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2013-2014学年度高二第二次段考数学试题(理科)


2013-2014 学年第一学期高二第二次段考试题 数 学(理科)
(2013 年 12 月)

考试时间:120 分钟,满分 150 分

? y ? 参考公式:线性回归方程 ? ? bx ? a 中系数计算公式

? b?

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

2

?x
i ?1

? ? , a ? y ? bx ,其中 x , y 表示样本均值.

2 i

? nx

2

一、选择题: 本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 1. 已知集合 A ? {( x, y) | x, y 为实数, x 2 ? y 2 ? 1} ,B ? {( x, y) | x, y 为实数, y ? x} , 且 且 则 A ? B 的元素个数为( A.0 B.1 ) C.2 D.3

2. 为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调 查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的 视力情况有较大差异,而男 女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( A. 简单随机抽样 B. 按性别分层抽样 ) C. 两条射线 D. 半个圆 C. 按学段分层抽样 )

D. 系统抽样

3. 方程 x ? 1 ? y 2 表示的曲线是( A.一条射线 4. 下列说法中错误的是(

B. 一个圆 )

A.如果命题“ ?p ”与命题“ p ? q ”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题 B.命题“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的否命题是“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ” C.若命题 p : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 D.“ a ? 2 ”是“直线 ax ? 2 y ? 0 平行于直线 x ? y ? 1 ”的充分不必要条件 5. 与直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直的直线倾斜角为( A. )

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6


6. 圆 O1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 和圆 O2 : x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的位置关系是(
高二数学(理科)试题 第 1 页 (共 10 页)

A. 相交

B. 外切

C. 内切

D. 相离 频率 组距
0.035 0.030 _

7.统计某校 1000 名学生的数学水平测试成绩, 得 到样本频率分布直方图如图所示,若满分为 100 分,规定不低于 60 分为及格,则及格率 是( ) B.25% D.80%

A.20% C.6%
2 2

0.025 0.020 0.015 0.010 0.005

8. P 为椭圆
2

x y ? ? 1 上一点, M、N 分别是 25 16
2

圆 ? x ? 3? ? y 2 ? 4 和 ? x ? 3? ? y 2 ? 1 上的点,则

40 50 60 70

80

90 100

分 数

PM ? PN 的取值范围是(
A. ?10,13?

) C. ? 7,15? D. ? 7,13?

B. ?10,15?

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9. 直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 与直线 l2 : 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 的距离是_________. 10. 已知椭圆的焦点是 F1 0, ? 3 , F2 0, 3 ,点 P 在椭圆上 且满足 PF1 ? PF2 ? 4 ,则椭圆的标准方程是 11. 方程 x 2 ? y 2 ? ax ? 2ay ? 2a 2 ? a ? 1 ? 0 表示圆, 则 a 的取值范围是__________. 12. 某算法的程序框如图 2 所示,若输出结果为 则输入的实数 x 的值是________. 13. 若点 P ? x, y ? 在直线 l : x ? 2 y ? 3 ? 0 上运动, 则 x ? y 的最小值为_________.
2 2

?

? ?

?

开始 输入 x

.

x ? 1?




1 , 2

y ? x ?1
输出 y

y ? log 2 x

y
结束 图2

14. 已知 f ( x) ? ? x 2 ? ax ? b , 、 ? ? 0, 4? , 、 ? R , f ?1? ? 0 的概率为_________. 则 a b a b 三、 解答题: 本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分 14 分)
高二数学(理科)试题 第 2 页 (共 10 页)

已知点 M ? 3,1? ,直线 ax ? y ? 4 ? 0 及圆 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 4 .
2 2

(1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax ? y ? 4 ? 0 与圆 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 4 相切,求 a 的值;
2 2

(3)若直线 ax ? y ? 4 ? 0 与圆 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 A, B 两点,且弦 AB 的长
2 2

为 2 3 ,求 a 的值.

16.(本小题满分 12 分) 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的 生产能耗 y (吨标准煤)的几组对照数据

x
y

3 2.5

4
3

5

6
4.5

4

(1)请画出上表数据的散点图;

? ? (2)请根据上表提供的数据, 用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ;
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性 回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值: 3? 2.5 ? 4 ? 3 ? 5 ? 4 ? 6 ? 4.5 ? 66.5 )

17.(本小题满分 14 分) 已知直线 l1 : x ? 2 y ? 1 ? 0 ,直线 l 2 : ax ? by ? 1 ? 0 ,其中 a , b ? ?1, 2,3, 4,5, 6? . (1)求直线 l1 ? l2 ? ? 的概率; (2)求直线 l1 与 l 2 的交点位于第一象限的概率.

18.(本小题满分 12 分)

高二数学(理科)试题

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在平面直角坐标系 xOy 中, O 为坐标原点,动点 P 与两个定点 M ?1, 0 ? , N ? 4, 0 ? 的 距离之比为

1 . 2

(1)求动点 P 的轨迹 W 的方程; (2)若直线 l : y ? kx ? 3 与曲线 W 交于 A, B 两点,在曲线 W 上是否存在一点 Q ,使 得 OQ ? OA ? OB .若存在,求出此时直线 l 的斜率;若不存在,说明理由.

????

??? ??? ? ?

19.(本小题满分 14 分) 已知圆 M 的方程为 x 2 ? ? y ? 2 ? ? 1( M 为圆心) ,直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 0 ,点 P
2

在直线 l 上,过 P 点作圆 M 的切线 PA, PB ,切点为 A, B . (1)若 ?APB ? 60? ,试求点 P 的坐标; (2)若点 P 的坐标为 ? 2,1? ,过 P 点作直线与圆 M 交于 C , D 两点,当 CD ? 2 时, 求直线 CD 的方程; (3)求证:经过 A, P, M 三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.

20.( 本 小 题 满 分 14 分 )
2 已 知 圆 C 过 点 P ?1,1? , 且 与 圆 M : ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? r ? r ? 0 ? 关 于 直 线 2 2

x? y ?2 ? 0对称.
(1)求 圆 C 的 方 程 ; (2)设 Q 为 圆 C 上 的 一 个 动 点 , 求 PQ ? MQ 的 最 小 值 ( M 为圆 M 的圆心) ; (3)过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A, B ,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜 角互补, O 为坐标原点,试判断直线 OP 和直线 AB 是否平行?请说明理由.

??? ???? ? ?

高二数学(理科)试题

第 4 页 (共 10 页)

参考答案及评分标准
一、选择题:共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题 号 答 案 C C D D B A D D 1 2 3 4 5 6 7 8

二、填空题:共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.

2 4

10. x 2 ? 13.

y2 ?1 4

11. ?2 ? a ? 14.

2 3

12. 2

9 5

9 32

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 解: (1)圆心 C ?1, 2 ? ,半径 r ? 2 ,当直线的斜率不存在时,方程为 x ? 3 . 分 由圆心 C ?1, 2 ? 到直线 x ? 3 的距离 d ? 3 ?1 ? 2 ? r 知,此时直线与圆相切. 3分 当直线的斜率存在时,设方程为 y ? 1 ? k ? x ? 3? ,即 kx ? y ? 1 ? 3k ? 0 . 4分 由题意知 ???? ???? ???? 2

k ? 2 ? 1 ? 3k k 2 ?1

? 2 ,解得 k ?

3 . 4

???? 6 分

所以方程为 y ? 1 ?

3 ? x ? 3? ,即 3x ? 4 y ? 5 ? 0 . 4
???? 7 分
第 5 页 (共 10 页)

故切线方程为 x ? 3 ? 0 或 3x ? 4 y ? 5 ? 0 .
高二数学(理科)试题

(2)由题意,有

a?2?4 a ?1
2

? 2 ,解得 a ? 0 或 a ?

4 . 3


???? 10 分

(3)因为圆心到直线 ax ? y ? 4 ? 0 的距离为
2 2

a?2 a2 ? 1

???? 11 分

? a?2 ? ?2 3? 3 所以 ? ,解得 a ? ? . ? ?? ? 2 ? ?4 ? 2 4 ? a ?1 ? ? ?

???? 14 分

16. (本小题满分 12 分) 解: (1)略 ( 2 ???????? 4 分 ) 由 系 数 公 式 可 知 ,

? 66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 ? 66.5 ? 63 ? 0.7 ???????? 8 分 x ? 4.5, y ? 3.5, b ? 5 86 ? 4 ? 4.52

9 ? a ? 3.5 ? 0.7 ? ? 0.35 , ???????? 9 分 2

所以线性回归方程为 y ? 0.7 x ? 0.35 ; ???????? 10 分 (3)当 x ? 100 时,则 y ? 0.7 x ? 0.35 ? 70.35 , ???????? 11 分 所以预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低 19.65 吨标准煤. ????? 12 分

17. (本小题满分 14 分) 解: (1)解:直线 l1 的斜率 k1 ?

1 a ,直线 l 2 的斜率 k2 ? . ???????? 1 分 2 b

设事件 A 为“直线 l1 ? l2 ? ? ” ???????? 2 分 .

a , b ? ?1, 2,3, 4,5, 6? 的总事件数为 ?1,1? , ?1, 2 ? ,?, ?1, 6 ? , ? 2,1? , ? 2, 2 ? ,?,

? 2, 6 ? ,?, ? 5, 6 ? , ? 6, 6 ? 共 36 种.

???????? 4 分

若 l1 ? l2 ? ? ,则 l1 ? l2 ,即 k1 ? k2 ,即 b ? 2a . ???????? 5 分
高二数学(理科)试题 第 6 页 (共 10 页)

满足条件的实数对 ? a, b ? 有 ?1, 2 ? 、? 2, 4 ? 、? 3, 6 ? 共三种情形. ???????? 6 分 所以 P ? A? ?

3 1 1 ? .答:直线 l1 ? l2 ? ? 的概率为 . ???????? 7 分 36 12 12

(2)解:设事件 B 为“直线 l1 与 l 2 的交点位于第一象限” , 由于直线 l1 与 l 2 有交点,则 b ? 2a . ???????? 8 分

b?2 ? ? x ? b ? 2a , ?ax ? by ? 1 ? 0, ? 联立方程组 ? 解得 ? ? x ? 2 y ? 1 ? 0. ? y ? a ?1 . ? b ? 2a ?
因为直线 l1 与 l 2 的交点位于第一象限,则 ?

???????? 10 分

? x ? 0, ? y ? 0.

b?2 ? ? x ? b ? 2a ? 0, ? 即? 解得 b ? 2a . ???????? 12 分 ? y ? a ? 1 ? 0. ? b ? 2a ?
a, b ? ?1, 2,3, 4,5, 6? 的总事件数为 ?1,1? , ?1, 2 ? ,?, ?1, 6 ? , ? 2,1? , ? 2, 2 ? ,?,

? 2, 6 ? ,?,? 5, 6 ? ,? 6, 6 ? 共 36 种.满足条件的实数对 ? a, b ? 有 ?1, 3? 、?1, 4 ? 、?1, 5 ? 、 ?1, 6 ? 、 ? 2,5 ? 、 ? 2, 6 ? 共六种.
所 以 P ? B? ?

6 1 ? . 答 : 直 线 l1 与 l 2 的 交 点 位 于 第 一 象 限 的 概 率 为 36 6

1 .??????? 14 分 6
18. (本小题满分 12 分) 解: (1)设点 P 的坐标为 P ? x, y ? ,由题意知

PM PN

?

1 , 2

???????? 1 分

即2

? x ?1?

2

? y2 ?

? x ? 4?

2

? y 2 ,即 W : x 2 ? y 2 ? 4 .

???????? 5 分

高二数学(理科)试题

第 7 页 (共 10 页)

(2)因为直线 l : y ? kx ? 3 与曲线 W 相交于 A, B 两点, 所 以 圆 心 O 到 直 线 l 的 距 离 d? ①. ???????? 7 分 假设曲线 W 上存在点 Q ,使得 OQ ? OA ? OB, OQ ? 2 . ???????? 8 分 因为 A, B 在圆上,所以 OA ? OB ,且 OQ ? OA ? OB , 由向量加法的平行四边形法则可知四边形 OAQB 为菱形, ???????? 9 分 所 以 OQ 与 AB 互 相 垂 直 且 平 分 . 故 圆 心 O 到 直 线 l 的 距 离

3 1? k
2

?2 , 即 k ?

5 5 或 k?? 式 2 2

????

??? ??? ???? ? ?

??? ?

??? ?

????

??? ??? ? ?

d?


1 ???? OQ ? 1. ???????? 10 分 2
3 1? k 2 ? 1 ,解得 k ? ?2 2 ,符合式①. ???????? 11 分
???? ??? ??? ? ?

所以存在点 Q ,使得 OQ ? OA ? OB .???????? 12 分 (注:此题学生应有其他解法,老师商量酌情给分)

19. (本小题满分 14 分)
? 解 : 依题意, (1) 设点 P 的坐标为 ? 2 x0 , x0 ? , ?APB ? 60 , PM ? 2 , 由 得 ???????

2分 因此 MP ? ? 2 x0 ? ? ? x0 ? 2 ? ? 4 ,解得 x0 ? 0 或 x0 ?
2 2 2

4 ,???????? 4 分 5

因此点 P 的坐标为 ? 0, 0 ? 或 ? , ? .???????? 5 分 (2)由已知直线 CD 的斜率存在,设其斜率为 k ,则过点 P ? 2,1? 的直线方程为

?8 4? ?5 5?

y ? 1 ? k ? x ? 2 ? ,即 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0 ,由 CD ? 2 ,得圆心 M 到直线 CD 的距离为

高二数学(理科)试题

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?2 ? 2 k ? 1 2 ?1 2 ? ,所以 ,解得 k ? 或 k ? ?1 . 2 2 7 k 2 ?1
故直线 CD 的方程是 x ? 7 y ? 9 ? 0 或 x ? y ? 3 ? 0 .

???????? 8 分

???????? 9 分

(3)设点 P ? 2 x0 , x0 ? ,由 MA ? AP 可得 MP 为经过 A, P, M 三点的圆的直径,则过

A, P, M


2 2


2


2











? x ? x0 ?

x ? 2 ? ? 2 x0 ? ? ? x0 ? 2 ? ? ?? y? 0 , ???????? 11 分 ? ? 2 ? 4 ?
???????? 12 分

整理得 x 2 ? y 2 ? ? 2 ? 2 x ? y ? x0 ? 2 y ? 0 , 若经过 A, P, M 三点的圆过定点,则 ?

? 2 ? 2x ? y ? 0 , 2 2 ?x ? y ? 2 y ? 0

4 ? ?x ? 5 ?x ? 0 ? ?4 2? 解得 ? 或? .因此定点坐标为 ? 0, 2 ? 或 ? , ? . ???????? 14 分 ?5 5? ?y ? 2 ?y ? 2 ? 5 ?

20. (本小题满分 14 分)

?a ? 2 b ? 2 ? 2 ? 2 ?2?0 ?a ? 0 ? 解: (1)设圆心 C ? a, b ? ,则 ? ,解得 ? . ???????? 3 b?2 ?b ? 0 ? ?1 ? a?2 ?

2 2 2 则可设圆 C 的方程为 x ? y ? r ,将点 P 的坐标代入得 r 2 ? 2 , 2 2 故圆 C 的方程为 x ? y ? 2 .

???????? 4 分

2 2 (2)设 Q ? x, y ? ,则 x ? y ? 2



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??? ???? ? ? PQ ? MQ ? ? x ? 1, y ? 1? ? ? x ? 2, y ? 2 ? ? x 2 ? y 2 ? x ? y ? 4 ? x ? y ? 2 , ???????
?5 分 设?

? x ? 2 cos ? ? ? y ? 2 sin ? ?
??? ???? ? ?

, ? 为参数, ? ? ? 0, 2? ? ) ???????? 6 分 ( ,

则 PQ ? MQ ? 2 cos ? ? 2 sin ? ? 2 ? 2sin ? ? ?

? ?

??

? ? 2 , ???????? 8 分 4?
???????? 9 分

当 sin ? ? ?

? ?

??

??? ???? ? ? 5? 时, PQ ? MQ 的最小值为 ?4 . ? ?1,? ? ? 4? 4

(3)由题意知,直线 PA 和直线 PB 的斜率存在,且互为相反数, 故可设 PA : y ? 1 ? k ? x ? 1? , PB : y ? 1 ? ?k ? x ? 1? , 由? 分 因为点 P 的横坐标 x ? 1 一定是该方程的根, 故可得 xA ? ???????? 10 分
2

? y ? 1 ? k ? x ? 1? ? x ?y ?2
2 2

2 2 , 1 ? k x ? 2k ?1 ? k ? x ? ?1 ? k ? ? 2 ? 0 . 得

?

?

???????? 12

k 2 ? 2k ? 1 k 2 ? 2k ? 1 ,同理 xB ? .???????? 13 分 1? k 2 1? k 2

则 k AB ?

yB ? y A ?k ? xB ? 1? ? k ? x A ? 1? 2k ? k ? xB ? x A ? ? ? ? 1 ? kOP , xB ? x A xB ? x A xB ? x A

所以直线 AB 和 OP 一定平行. ???????? 14 分

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