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20112012学年度上学期期末考试高二数学试卷


2011—2012 学年度上学期期末考试高二数学试卷(理科)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟,注意事项: 1.第Ⅰ卷的答案填在答题卷方框里,第Ⅱ卷的答案或解答过程写在答题卷指定处,写在 试题卷上的无效。 2.答题前,考生务必将自己的“姓名” 、 “班级” 、和“考号”写在答题卷上。 3.考试结束,只交答题卷。



第Ⅰ卷(选择题共 50 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 10 个小题,本题满分 50 分) 1.命题 P: ?x ? R ,函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 3sin 2 x ? 3 ,则( A.P 是假命题: ?P : ?x ? R, f ( x) ? 2cos2 x ? 3sin 2x ? 3 B.P 是假命题: ?P : ?x ? R, f ( x) ? 2cos2 x ? 3sin 2x ? 3 C. P 是真命题:?P : ?x ? R, f ( x) ? 2cos2 x ? 3sin 2x ? 3 D. P 是真命题: ?P : ?x ? R, f ( x) ? 2cos2 x ? 3sin 2x ? 3 2.一支田径队有男运动员 48 人,女运动员 36 人,若用分层抽 样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本,则 抽取男运动员的人数为( ) A.9 B.12 C. 8 D.13 3.如图的程序框图,如果输入三个实数 a,b,c,要求输出这三个 数中最大的数,那么在空白的判断框中,应该填入下面四个选 项中的( ) A.c>x B.x>c C. c>b D.b>c 4.矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内 部随机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 的概率等于( ) )

开始 输入a,b,c x=a b>x 否 是 否 输出x 结束 第3题图 x=c 是 x=b

1 A. 4

1 B. 3

1 C. 2
4 49

2 D. 3
2 26 3 39 5 54

5.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元)

根据上表可得回归方程 y=bx+a 中的 b 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 ( ) A.63.6 万元 B.65.5 万元 C. 67.7 万元 D.72.0 万元 6.一束光线自点 P(1,1,1)发出,遇到平面 xoy 被反射,到达点 Q(3,3,6)被吸收,那 么光所走的路程是( ) A. 37 B. 47 C. 33 D. 57

7.在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,B1C1=A1C1,AC1⊥A1B,M、N 分别是 A1B1,AB 的中点,给 出如下三个结论:①C1M⊥平面 ABB1A1;②A1B⊥AM;③平面 AMC1∥平面 CNB1;其中正确 结论的个数是( ) A.0 B.1 C. 2 D.3

8.空间四边形 ABCD 中,AB、BC、CD 的中点分别是 P、Q、R,且 PQ=2,QR=,PR=3,那 么异面直线 AC 与 BD 所成的角是( ) A. 900 B. 600 C. 450 D.300 9.在甲、乙等 6 个同学参加的一次演讲比赛活动中,每个同学的节目集中安排在一起。若采用 抽签的方式随机确定各同学的演讲顺序(序号为 1,2,?,6) ,则甲、乙两位同学的演讲序号 至少有一个为奇数的概率为( )

1 4 xy ? x ? y ? 1 ? m 有唯一的公共点,则实数 m 的取值集合中 10.若双曲线 y 2 ? x 2 ? 1与曲线 2 x ? 3x ? 2
A. B. C. D. 元素的个数为( ) A. 2 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个

4 5

1 5

3 4

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)
二、填空题(每小题 5 分,共 5 个小题,本题满分 25 分) 11.如图所示,程序框图的输出结果是__________________。 12.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,CC1 与平面 ACD1 所成角的正弦值 为________。 13. “0 ? a ?
开始 T=0,K=0 T=T+K 否

1 2 ”是“函数 f ( x) ? ax ? 2(a ?1) x ? 2 在区间 (??, 4] 5

上为减函数”的_________条件(在“充分不必要” , “必要不充分” , “充要” , “既不充分不必要”中选填) 。

T>105 是 输出K 结束

K=K+1

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点,P1、P2、P3、P4 是双曲线 14.若 F 是双曲线 4 3
上 同 一 支 上 任 意 4

第11题图

个 不 同 的 点 , 且 FP 1 ? FP 1 ? FP 3 ? FP 4 ?0 , 则

??? ? ??? ? ???? ????

?

? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ___________ 。 | F 1P? | |F P ? | | F ? P | | ? F P | 1 3 4
15.已知抛物线 C: y ? 4 x 的焦点为 F,过点 K(-1,0)的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,点
2

A 关于 x 轴的对称点为 D。设 FA?FB ?

??? ? ??? ?

8 ,则△BDK 的内切圆的半径 r=______________。 9

三、解答题(需要写出解答过程或证明步骤) 16. (本小题满分 12 分) 某校高二分科分成四个班,某次数学测试后,随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统 计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班级被抽取了 22 人,抽取出来的所有 学生的测试成绩统计结果的频率分布直方图如图所示,其中测试成绩在 90~100 分数段(包括 90 分但不包括 100 分)的纵坐标为 0.005,人数为了 5 人。 (1)求 60 分以上(包括 60 分)的人数所占的比例为多少? (2)问各班被抽取的学生人数各为多少?

17. (本小题满分 12 分) 以下茎叶图记录了甲、乙两组四名同学的植树棵数,乙组记录中有一个数据模糊,无法确 认,在图中以 X 表示。 甲组 乙组

9 1

9 1

0 1

X 0

8

9

(1)如果 X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和标准差; (2)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为 19 的 概率。

18. (本小题满分 12 分) 命题 p:实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,其中 a<0;命题 q:实数 x 满足 x ? x ? 6 ? 0 或
2 2 2

x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ,且 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围。

19. (本小题满分 12 分) 已知双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,左顶点为(-1,0) 。 a 2 b2

(1)求双曲线方程; (2) 已知直线 x-y+m=0 与双曲线 C 交于不同的两点 A、 B, 且线段 AB 的中点在圆 x ? y ? 5
2 2

上,求 m 的值和线段 AB 的长。

C1
20. (本小题满分 13 分) 在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, AB=AC=AA1=6, BC=4, D 是 BC 的中点,F 是 C1C 上一点,且 CF=4。 (1)求证:B1F⊥平面 ADF; (2)求三棱锥 D—AB1F 的体积; (3)试在 AA1 上找一点 E,使得 BE//平面 ADF。

A1

F

B1

C D A B

21. (本小题满分 14 分) 设椭圆 C1:

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别是 F1、F2,下顶点为 A,线段 OA 的中点为 B 5 4

(O 为坐标原点) 。如图,若抛物线 C2: y ? mx2 ? n(m ? 0, n ? 0) 与 y 轴的交点为 B,且经过 F1,F2 两点。 (1) 求抛物线 C2 的方程; (2) 设 M (0, ? ) ,N 为抛物线 C2 上的动点,过点 N 作抛物线 C2 的切线交椭圆 C1 于点 P、 Q 两点,求△MPQ 面积的最大值。

4 5

y

P F1 O N M F2 B Q x

2011—2012 学年度上学期期末考试高二数学试卷(理科)参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 10 个小题,本题满分 50 分) 1 D 2 B 3 A 4 C 5 B 6 D 7 D 8 A 9 A 10 B

二、填空题(每小题 5 分,共 5 小题,满分 25 分) 11.15 12.

3 3

13.充分不必要

14.6

15.

2 3

三、解答题(需要写出解答过程或证明步骤) 16.解: (1)P=1-0.03×10=0.7………………..6 分

(2)总人数=

5 ? 100 ,又因为人数构成等差数列,且最少人数为 22 人, 0.005 ?10

∴易得人数分别为 22,24,26,28………………..12 分 17.解: (1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 所以平均数为 x ?

8 ? 8 ? 9 ? 10 35 ? ,………………..2 分 4 4 1 35 2 35 2 35 2 35 2 11 2 方差为 s ? [(8 ? ) ? (8 ? ) ? (9 ? ) ? (10 ? ) ] ? …5 分 4 4 4 4 4 16
∴s ?

11 ……………….6 分 4

(2)当 X=9 时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵数是:9,9,11,11,乙组同学的 植树棵数是:9,8,9,10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有 4×4=16 种可能的

P (Y ? 19) ?

1 ………………..12 分 4

18.解:设 A= {x | x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0, a ? 0} ? {x | 3a ? x ? a} ………………..3 分 B= {x | x2 ? x ? 6 ? 0, 或x2 ? 2x ? 8 ? 0} ? {x | x ? ?4或x ? ?2} , ………………..6 分

? p 是 ? q 必要不充分条件等价于 A ? B ,

?

∴ a ? {a | a ? ?4或 ?

2 ? a ? 0} ………………..12 分 3
2

19.解: (1)依题意 e ? 3, a ? 1,?c ? 3, 所以 b ? 2 ………………..2 分 所以双曲线方程为 x ?
2

y2 ? 1………………..4 分 2

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 (2)由 ? 得 x ? 2mx ? m ? 1 ? 0 ,………………..6 分 2 ?x ? y ? m ? 0 ?
∴?

? x1 ? x2 ? 2m
2 ? x1 ? x2 ? ?m ? 1



又∵中点在直线 x ? y ? m ? 0 上,所以可得中点坐标为(m,2m), 代入 x ? y ? 5 得 m ? ?1 ………………..8 分
2 2

|AB|= (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? 4 2 。………………..12 分
2 2

20.解: (1)∵AB=AC,D 为 BC 的中点 ∴AD⊥BC,又直三棱柱中:BB1⊥底面 ABC,AD ? 底面 ABC。∴AD⊥BB1 ∴AD⊥平面 BCC1B1,∵B1F ? 平面 BCC1B1,∴AD⊥B1F, 在矩形 BCC1B1 中:C1F=CD=2,CF=C1B1=1,

∴ Rt ? ? Rt ?,??CFD ? ?C1B1F ,∴ ?B1DF ? 900 ,即 B1F⊥FD, ∵ AD ? FD ? F , ∴B1F⊥平面 AFD………………..4 分 (2)∵AD⊥平面 BCC1B1, ∴ VD ? AB1F ? VA? B1DF ?

1 1 1 40 2 …….8 分 S?B1DF ?AD ? ? B1F ?FD?AD ? 3 3 2 3

(3)当 AE=4 时,BE∥平面 ADF 证明:连 EF,EC,设 EC∩AF=M,连 DM,AE=CF=4,∴四边形 AEFC 为矩形, ∴M 为 EC 的中点,又∵D 为 BC 的中点,∴MD∥BE,∵MD ? 平面 ADF 且 BE ? 平面 ADF ∴BE//平面 ADF………………..13 分 21.解: (1) y ? x2 ?1 ………………..5 分 (2)设切点为(t,t2-1)

5 ? 1 ? 4t 2 ? ?t 4 ? 18t 2 ? 3 ,………………..86 分 | PQ |? 1 ? 5t 2
1 5 ,………………..10 分 d? 1 ? 4t 2 t2 ? 1 1 1 5 ? 1 ? 4t ? ?t ? 18t ? 3 5 d? ? ? ∴ S ? | PQ |? 2 2 1 ? 5t 2 1 ? 4t 2
2 4 2

t2 ?

?

5 5 5 105 ? ?t 4 ? 18t 2 ? 3 ? ? ?(t 2 ? 9)2 ? 84 ? ? 84 ? 。…………..14 分 10 10 10 5


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