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黑龙江省哈六中2013-2014学年高二下学期期末考试数学(理)试题


哈六中 2013-2014 学年高二下学期期末考试 数学(文)试题

考试时间:120 分钟 一、选择题: (每题 5 分共 60 分)
2

满分:150 分

1.设全集为 R ,集合 A ? {x | x ? 9 ? 0}, B ? {x | ?1 ? x ? 5} ,则 A

(CR B ) ? (

)

A.(?3, 0)

B.(?3, ?1]

C.(?3, ?1)

D.(?3,3)
)

2. 若“ 0 ? x ? 1 ”是“ ? x ? a ? ? 则实数 a 的取值范围是( ? x ? ? a ? 2 ?? ? ? 0 ”的充分不必要条件,

A. ? ??, 0?

?1, ?? ?

B.

? ?1, 0 ?

C. ? ?1, 0?

D.

? ??, ?1?? 0, ?? ?
)

3.执行如右下图所示的程序框图,若输出 i 的值为 2 ,则输入 x 的最大值是(

A. 5

B. 6

C. 11

D. 22

4.若直线的参数方程为 ?

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为( ) ? y ? 2 ? 4t

A.

1 2

B. ?

1 2

C. 2

D. ?2

5.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球 3 次,一旦发球成功,则停止发球, 否则一直发到 3 次为止.设某学生一次发球成功的概率为 p ? p ? 0 ? ,发球次数为 X ,若 X 的数学 期望 E ? X ? ? 1.75 ,则 p 的取值范围是( )

·1 ·

? 7? A. ? 0, ? ? 12 ?

? 1? B. ? 0, ? ? 2?

?7 ? C. ? ,1? ? 12 ?

?1 ? D. ? ,1? ?2 ?

6.已知函数 f ( x) ? x ? ln x ? ax ? 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是( )

A. ? ??, 0 ?

B. ? 0,1?
2

? 1? C. ? 0, ? ? 2?

D.

? 0, ?? ?

7.如右图,设抛物线 y ? ? x ? 1 的顶点为 A ,与 x 轴正半轴的交点为 B ,设抛物线与两坐标轴正 半轴围成的区域为 M ,随机往 M 内投一点 P , 则 点 P 落 在 ?AOB 内 的 概 率 是 ( )

A.

5 6

B.
3

4 5
2

C.

3 4

D.

2 3

8.已知函数 f ( x) ? ax ? 3 x ? 1 ,若 f ( x) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,则 a 的取值范围是

A. ? 2, ?? ?

B. ?1, ?? ?

C. ? ??, ?2 ?

D. ? ??, ?1?

9. 在极坐标系中,直线 ? cos ? ? 小为 ( )

1 与曲线 ? ? 2 cos ? 相交于 A, B 两点, O 为极点,则 ?AOB 的大 2

?? ? ? C. D. 6 2 3 10.哈六中 15 届高二有 840 名学生, 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按

A.

?? 3

B.

1, 2,

,840 随机编号, 则抽取的 42 人中,编号落入区间 ? 481, 720? 的人数为(



A. 11
A.

B. 12


C. 13
1

D. 14
2

11.下列值等于 1 的定积分是(

?

1

0

xdx

B.

? (x ? 1)dx
0

C. ?

0

1 dx 2

11 D. ? dx 0 2

12.设 D 是函数 y ? f ( x) 定义域内的一个子区间,若存在 x0 ? D ,使 f ( x0 ) ? ? x0 ,则称 x0 是 f ( x) 的一个“开心点” ,也称 f ( x) 在区间 D 上存在开心点 . 若函数 f ( x) ? ax 2 ? 2 x ? 2a ?

3 在区间 2

·2 ·

3? ? ?3, ? ? 上存在开心点,则实数 a 的取值范围是( ? 2? ?



A. (??, 0)

? 1 ? B. ? ? , 0 ? ? 4 ?

? 3 ? C. ? ? , 0 ? ? 14 ?

1? ? 3 D. ? ? , ? ? ? 14 4 ?

二、填空题(每题 5 分共 20 分) 13. 已知集合 M ? { y | y ? x 2 } , N ? { y | x 2 ? y 2 ? 2} ,则 M ? N 14. 函数 f ( x) ? x ? 2 ln x 的单调递减区间是 15.下列四个命题中,真命题的序号有 。 .(写出所有真命题的序号) 。

①若 a, b, c ? R ,则“ ac 2 ? bc 2 ”是“ a ? b ”成立的充分不必要条件; ②命题 “ ?x ? R 使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是 “ ?x ? R 均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ” ; ③命题“若 | x |? 2 ,则 x ? 2 或 x ? 2 ”的否命题是“若 | x |? 2 ,则 ?2 ? x ? 2 ” ; ④函数 f ( x) ? ln x ? x ?

3 在区间 (1, 2) 上有且仅有一个零点. 2

16.已知函数 f ( x) ? x ln x ,当 x2 ? x1 ? 0 时,给出下列几个结论: ① ( x1 ? x2 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ;② f ( x1 ) ? x2 ? f ( x2 ) ? x1 ;③ x2 ? f ( x1 ) ? x1 ? f ( x2 ) ; ④当 ln x1 ? ?1 时, x1 ? f ( x1 ) ? x2 ? f ( x2 ) ? 2 x2 f ( x1 ) . 其中正确的是 三、解答题
2 17.设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax ? 2 x ? 2a ,若 f ( x) ? 0 的解集为 A , B ? {x 1 ? x ? 2},

(将所有你认为正确的序号填在横线上) .

A

B ? ?, 求实数 a 的取值范围(10 分)

·3 ·

18.某高中的校长推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试,在本次考核中只有合格和 优秀两个等级.若考核为合格,授予 10 分降分资格;考核为优秀, 授予 20 分降分资格.假设甲、 乙、丙考核为优秀的概率分别为

2 2 1 、 、 ,他们考核所得的等级相互独立. (12 分) 3 3 2

(1)求在这次考核中,甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率; (2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学 期望.

19 . 在 直 角 坐 标 系 中 , 以 原 点 为 极 点 , x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 已 知 曲 线

? ? x ? ?2 ? 2 ? C : ? sin ? ? 2a cos? (a ? 0) ,已知过点 P(?2, ?4) 的直线 l 的参数方程为: ? ? y ? ?4 ? ? ?
数),直线 l 与曲线 C 分别交于 M , N 两点. (1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (2)若 PM , MN , PN 成等比数列,求 a 的值.

2 t 2 ( t 为参 2 t 2

·4 ·

20.已知函数 f ( x) ?

x a 3 ? ? ln x ? ,其中 a ? R ,且曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于 4 x 2

y?

1 x .(12 分) 2

(1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间与极值.

21.某中学一名数学老师对全班 50 名学生某次考试成绩分男女生进行了统计(满分 150 分), 其中 120 分(含 120 分)以上为优秀,绘制了如下的两个频率分布直方图: (12 分)

男生 (1)根据以上两个直方图完成下面的 2 × 2 列联表: 成绩性别 男生 女生 总计 优秀 不优秀 总计

女生

(2)根据(1)中表格的数据计算,你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系?
·5 ·

(注:

k0
P ? K 2 ? k0 ?
2

2.072
0.15

2.706
0.10
2

3.841
0.05

5.024
0.025

6.635
0.010

7.879
0.005

10.828
0.001

n ? ad ? bc ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) K ? ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
(3)若从成绩在 ?130,140? 的学生中任取 2 人,求取到的 2 人中至少有 1 名女生的概率.

22.已知函数 f ( x) ?

1 2 (12 分) x ? a ln x, g ( x) ? (a ? 1) x(a ? ?1), H ( x) ? f ( x) ? g ( x) 。 2

(1)若 f ( x) 的单调减区间是 ? 0,1? ,求实数 a 的值; (2)若函数 f ( x), g ( x) 在区间 ?1, 2? 上都为单调函数且它们的单调性相同,求实数 a 的取值范围; (3) ? , ? 是函数 H ( x) 的两个极值点 , ? ? ? , ? ? ?1, e ? 。求证:对任意的 x1 , x2 ? ?? , ? ? ,不等式

H ( x1 ) ? H ( x2 ) ? 1 恒成立.

·6 ·

高二(理科)数学答案
一、选择题: (每题 5 分共 60 分)

综上 ?2 ? a ? 2 --------------------------------------------------------------2 分 18. (1)记“甲考核为优秀”为事件 A,“乙考核为优秀”为事件 B,“丙考核为优秀”为事件 C,“甲、乙、丙至少 有一名考核为优秀”为事件 E.

A B C 与事件 E 是对立事件,于是 2 2 1 17 P(E)=1-P( A B C )=1-(1- )(1- )(1- )= .----------------------4 分 3 3 2 18
则事件 A、B、C 是相互独立事件,事件 (2)ξ 的所有可能取值为 30,40,50,60. P(ξ =30)=P( P(ξ P(ξ P(ξ

2 2 1 1 )(1- )(1- )= , 3 3 2 18 5 =40)=P(A B C )+P( A B C )+P( A B C)= , 18 8 =50)=P(AB C )+P(A B C)+P( A BC)= , 18 4 =60)=P(ABC)= . 18
A B C )=(1-
50 60

所以 ξ 的分布列为 ξ 30 40 P 1 5

18
∴E(ξ )=30×

18

8 18

4 18
----------------------8 分

1 5 8 4 145 +40× +50× +60× = . 18 18 18 18 3

20. (1)对

f ? x ? 求导得 f ? ? x ? ?

1 a 1 1 ? 2 ? ,由 f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处切线垂直于直线 y ? x 4 x x 2
·7 ·

知 f ? ? x ? ? ? 3 ? a ? ?2, 解得 a ? 5 ;-------------------------------------------4 分 4 4 (2)由(1)知 令

1 5 1 x2 ? 4 x ? 5 x 5 3 , ? ? ln x ? ,则 f ? ? x ? ? ? 2 ? ? 4 4x x 4x2 4 4x 2 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? 5 .因 x ? ?1 不在 f ? x ? 的定义域 ? 0, ?? ? 内,故舍去.
f ( x) ?

? 0,5? 时, f ? ? x ? ? 0, 故 f ? x ? 在 ? 0,5? 内为减函数;----------------------------2 分 当 x ? ? 5, ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0, 故 f ? x ? 在 ? 5, ?? ? 内为增函数;-------------------------2 分 由此知函数 f ? x ? 在 x ? 5 时取得极小值 f ? 5 ? ? ? ln 5 .--------------------------------4 分
当 x? 21. (1) 成绩性别 男生 女生 总计 优秀 13 7 20 不优秀 10 20 30 总计 23 27 50 ------------------------------4 分 (2)由(1)中表格的数据知,
2

50 ? ?13 ? 20 ? 7 ?10 ? K= 20 ? 30 ? 27 ? 23
2

2

≈4.844.

∵K ≈4.844≥3.841,∴有 95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系.----------4 分 (3)所求事件的概率 P=

3 .--------------------------------------------------------4 分 5

·8 ·


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