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5函数函数的奇偶性与周期性练习题答案


函数的奇偶性与周期性 函数的奇偶性与周期性 一、函数的奇偶性 知识点归纳 函数的奇偶性的定义: 1 函数的奇偶性的定义:如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 那么函数 f(x)就 叫偶函数. 如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)就叫奇函数. 奇偶函数的性质: 2 奇偶函数的性质: (1)定义域关于原点对称; (2)偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称;
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函数

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3 f ( x ) 为偶函数 ? f ( x) = f (| x |) ;
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若奇函数 f ( x ) 的定义域包含 0 ,则 f (0) = 0 “f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件;
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判断函数的奇偶性的方法 1)定义法: 的方法: 1)定义法 4 判断函数的奇偶性的方法:(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点的对称区间,则立即判断该函数既 不是奇函数也不是偶函数; 若函数的定义域是关于原点的对称区间,再判断 f(-x)= -f(x)或 f(-x)=f(x)是否成立
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判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: f ( x ) ± f (? x ) = 0 ,

f ( x) = ±1 f (? x)

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(2)图像法:奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或 y 轴)对称. 2)图像法: 2)图像法 5 设 f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上:
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奇+奇=奇,奇 × 奇=偶,偶+偶=偶,偶 × 偶=偶,奇 × 偶=奇 应用举例 1、常见函数的奇偶性: 常见函数的奇偶性 常见函数的奇偶 奇函数: y = ax ( a 为常数) y = sin x , y = tan x , y = ,

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k (k 为常数) x

偶函数: y = a ( a 为常数) a = 0 时既为奇函数又为偶函数 ,

y = ax 2 ( a ≠ 0) , y = ax 2 + c ( a ≠ 0) , y = ax ( a 为常数) y = cos x ,
非奇非偶函数: y = kx + b(b ≠ 0) , y = ax 2 + bx + c (b ≠ 0) , y = ax + c (c ≠ 0) , y =

k ( c ≠ 0) , x+c

y = a x (a > 0, a ≠ 1) , y = log a x(a > 0, a ≠ 1)
既奇又偶函数: y = 0 2、对奇偶性定义的理解 例 1 下面四个结论:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③偶函数的图象关 于 y 轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R),其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 分析:偶函数的图象关于 y 轴对称,但不一定相交,因此③正确,①错误;奇函数的图象关于原点对称, 但不一定经过原点,因此②不正确;若 y=f(x)既是奇函数,又是偶函数,由定义可得 f(x)=0,但不一定 x ∈R,故④错误,选 A. 练习: (2007 全国Ⅰ) f ( x ) , 练习:1、 偶函数”是“ h( x ) 为偶函数”的 B
1

是定义在 R 上的函数,

,则“ f ( x ) ,

均为

A.充要条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件 解析:∵f(x)、 g(x)均为偶函数,∴f(-x)=f(x),g(-x)=g(x).∴h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=h(x).∴h(x)为偶函数. 但若 h(-x)=h(x),即 f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x), 不一定 f(-x)=f(x),g(-x)=g(x), 例 f(x)=x2+x,g(x)=-x. 2、 (2007 江苏)设 f(x)=lg( )是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是 A

A.(-1,0)B.(0,1)C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(1,+∞) 解析:∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0.解之,得 a=-1. ∴f(x)=lg. 令 f(x)<0,则 0< <1,∴x∈(-1,0).

3、已知函数解析式,判断或证明函数的奇偶性 已知函数解析式, 例 2 判断下列函数的奇偶性(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a (3) f(x)=3x+1 (4) f(x)=x2 ,x∈[- 4 , 4), (5) y = sin x + 1

例 3 判断下列各函数的奇偶性: (1) f ( x) = ( x ? 1) 解: (1)由

1+ x lg(1 ? x 2 ) ; (2) f ( x) = 2 ; 1? x | x ? 2 | ?2
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1+ x ≥ 0 ,得定义域为 [?1,1) ,关于原点不对称,∴ f ( x) 为非奇非偶函数 1? x

(2)由 ?

?1 ? x 2 > 0 ? 得定义域为 (?1, 0) U (0,1) , 2 ?| x ? 2 | ?2 ≠ 0 ?

∴ f ( x) =

lg(1 ? x 2 ) lg(1 ? x 2 ) =? , ?( x 2 ? 2) ? 2 x2 lg[1 ? (? x) 2 ] lg(1 ? x 2 ) =? = f ( x) (? x) 2 x2
∴ f ( x) 为偶函数

∵ f (? x) = ?

解:由题

1? x2 练习: 的奇偶性 练习:1、判断函数 f ( x ) = | x + 2 | ?2
? 1? x2 ≥ 0 ?( x + 1)( x ? 1) ≤ 0 ?? ? ? x + 2 ≠ ±2 ?| x + 2 | ? 2 ≠ 0

? ?1 ≤ x ≤ 1 ?? ? x ≠ 0且x ≠ ?4

∴ 此时

函数的定义域为 [-1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ] f(x)=

1? x2 ( x + 2) ? 2

1? x2 = x

又f (? x) =

1 ? ( ? x) 2 1? x2 =? x ?x

= -f ( x )

故 f ( x ) 是奇函数 4、抽象函数奇偶性的判定与证明 、 例 4 (2007 北京西城)已知函数 f ( x) 对一切 x, y ∈ R ,都有 f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) ,
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(1)求证: f ( x) 是奇函数; (2)若 f ( ?3) = a ,用 a 表示 f (12)

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解: (1)显然 f ( x) 的定义域是 R ,它关于原点对称.在 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) 中,
2

令 y = ? x ,得 f (0) = f ( x ) + f ( ? x ) ,令 x = y = 0 ,得 f (0) = f (0) + f (0) ,∴ f (0) = 0 , ∴ f ( x ) + f (? x ) = 0 ,即 f ( ? x ) = ? f ( x) , ∴ f ( x ) 是奇函数. (2)由 f ( ?3) = a , f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) 及 f ( x ) 是奇函数, 得 f (12) = 2 f (6) = 4 f (3) = ?4 f ( ?3) = ?4a . 年辽宁)设 例 5.(2006 年辽宁 . A. C. 是奇函数 是偶函数 是 上的任意函数,下列叙述正确的是(C) B. D. 是奇函数 是偶函数

解:据奇偶函数性质:易判定 f(x)·f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数 f(x)·|f(-x)|的奇偶取决于 f(x)的性质,只有 f(x)+f(-x)是偶函数正确。 利用函数奇偶性求函数解析式或求值 5、利用函数奇偶性求函数解析式或求值 例 6、已知 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x|x-2|,求 x<0 时,f(x)的表达式. 、 解:∵f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x|x-2|, ∴当 x<0 时,f(x)=- f(-x)=- (-x)|(-x)-2|=x|x+2|. 练习: 练习:已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ∈ (0, +∞ ) 时, f ( x ) = x (1 +
3

x) ,

? x(1 + 3 x ), x ≥ 0 ? 则 f ( x ) 的解析式为 f ( x) = ? ? x(1 ? 3 x ), x < 0 ?

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例 7(2007 黄冈中学月考)已知函数 f ( x ) = ? x + log 2

1? x ,求 1+ x

1 1 1 1 ) + f (? )+ f ( )+ f( ) 的值 2005 2004 2004 2005 1? x 解:由 > 0 得函数的定义域是 (?1,1) 1+ x 1+ x 1? x 又 f ( ? x ) + f ( x ) = log 2 + log 2 = log 2 1 = 0 1? x 1+ x f (? ∴ f (? x) = ? f ( x) 成立,∴ 函数是奇函数 1 1 1 1 )+ f( ) =0 f (? )+ f ( ) =0 2005 2005 2004 2004 1 1 1 1 ∴ f (? ) + f (? )+ f ( )+ f( ) =0 2005 2004 2004 2005 f (?
例 8(2007 海南、宁夏)设函数 解析:∵f(x)= , ∴f (-x)=- 为奇函数,则 -1

又∵f(x)为奇函数,∴f (x)=-f (-x). ∴ = .∴ x 2 + ( a + 1) x + a = x 2 ? ( a + 1) x + a ∴a=-1.
3

2 练习: 练习:已知 f ( x) = ax + bx + 3a + b 是偶函数,定义域为 [a ? 1,2a ] ,则 a =

1 ,b=0 3

解: a ? 1 = ?2a ? a =

1 ,b = 0 3

6、偶函数性质 f ( x) = f ( x ) 的应用 、 偶函数图象关于 y 轴对称,运用 f ( x) = f ( x ) 可将偶函数问题转化至 [0,+∞ ) 的范围解决。 例 9、设定义在[-2,2]上的偶函数 f (x ) 在区间[0,2] 上单调递减,若 f (1 ? m) < f ( m) ,求实数 m 的取值范 、 围。 解:Q f ( x)是偶函数, f ( ? x) = f ( x) = f ( x ) ∴

∴ f (1 ? m) < f (m) ? f ( 1 ? m ) < f ( m )
又当 x ∈ [0,2] 时, f (x ) 是减函数

∴ ? 2 ≤ 1 ? m ≤ 2 ? ?1 ≤ m < ?2≤ m≤2

{

1? m > m

1 2

1? ? ∴ m的取值范围是 ?? 1, ? 2? ?

练习:已知 f ( x ) 是偶函数, x ∈ R ,当 x > 0 时, f ( x ) 为增函数,若 x1 < 0, x2 > 0 ,且 | x1 |<| x2 | ,则 ( B )

A f (? x1 ) > f (? x2 ) B f (? x1 ) < f (? x2 ) C ? f ( x1 ) > f (? x2 ) D ? f ( x1 ) < f (? x2 )
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二、函数的周期性 知识点归纳
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定义:若 T 为非零常数,对于定义域内的任一 x,使 f ( x + T ) = f ( x ) 恒成立 则 f(x)叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期 一般所说的周期是指函数的最小正周期 周期函数的定义域一定是无限集 常见函数周期: 常见函数周期 ①y=sinx, 最小正周期 T=2π; ②y=cosx, 最小正周期 T=2π; ③y=tanx, 最小正周期 T=π; ④y=cotx,
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最小正周期 T=π. 周期函数变换后的周期 周期函数 f(x) 最小正周期为 T,则 y=Af(ωx+φ)+k 的最小正周期为 T/|ω|. 例 10 已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 f(x+m)=-f(x),求证:2m 是 f(x)的一个周期. 证明:因为 f(x+m)=-f(x) 所以,f(x+2m)=f[(x+m)+m] =-f(x+m) =f(x) 所以 f(x)是以 2m 为周期的周期函数. 练习:1 、已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 f(x+m)=f(x-m),求证:2m 是 f(x)的一个周期 练习: 证明:因为 f(x+m)=f(x-m) 所以,f(x+2m)=f[(x+m)+m]=f[(x+m)-m]=f(x) 所以 f(x)是以 2m 为周期的周期函数. f(x+m)=f(xx)=f(m 的区别, 以上两题可作为结论记, 以上两题可作为结论记,注意 f(x+m)=f(x-m)与 f(m +x)=f(m-x)的区别, x)=f(m f(x)图像的对称轴 f(m +x)=f(m-x) ? x = m 是 f(x)图像的对称轴
4

2、已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 证明:由已知

f ( x + m) =

1 ? f ( x) 1 + f (,求证:2m 是 f(x)的一个周期. x)

f(x+2m)=f[(x+m)+m]

所以 f(x)是以 2m 为周期的周期函数.

1? 1 ? f ( x + m) 1+ = = 1 + f ( x + m) 1 + 1 ? 1+ 1?

f ( x) f ( x) f ( x) f ( x)

= f ( x)

3、 设偶函数 f (x ) 对任意 x ∈ R , 都有 f ( x + 3) = ? 的值为(D) A. ?

1 , 且当 x ∈ [? 3,?2] 时, f ( x) = 2 x ,则 f (113.5) f ( x)

2 7

B.

2 7

C. ?

1 5

D.

1 5

解:Q f ( x + 3) = ?

1 1 ∴ f ( x + 6) = f [( x + 3) + 3] = ? = f ( x) f ( x) f ( x + 3)

∴ f ( x)是以 T = 6为周期的周期函数 ∴ f(113.5)= f(18 × 6 + 5.5)= f (5.5) = f (6 ? 0.5) = f (?0.5) 1 1 1 =? =? = f (3 ? 0.5) f (?2.5) 5
三、函数奇偶性、单调性、周期性综合运用 函数奇偶性、单调性、 例11 已知 f ( x ) 是偶函数,而且在 (-∞ , 0 ) 上是增函数,问 f ( x ) 在 ( 0 ,+ ∞ ) 上是增 函数还是减函数? 解:设 0 < x 1 <x 2 < + ∞则 - ∞ < -x 2 <-x 1 < 0 ∵ f ( x ) 在 (-∞ , 0 ) 上是增函数 ∴ f (-x 2 ) < f ( -x 1 ) 故 f ( x ) 在( 0 ,+ ∞ ) 上是减函数 ∵ f ( x ) 是偶函数 ∴ f ( x 2 ) < f ( x 1 ) 知识点:偶函数在对称区间上单调性相反, 知识点:偶函数在对称区间上单调性相反,奇函数在对称区间上对称性相同 例 12 函 数 y = f ( x)( x ≠ 0) 是 奇 函 数 , 且 当 x ∈ (0,+∞ ) 时 是 增 函 数 , 若 f (1) = 0 , 求 不 等 式

1 f [ x( x ? )] < 0 的解集 2
解: f (1) = 0 ∴ f [ x ( x ? )] < f (1)

1 2

1 1 1 + 17 1 ? 17 ∴ 0 < x( x ? ) < 1 ? < x < <x<0 或 2 2 4 4

又函数 y = f ( x )( x ≠ 0) 是奇函数,它在对称区间上的单调性相同且 f ( ?1) = ? f (1) = 0

1 ∴ f [ x( x ? )] < f (?1) 2 ∴ 原不等式的解集是 {x /

1 ∴ x(x ? ) < ?1 ? φ 2 1 1 + 17 1 ? 17 <x< < x < 0} 或 2 4 4

例13、已知 f (x ) 是周期为4的偶函数,当 x ∈ [2,3] 时, f ( x ) = x ,求 f (6.5), f ( ?1.5) , f (5.5) 13、 解: f ( ? x ) = f ( x ) , f ( x + 4) = f ( x ) f (6.5) = f ( 4 + 2.5) = f ( 2.5) = 2.5
5

f (?1.5) = f (?1.5 + 4) = f (2.5) = 2.5 f (5.5) = f (5.5 ? 4 = f (1.5) = f (?1.5) = f (?1.5 + 4) = f (2.5) = 2.5
(2005 福建) 例 14、 、 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 ,则方程 f(x)=0 在区间(0,6)

内解的个数的最小值是 D A.2 B.3 C.4 D.5 解析:依题可知 f(x)=f(x+3).f(2)=f(5)=0. 又∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x).∴f(-2)=-f(2)=0.∴f(-2)=f(1)=f(4)=0. 又∵奇函数有 f(0)=0,∴f(3)=f(6)=0. ∴在(0,b)内 f(x)=0 解的个数最小值为 5. 练习: 、 (2007 重庆)已知定义域为 R 的函数 f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数 y=f(x+8)为偶函数,则 D 练习:1、 A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10) 解析:∵y=f(x+8)为偶函数,∴y=f(x)图象关于 x=8 对称. 又∵y=f(x)在(8,+∞)上为减函数,∴y=f(x)在(-∞,8)上为增函数.∴f(7)=f(9),f(9)>f(10).∴f(7)>f(10). 2、(2006 山东)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则 f(6)的值为 B (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 解析:∵f(x+2)=-f(x).∴f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)=-f(2). 又-f(x)为 R 上的奇函数,∴f(2)=0 ∴f(6)=0. ( 若函数 3、2005 重庆) 的 x 的取值范围是 A. B. 是定义在 R 上的偶函数, 在 ( D) C. D. (-2,2) 上是减函数, 且 , 则使得

解析:∵f(2)=0 且 f(x)为偶函数,∴f(-2)=0. 又∵f(x)在(-∞,0]递减,∴f(x)在(-2,0]递减. ∴对于 x∈(-2,0)必有 f(x)<0. 由对称性得对于 x∈[0,2)必有 f(x)<0. ∴使得 f(x)<0 的范围是(-2,2). (2005 全国Ⅳ)设函数 f(x) (x∈R)为奇函数,f(1)= 4、 A.0 B.1 C. D.5 , f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(5)等于( C)

(x∈R)为奇函数,f(1)= 解:f(x+2)=f(x)+f(2)且 f(x)

∴ f (1) = f (?1 + 2) = f (?1) + f (2) = ? f (1) + f (2)

∴ f (2) = 2 f (1) = 2 ×

1 =1 2 5 2

∴ f (5) = f (3 + 2) = f (3) + f (2) = f (1 + 2) + f (2) = 2 f (2) + f (1) =

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