示 a ? b 呢? 1. 平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量 a= ? x1 ,y1 ? ,b= ? x 2 ,y2 ? ,a ? b= 这就是说: (文字语言)两个向量的数量积等于 (坐标形式) 。 。

问题 2 如何求向量 a ? ? x, y ? 的模 a 和两点 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 间的距离? 2.平面内两点间的距离公式 (1)设 a=(x,y), 则 a = ________________或 a ________________。 (2) 若 A? x1 , y1 ? ,B ? x2 , y2 ? , 则 AB =___________________ (平面内两点间的距离公式) 。
2

问题 3 如何求 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? 的夹角 ? 和判断两个向量垂直? 3.两向量夹角的余弦:设 ? 是 a 与 b 的夹角,则 cos ? =_________=_______________ 向量垂直的判定:设 a= ? x1 ,y1 ? ,b= ? x 2 , y2 ? , 则 a ? b ? _________________ 三、典例精析 例 1 已知 A?1,2? , B ? 2,3? , C ? ?2,5? ,试判断 ?ABC 的形状,

并给出证明.

变式:已知四点 A? ?1,3? , B ?1,1? , C ? 4,4 ? , D ? 3,5? 求证:四边形 ABCD 是直角梯形.

例 2 已知 a=(1, 3 ) ,b=( 3 +1, 3 -1) ,则 a 与 b 的夹角是多少?

变式:已知 a=(3,0),b=(k,5)且a与b 的夹角为 ? ,则k= ______________.

3 4

例 3 在 ABC 中, AB =(2, 3), AC =(1, k ),且 ABC 的一个内角为直角,求 k 值.

, 变式:已知, a ? (1,2),b ? (?3,2) 当 k 为何值时,

a ? 3b 垂直? (1) ka ? b与 a ? 3b 平行吗?平行时它们是同向还是反向? (2) ka ? b与

四、自主反馈

1.已知 a=(1,-1),b=(2,3),则 a· b=( A.5 B.4 C.-2

). D.-1 ). D.2 ). π D.2

2.已知向量 a=(-2,1),b=(1,x),a⊥b,则 x=( A.-1 B.1 C.-2

3.已知 a=(3,-1),b=(1,-2),则 a 与 b 的夹角为( π A.6 π B.4 π C.3

→ 4.已知 A(-3,2),B(0,-2),则|AB|=________. → → 5.在△ABC 中,∠C=90° ,AB=(k,1),AC=(2,3),则 k 的值为________. 6.已知 a=(1,-1),b=(λ,1),若 a 与 b 的夹角 α 为钝角,求 λ 的取值范围.

7.已知向量 a=(4,3),b=(-1,2). (1)求 a 与 b 的夹角 θ 的余弦值; (2)若向量 a-λb 与 2a+b 垂直,求 λ 的值.


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