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3.3《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》教案(新人教必修5).


课题: §3.3.1 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 第一课时 授课类型:高考第一轮总复习,(准备 2-3 个课时完成此节内容) 【教学目标】 1.知识与技能:巩固并掌握二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域;能根 据已知的约束条件作出可行域,并能求出目标函数的最优解。 2.过程与方法:让学生亲手作二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域,用 “斜率”求最优解;体会集合、化归、数形结合的数学思想; 3.情态与价值:结合教学内容,培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识,激励学生 动手创新。 【教学重点】 理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式(组)所表示的平面区域画出来;并求出目 标函数的最优解。 【教学难点】 作不等式(组)所表示的平面区域;并求出目标函数的最优解。 【教学过程】 一、.课题导入 [复习引入] 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成 的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线,实线表示包括边界直线,这个由不等式的符 号确定。“≤,≥”画出的区域应包括边界,“<,>”画出的区域应不包括边界.) 判断方法一:由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C>0 表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当 C≠0 时,常把原点作为此特殊点)。为了方便,一般直线没有过原点,通常情况下我们都 带原点去判断。如果是过原点的,则我们可以带坐标轴上的点,一般带(1,0) 或(0,1)。 判断方法二:在熟悉下的情况下可简记为“同上异下”,就是“B 值判断法”看 直线方程中 Y 的系数 B,与不等号,是否相同。 随堂练习 1 由老师操作。 1、画出不等式 2 x +y-6<0 表示的平面区域.

2、画出不等式组

?x ? y ? 5 ? 0 ? ?x ? y ? 0 ?x ? 3 ?

y x+y=0 5 5 B(- , ) 2 2 6 x=3 0 3 C(3,-3) x A(3,8)

表示的平面区域。

x-y+5=0

2.讲授新课 【应用举例】 例 3 某人准备投资 1 200 万兴办一所完全中学,对教育市场进行调查后,他得到了下面的 数据表格(以班级为单位): 学段 初中 高中 班级学生人数 45 40 配备教师数 2 3 硬件建设/万元 26/班 54/班 教师年薪/万元 2/人 2/人

分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。
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解:设开设初中班 x 个,开设高中班 y 个,根据题意,总共招生班数应限制在 20-30 之间, 所以有 20 ? x ? y ? 30 考虑到所投资金的限制,得到 26 x ? 54 y ? 2 ? 2 x ? 2 ? 3 y ? 1200 即

x ? 2 y ? 40

另外,开设的班数不能为负,则 x ? 0, y ? 0 把上面的四个不等式合在一起,得到:

?20 ? x ? y ? 30 ? x ? 2 y ? 40 ? ? x?0 ? ? y?0 ?
用图形表示这个限制条件,得到如图的平面区域(阴影部分) 例 4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 18t; 生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1t,硝酸盐 15t,现库存磷酸盐 10t、硝酸盐 66t, 在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域。 解:设 x,y 分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数,于是满足以下条件:

? 4 x ? y ? 10 ?18 x ? 15 y ? 66 ? ? x?0 ? ? y?0 ?
在直角坐标系中可表示成如图的平面区域(阴影部分)。 [补充例题] 例 1、画出下列不等式表示的区域

x ? y ? 2x (1) ( x ? y)( x ? y ? 1) ? 0 ; (2)
分析:(1)转化为等价的不等式组; (2)注意到不等式的传递性,由 x ? 2x ,得 x ? 0 ,又用

? y 代 y ,不等式仍成立,区域关于 x 轴对称。
?x ? y ? 0 ? 0 ? x ? y ?1 ? ?x ? y ? 1 ? 0 ?x ? y ? 0 ? ?x ? y ? 1

解:(1)



矛盾无解,故点 ( x, y ) 在一带形区域内

(含边界)。

?x ? y ? 0 ? x ? 2x ,得 x ? 0 ;当 y ? 0 时,有 ?2 x ? y ? 0 点 ( x, y ) 在一条形区域内(边界);当 (2) 由

y ? 0 ,由对称性得出。
指出:把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解
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?2 x ? y ? 3 ? 0 ? ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ?3 x ? 5 y ? 15 ? 0 例 2、利用区域求不等式组 ? 的整数解
分 析 : 不 等 式 组 的 实 数 解 集 为 三 条 直 线 l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0 , l 2 : 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,

l3 : 3x ? 5 y ? 15 ? 0 l 2 ? l3 ? C

l ? l3 ? B 所围成的三角形区域内部(不含边界)。设 l1 ? l 2 ? A , 1 ,

, 求得区域内点横坐标范围, 取出 x 的所有整数值, 再代回原不等式组转化为 y

的一元不等式组得出相应的 y 的整数值。

l : 3x ? 5 y ? 15 ? 0 l1 ? l 2 ? A 解 : 设 l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0 , l 2 : 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 , 3 , , l1 ? l3 ? B l 2 ? l3 ? C



15 3 75 12 A( , ) C ( ,? ) B(0,?3) , 19 19 。于是看出区域内点的 8 4 , ,∴

? ? y ? ?1 ? 4 ? ?y ? 3 ? 12 ? 75 (0, ) ?y ? ? 5 19 内,取 x =1,2,3,当 x =1 时,代入原不等式组有 ? 横坐标在 ?

?

12 ? y ? ?1 5 ,得 y =-2,∴区域内有整点(1,-2)。同理可求得另外三个整点(2,0),(2,-1),

(3,-1)。 指出: 求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点, 它为线性规划中求最优整数解 作铺垫。常有两种处理方法,一种是通过打出网络求整点;另一种是本题解答中所采用的, 先确定区域内点的横坐标的范围,确定 x 的所有整数值,再代回原不等式组,得出 y 的一元 一次不等式组,再确定 y 的所有整数值,即先固定 x ,再用 x 制约 y 。 3.随堂练习 2

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1.(1)

y ? x ?1

; (2).

x ? y

; (3).

x? y

2.画出不等式组

?x ? y ? 6 ? 0 ?x ? y ? 0 ? ? ?y ? 3 ?x ? 5 ?

表示的平面区域

3.课本第 97 页的练习 4 4.课时小结 进一步熟悉用不等式(组)的解集表示的平面区域。 5.评价设计 1、课本第 105 页习题 3.3[B]组的第 1、2 题 课题: §3.3.2 简单的线性规划 第 3 课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:使学生了解二元一次不等式表示平面区域;了解线性规划的意义以及约束 条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;了解线性规划问题的图解法,并能 应用它解决一些简单的实际问题; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模能力; 3.情态与价值:培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学 思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力。 【教学重点】 用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】 准确求得线性规划问题的最优解 【教学过程】 1.课题导入 [复习提问] 1、二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 在平面直角坐标系中表示什么图形? 2、怎样画二元一次不等式(组)所表示的平面区域?应注意哪些事项? 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。 2.讲授新课 在现实生产、生活中,经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题: 引例:某工厂有 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用 4 个 A 配件 耗时 1h,每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件耗时 2h,该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A
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配件和 12 个 B 配件,按每天 8h 计算,该厂所有可能的日生产安排是什么? (1)用不等式组表示问题中的限制条件: 设甲、乙两种产品分别生产 x、y 件,又已知条件可得二元一次不等式组:

?x ? 2 y ? 8 ? 4 x ? 16 ? ? ? 4 y ? 12 ? x?0 ? ? y?0 ?

……………………………………………………………….(1)

(2)画出不等式组所表示的平面区域: 如图,图中的阴影部分的整点(坐标为整数的点)就代表所有可能的日生产安排。 (3)提出新问题: 进一步,若生产一件甲产品获利 2 万元,生产一件乙产品获利 3 万元,采用哪种生产安排利 润最大? (4)尝试解答: 设生产甲产品 x 件,乙产品 y 件时,工厂获得的利润为 z,则 z=2x+3y.这样,上述问题就转化 为: 当 x,y 满足不等式(1)并且为非负整数时,z 的最大值是多少?

2 z 2 z y ? ? x? ? 3 3 ,这是斜率为 3 ,在 y 轴上的截距为 3 的直线。当 z 变 把 z=2x+3y 变形为
化时,可以得到一族互相平行的直线,如图,由于这些直线的斜率是确定的,因此只要给定

2 8 z y ?? x? 3 3 ),这说明,截距 3 可以 一个点,(例如(1,2)),就能确定一条直线( 2 z y ? ? x? 3 3 与不等式组(1)的区 由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到,直线 z 域的交点满足不等式组(1),而且当截距 3 最大时,z 取得最大值。因此,问题可以转 2 z y ? ? x? 3 3 与不等式组(1)确定的平面区域有公共点时,在区域内找一个点 化为当直线 z P,使直线经过点 P 时截距 3 最大。
(5)获得结果:

2 z y ? ? x? 3 3 金国直线 x=4 与直线 x+2y-8=0 的交点 M(4,2)时, 由上图可以看出, 当实现 z 14 截距 3 的值最大,最大值为 3 ,这时 2x+3y=14.所以,每天生产甲产品 4 件,乙产品 2 件

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时,工厂可获得最大利润 14 万元。 2、线性规划的有关概念: ①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量 x、y 的约束条件,这组约束条件都 是关于 x、y 的一次不等式,故又称线性约束条件. ②线性目标函数: 关于 x、y 的一次式 z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式,叫线性 目标函数. ③线性规划问题: 一般地, 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题, 统称为线性规划问题. ④可行解、可行域和最优解: 满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解. 由所有可行解组成的集合叫做可行域. 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 变换条件,加深理解 探究:课本第 100 页的探究活动 在上述问题中,如果生产一件甲产品获利 3 万元,每生产一件乙产品获利 2 万元,有应当如 何安排生产才能获得最大利润?在换几组数据试试。 有上述过程,你能得出最优解与可行域之间的关系吗?

3.随堂练习 1.请同学们结合课本 P103 练习 1 来掌握图解法解决简单的线性规划问题.

y

(1)求 z=2x+y 的最大值,使式中的 x、y 满足约束条件 解:不等式组表示的平面区域如图所示: 当 x=0,y=0 时,z=2x+y=0 点(0,0)在直线 作一组与直线

? y ? x, ? ? x ? y ? 1, ? y ? ?1. ?

3 2 1 O x-y=0 1 1 B( , ) 2 2 x 1 2 -2 -1 A(2,-1) C (-1,-1) -1 x+y-1=0 2x+y=0

l0

:2x+y=0 上.

l0

平行的直线
y

l :2x+y=t,t∈R.
可知,在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于 l 的直线中,以 经过点 A(2,-1)的直线所对应的 t 最大. 所以 zmax=2×2-1=3. (2)求 z=3x+5y 的最大值和最小值,使式中的 x、y 满足约束条件

?5 x ? 3 y ? 15, ? ? y ? x ? 1, ? x ? 5 y ? 3. ?
解:不等式组所表示的平面区域如图所示:
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x-y+1=0 9 17 3x+5y=0 ( , ) A 8 8 x-5y-3=0 1 C -1 O x 3 -1 B 5x+3y-15=0

5

从图示可知,直线 3x+5y=t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时,以经过点(-2,-1)

9 17 , 的直线所对应的 t 最小,以经过点( 8 8 )的直线所对应的 t 最大.
所以 zmin=3×(-2)+5×(-1)=-11.

9 17 zmax=3× 8 +5× 8 =14
4.课时小结 用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤: (1)寻找线性约束条件,线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3)在可行域内求目标函数的最优解 5.评价设计 课本第 105 页习题[A]组的第 2 题. 课题: §3.3.2 简单的线性规划 第 4 课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:掌握线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模能力; 3.情态与价值:引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理 论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点】 利用图解法求得线性规划问题的最优解; 【教学难点】 把实际问题转化成线性规划问题, 并给出解答, 解决难点的关键是根据实际问题中的已知条 件,找出约束条件和目标函数,利用图解法求得最优解。 【教学过程】 1.课题导入 [复习引入]: 1、二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点 组成的平面区域(虚线表示区域不包括边界直线) 2、目标函数, 线性目标函数,线性规划问题,可行解,可行域, 最优解: 2.讲授新课 线性规划在实际中的应用: 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用,一是在人力、物力、资金等资源一 定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务;二是给定一项任务,如何合理安排和规划, 能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务 下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用: [范例讲解] 营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075kg 的碳水化合物,0.06kg 的 蛋白质,0.06kg 的脂肪,1kg 食物 A 含有 0.105kg 碳水化合物,0.07kg 蛋白质,0.14kg 脂肪,花费 28 元;而 1kg 食物 B 含有 0.105kg 碳水化合物,0.14kg 蛋白质,0.07kg
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脂肪,花费 21 元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食 用食物 A 和食物 B 多少 kg?

指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划 中最常见的问题之一. 在上一节例 3 中,若根据有关部门的规定,初中每人每年可收取学费 1 600 元,高中 每人每年可收取学费 2 700 元。那么开设初中班和高中班各多少个,每年收取的学费 总额最高多?

指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一 结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法: 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解, 无论此类题目是以什么 实际问题提出,其求解的格式与步骤是不变的: (1)寻找线性约束条件,线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3)在可行域内求目标函数的最优解 3.随堂练习 课本第 103 页练习 2 4.课时小结 线性规划的两类重要实际问题的解题思路: 首先,应准确建立数学模型,即根据题意找出约束条件,确定线性目标函数。然后,用图解 法求得数学模型的解,即画出可行域,在可行域内求得使目标函数取得最值的解,最后,要 根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解,即结合实际情况求得最优解。 5.评价设计 课本第 105 页习题 3.3[A]组的第 3 题 课题: §3.3.2 简单的线性规划 第 5 课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:掌握线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模能力; 3.情态与价值:引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理 论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点】 利用图解法求得线性规划问题的最优解; 【教学难点】
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把实际问题转化成线性规划问题, 并给出解答, 解决难点的关键是根据实际问题中的已知条 件,找出约束条件和目标函数,利用图解法求得最优解。 【教学过程】 1.课题导入 [复习引入]: 1、二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点 组成的平面区域(虚线表示区域不包括边界直线) 2、目标函数, 线性目标函数,线性规划问题,可行解,可行域, 最优解: 3、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤: 2.讲授新课 1.线性规划在实际中的应用: 在上一节例 4 中,若生产 1 车皮甲种肥料,产生的利润为 10 000 元;生产 1 车皮乙种肥料, 产生的利润为 5 000 元,那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?

2.课本第 104 页的“阅读与思考”——错在哪里? 若实数 x , y 满足

?1 ? x ? y ? 3 ? ? ?1 ? x ? y ? 1

求 4 x +2 y 的取值范围.

错解:由①、②同向相加可求得: 0≤2 x ≤4 即 0≤4 x ≤8 ③ 由②得 —1≤ y — x ≤1 ④

将上式与①同向相加得 0≤2 y ≤4 ③十④得 0≤4 x 十 2 y ≤12

以上解法正确吗?为什么? (1)[质疑]引导学生阅读、讨论、分析. (2)[辨析]通过讨论, 上述解法中, 确定的 0≤4 x ≤8 及 0≤2 y ≤4 是对的, 但用 x 的最大(小) 值及 y 的最大(小)值来确定 4 x 十 2 y 的最大(小)值却是不合理的.X 取得最大(小)值时, y 并不能同时取得最大(小)值。由于忽略了 x 和 y 的相互制约关系,故这种解法不正确. (3)[激励]产生上述解法错误的原因是什么?此例有没有更好的解法?怎样求解? 正解: 因为 4x+2y=3(x+y)+(x-y) 且由已有条件有:

3 ? 3( x ? y) ? 9

(5)

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?1 ? x ? y ? 1
将(5)(6)两式相加得 所以 3.随堂练习 1

(6)

2 ? 4 x ? 2 y ? 3( x ? y) ? ( x ? y) ? 10 2 ? 4 x ? 2 y ? 10

?x ? y ? 2 ? ?x ? 0 ?y ? 0 1、求 z ? x ? y 的最大值、最小值,使 x 、 y 满足条件 ? ? x ? 4 y ? ?3 ? ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?

2、设 z ? 2 x ? y ,式中变量 x 、 y 满足

4.课时小结 [结论一]线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得. [结论二]线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得,即满足条件的最优 解有无数多个. 5.评价设计 课本第 105 页习题 3.3[A]组的第 4 题

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