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《高考易错题集锦》专题七 数列


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绝密★启用前

《高考易错题集锦》—>专题七 数列

试卷副标题
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释)

1.若数列 ?an ? ,?bn ? 、的通项公式分别是 an ? (?1) n?2007 ? a ,bn ? 2 ?

(?1) n ? 2008 ,且 n

an ? bn ,对任意 n ? N ? 恒成立,则常数 a 的取值范围是(
A. ?? 2,1? B. ?? 2,??? C. ?? 2,1? D.



?? ?,1?

2.已知等差数列{an}的前 n 项和是 S n ? ? 正整数 n 为( A.2009 ) B.2010

1 2 a8 n ? n ,则使 an ? ?2006成立的最小 2 2
D.2012 )

C.2011

3.在数列 ?an ? 中, a1 ? 14,3an ? 3an?1 ? 2 ,则使 an an? 2 ? 0 成立的 n 值是( A.21 B.22 C.23 D.24

4.已知等比数列 {an } 满足 an ? 0 , n ? 1, 2,? ,且 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) ,且当 n ? 1 时,

log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? log2 a2n?1 ? (
A. n(2n ? 1) B. (n ? 1)2

) C. n2 D. (n ? 1)2

5.已知 ?an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 ? a4 ? a6 =99,以 Sn 表示 ?an ? 的前 n 项 和,则使得 Sn 达到最大值的 n 是 A.21 B.20 C.19 D.18

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第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释) 6.已知数列 ?an ? 的通项公式是 an ? ?n 2 ? 12n ? 32 ,其前 n 项和是 S n ,则对任意的 , n ? m (其中 m, n ? N ? *) S n ? S m 的最大值是 . 。

7.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 = 8.设等比数列 {an } 的公比 q ?

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? 2 a4



? an ? ,当an为偶数时, 9. 已知数列 ?an ? 满足: 1=m , 若 a6=1 , a (m 为正整数) an ?1 ? ? 2 ?3an ? 1,当an为奇数时。 ?
则 m 所有可能的取值为__________。 评卷人 得分 三、解答题(题型注释) 10.如果能将一张厚度为 0.05mm 的报纸对拆,再对拆....对拆 50 次后,报纸的厚度是多少?你相信这时
报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗?(已知地球与月球的距离约为 4 ? 10 米)
8

11.已知 ( x ?

1 2 x

) n 的展开式中前三项的系数成等差数列.

(1)求 n 的值; (2)求展开式中系数最大的项. 12.已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ? n2 ? 2n , (1)求数列的通项公式 an ; (2)设 2bn ? an ?1 ,且 Tn ?

1 1 1 1 ,求 Tn . ? ? ?? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1

13. 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ? 2n 2 {bn } 为等比数列, a1 ? b1 , b2 (a2 ? a1 ) ? b1 . 且 (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)设 c n ?

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn 。 bn

14.数列 ?an ? 的各项均为正数, Sn 为其前 n 项和,对于任意 n ? N * ,总有 an , Sn , an 2
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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成等差数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且 bn ?

ln n x an
2

,求证:对任意实数 x ? ?1, e?( e 是

常数, e =2.71828 ??? )和任意正整数 n ,总有 Tn ? 2; (3)正数数列 ?cn ? 中, an?1 ? ?cn ?
n?1

, (n ? N * ) .求数列 ?cn ? 中的最大项。
1 (1) sn 。 求 a2 , a3 , a4 的值及数列 ?an ? 的通项公式。 3

15. ?an ? 前 n 项和 s n 且 a1 ? 1, an ?1 ? 数列

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

16.等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 ,前 n 项和 s n ,当 l ? m 时, sm ? sl 。问 n 为何值时 s n 最大? 17.数列 {an } 中, a1 ? 1 , a 2 ? 2 ,数列 {an ? an?1} 是公比为 q ( q ? 0 )的等比数列。
(Ⅰ)求使 an an?1 (Ⅱ)求数列 {an } 的前 2 n 项的和 ? an?1an?2 ? an?2 an?3 成立的 q 的取值范围;

S 2n .
18.求 S n ?

1 1 1 1 ? ? ??? . 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n

19.设无穷等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.
(Ⅰ)若首项 a1

?

3 ,公差 d 2

? 1 ,求满足 S

k2

? (S k ) 2 的正整数 k;
k2

(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an},使得对于一切正整数 k 都有 S

? (S k ) 2 成立

20 . 已 知 数 集 A ? ?a1, a 2 ,?an ?? 1? a 1 ? a 2? ?an , ? 2 具 有 性 质 P ; 对 任 意 的 n ?

i, j ?1 ? i ? j ? n? , ai a j 与

aj ai

两数中至少有一个属于 A .

(Ⅰ)分别判断数集 ?1,3, 4? 与 ?1,2,3,6? 是否具有性质 P ,并说明理由; (Ⅱ)证明: a1 ? 1 ,且

a1 ? a2 ? ? ? an ? an ; ? ? a1?1 ? a2 1 ? ? ? an 1

(Ⅲ)证明:当 n ? 5 时, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成等比数列..

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参考答案 1.A 【解析】 【错解分析】此题容易错在不知道讨论奇偶性,以及 n 是偶数时,要从 2 开始。 【正解】当 n 是奇数时,由 an ? bn 得 a ? 2 ? 当 n 是偶数时,由 an ? bn 得 ? a ? 2 ? 因此常数 a 的取值范围是 ?? 2, 1? . 2.B 【解析】 【错解分析】此题容易错选为 A,C,D,错误原因主要是不能准确的根据等差数列求和公式 的性质求出 d ? ?1 且 a1 ? 2 。 【正解】设数列 ?an ? 的公差是 d ,则 S n ? na1 ?

1 ,a ?1; n

1 , ?a ? 2, a ? ?2 , n

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 2 2 2

a a ? 7d d a 1 d 1 ? ? n 2 ? 8 n , ? ? 且 a1 ? ? ? 8 ? ? 1 , d ? ?1 且 a1 ? 2 , 2 2 2 2 2 2 2

an ? 2 ? (n ? 1) ? 3 ? n ? ?2006 n ? 2009 ,
因此使 an ? ?2006成立的最小正整数 n=2010,选 B. 3.A 【解析】 【错解分析】此题容易错选为 B,错误原因是没有理解该数列为等差数列。 【 正 解 】 由 已 知 得 a n ?1 ? a n ? ? =

2 , 3

2 44 ? 2n a n ? 14 ? (n ? 1)( ? ) ? , an an? 2 3 3

44 ? 2n 40 ? 2n · <0, (n ? 20)(n ? 22) ? 0,20 ? n ? 22 ,因此 n ? 21 ,选 A. 3 3

4.C

?a5 ? a1 ? 26 , ?a3 ? 23 , ? ? 【解析】 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) 得:? 由 再由 an ? 0 得:? , 解得:a1 ? 2, q ? 2 , 8 4 ?a4 ? 2 . ?a5 ? a3 ? 2 . ? ?
所以 an ? 2n , log2 a2n?1 ?? 2n ? 1 , log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? log2 a2n?1 ? 5.B 【解析】由 a1 + a3 + a5 =105 得 3a3 ? 105, 即 a3 ? 35 ,由 a2 ? a4 ? a 6 =99 得 3a4 ? 99 即

(1 ? 2n ? 1)n ? n2 2

? an ? 0 得 n ? 20 ,选 B a4 ? 33 ,∴ d ? ?2 , an ? a4 ? (n ? 4) ? (?2) ? 41 ? 2n ,由 ? ? an ?1 ? 0
6.10
答案第 1 页,总 8 页

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【解析】 【错解分析】此题容易错选认为求最大项。 【正解】由 an ? ?n 2 ? 12n ? 32 ? ?(n ? 4)(n ? 8) ? 0 得 4 ? n ? 8 ,即在数列 ?an ? 中,前 三 项 以 及 从 第 9 项 起 后 的 各 项 均 为 负 且 a4 ? a8 ? 0 , 因 此 S n ? S m 的 最 大 值 是

a5 ? a6 ? a7 ? 3 ? 4 ? 3 ? 10 .
7.24 【解析】??an ? 是等差数列,由 S9 ? 72 ,得? S9 ? 9a5 , a5 ? 8

? a2 ? a4 ? a9 ? (a2 ? a9 ) ? a4 ? (a5 ? a6 ) ? a4 ? 3a5 ? 24
8.15

a1 (1 ? q 4 ) s4 1 ? q4 3 【解析】对于 s4 ? , a4 ? a1q ,? ? 3 ? 15 1? q a4 q (1 ? q)
9.4 5 32

a1 a m m a3 ? 2 ? 为偶, 故 a2 ? 2 2 2 4 m m m m ? 1 ? m ? 32 ①当 仍为偶数时, a4 ? ??????a6 ? 故 8 32 32 4 3 3 m ?1 m ?1 m 3 4 4 ②当 为奇数时, a4 ? 3a3 ? 1 ? m ? 1 ?????? a6 ? 故 ? 1 得 m=4。 4 4 4 4 3m ? 1 (2)若 a1 ? m 为奇数,则 a2 ? 3a1 ? 1 ? 3m ? 1 为偶数,故 a3 ? 必为偶数 2 3m ? 1 3m ? 1 ?????? a6 ? ,所以 =1 可得 m=5 16 16
【解析】 (1)若 a1 ? m 为偶数,则 10.可建一座桥 【解析】 【错解分析】 对拆 50 次后,报纸的厚度应理解一等比数列的第 n 项,易误理解为是比等比数列的前 n 项和。
3 【正解】 对拆一次厚度增加为原来的一倍, 设每次对拆厚度构成数列 an , 则数列 an 是以 a1 =0.05 ?10

米为首项,公比为 2 的等比数列。从而对拆 50 次后纸的厚度是此等比数列的第 51 项,利用等比数列的通 项公式易得 a51=0.05×10 ×2 =5.63×10 ,而地球和月球间的距离为 4×10 <5.63×10 故可建一座桥。
-3 50 10 8 10

11. (1)8

5 2 (2) T3 ? 7 x , T4 ? 7 x

9

【解析】 【错解分析】此题容易错在:审题不清楚,误用前三项的二项式系数成等差。
1 1 【正解】 (1)由题设,得 C0 ? ? C2 ? 2 ? ? C1 , 即 n 2 ? 9n ? 8 ? 0 ,解得 n=8,n=1(舍 n n n 4 2

去) .

答案第 2 页,总 8 页

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1 ? 1 1 r ?1 ?1 r ≥ , ? 2r C8 ≥ 2r ?1 C8 , ? 8 ? r 2(r ? 1) ? ? (2)设第 r+1 的系数最大,则 ? 即? 解得 r=2 或 r=3. ? 1 Cr ≥ 1 Cr ?1. ? 1 ≥ 1 . ? 2r 8 2r ?1 8 ? 2r 9 ? 1 ? ?

所以系数最大的项为 T3 ? 7 x5 , T4 ? 7 x 2 . 12. (1)

9

an ? 2n ? 1, n ? N *

(2) Tn ? 1 ?

1 n ?1

【解析】 【错解分析】 (1)在求通项公式时容易漏掉对 n=1 的验证。 (2)在裂项相消求数列的和时,务必细心。 【正解】解:(1)∵Sn=n +2n
2

∴当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2n ? 1

当 n=1 时,a1=S1=3, an ? 2 ?1 ? 1 ? 3 ,满足上式. 故 an ? 2n ? 1, n ? N * (2)∵ 2bn ? an ? 1 , ∴ bn ? ∴

1 1 (an ? 1) ? (2n ? 1 ? 1) ? n 2 2

1 1 1 1 ? ? ? bnbn ?1 n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 ? ? ?? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1

∴ Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? n ?1 1 2 2 3 3 4 n ?1 n n n ? 1 2 bn ? n ?1 13. (1) an ? 4n ? 2 4 1 n (2) Tn ? [(6n ? 5)4 ? 5] 9
【解析】 【错解分析】 (1)求数列 {an } 的通项公式时,容易遗忘对 n=1 情况的检验。 (2)错位相减法虽然是一种常见方法,但同时也是容易出错的地方,一定要仔细。 【正解】解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2;

当n ? 2时, an ? S n ? S n?1 ? 2n 2 ? 2(n ? 1) 2 ? 4n ? 2,
故 {an } 的通项公式为 an ? 4n ? 2,即 an }是a1 ? 2, 公差d ? 4 的等差数列. { 设 {bn } 的通项公式为 q, 则b1 qd ? b1 , d ? 4,? q ?

1 . 4

答案第 3 页,总 8 页

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故 bn ? b1 q n ?1 ? 2 ?

1 4
n ?1

, 即{bn }的通项公式为 bn ?

2 4 n ?1

.

(2)? c n ? a n ? 4n ? 2 ? (2n ? 1)4 n ?1 , 2 bn 4 n ?1

? Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? [1 ? 3 ? 41 ? 5 ? 4 2 ? ? ? (2n ? 1)4 n?1 ], 4Tn ? [1 ? 4 ? 3 ? 4 2 ? 5 ? 4 3 ? ? ? (2n ? 3)4 n ?1 ? (2n ? 1)4 n ]
两式相减得:

1 3Tn ? ?1 ? 2(41 ? 4 2 ? 4 3 ? ? ? 4 n ?1 ) ? (2n ? 1)4 n ? [(6n ? 5)4 n ? 5] 3 1 ? Tn ? [(6n ? 5)4 n ? 5]. 9
14. (1) an ? n . n ? N ) (
*

(2)见解析

3 (3) c2 ? 3

【解析】 【错解分析】 (1)对 2Sn ? an ? an 2 的转化,要借助于 an与sn 的关系。 (2)放缩法是此题的难点。 【正解】解:(1)由已知:对于 n ? N ,总有 2Sn ? an ? an 2 ①成立
*

∴ 2Sn?1 ? an?1 ? an?1

2

(n ≥ 2)②
2 2

①--②得 2an ? an ? an ? an?1 ? an?1 ∴ an ? an?1 ? ?an ? an?1 ??an ? an?1 ?

∵ a n , a n ?1 均为正数,∴ an ? an?1 ? 1 ∴数列 ?an ? 是公差为 1 的等差数列

(n ≥ 2)

又 n=1 时, 2S1 ? a1 ? a12 ,解得 a1 =1∴ an ? n . n ? N ) (
*

(2)证明:∵对任意实数 x ? ?1, e? 和任意正整数 n,总有 bn ?

ln n x an
2



1 . n2

∴ Tn ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? 1? ? ??? 2 ?n ? 1?n 1? 2 2 ? 3 1 2 n
1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 2? ? 2 2 2 3 n ?1 n n

? 1?1?

(3)解:由已知

a2 ? c1 ? 2 ? c1 ? 2 ,
2

答案第 4 页,总 8 页

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a 3 ? c 2 ? 3 ? c 2 ? 3 3 , a 4 ? c3 ? 4 ? c3 ? 4 4 ? 2 ,
3 4

a5 ? c 4 ? 5 ? c 4 ? 5 5
5

易得 c1 ? c2 , c2 ? c3 ? c4 ? ...

1 ? x ? ln x ln x 1 ? ln x x 猜想 n≥2 时, ?cn ? 是递减数列.令 f ?x ? ? , 则f ??x ? ? ? 2 x x x2
∵当 x ? 3时, x ? 1, 则 ? ln x ? 0,即f ??x ? ? 0. ln 1 ∴在 ?3,??? 内 f ?x ? 为单调递减函数. 由 a n ?1 ? c n
n ?1

知 ln c n ?

ln?n ? 1? . n ?1

∴n≥2 时, ?ln cn ?是递减数列.即 ?cn ? 是递减数列. 又 c1 ? c2 ,∴数列 ?cn ? 中的最大项为 c2 ? 3 3 .

1 4 16 15. a2 ? , a3 ? , a4 ? 3 9 27
【解析】

?1? n ? 1? ? an ? ? 1 ? 4 ? n ? 2 ? ? ? ? n ? 2? ?3 ? 3 ?

【错解分析】此题在应用 s n 与 an 的关系时误认为 an ? sn ? sn?1 对于任意 n 值都成立,忽略了对 n=1
的情况的验证。易得出数列

?an ? 为等比数列的错误结论。

【 正 解 】 易 求 得 a2 ?

1 4 16 1 1 , a 3 ? , a 4? 。 由 a1 ? 1, an ?1 ? sn 得 an ? sn ?1 ? n ? 2 ? 故 3 9 27 3 3 1 1 1 4 1 an ?1 ? an ? sn ? sn ?1 ? an ? n ? 2 ? 得 an ?1 ? an ? n ? 2 ? 又 a1 ? 1 ,a2 ? 故该数列从第 3 3 3 3 3

?1? n ? 1? ? 二项开始为等比数列故 an ? ? 1 4 n ? 2 。 ? ? ? ? ? ? n ? 2? ?3 ? 3 ?
l?m 时, s n 最大。 2 l ? m ?1 当 l ? m 为奇数时,当 n ? 时 s n 最大 2
16.故若 l ? m 为偶数,当 n ? 【解析】 【错解分析】等差数列的前 n 项和是关于 n 的二次函数,可将问题转化为求解关于 n 的二次函数的最大
值,但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。

【正解】由题意知 s n = f ? n ? ? na1 ?

n ? n ? 1? 2

d?

d 2 ? d? n ? ? a1 ? ? n 此函数是以 n 为变量的二次 2 2? ?

答案第 5 页,总 8 页

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函数,因为 a1

? 0 ,当 l ? m 时, sm ? sl 故 d ? 0 即此二次函数开口向下,故由 f ?l ? ? f ? m? 得当

x?
当l

l?m 2



f ? x ? 取得最大值,但由于 n ? N ? ,故若 l ? m 为偶数,当 n ?
l ? m ?1 时 s n 最大。 2
(Ⅱ) S2 n

l?m 2

时, s n 最大。

? m 为奇数时,当 n ?
1? 5 2

17. (Ⅰ) 0 ? q ?

? 3n

【解析】 【错解分析】对于等比数列的前 n 项和易忽略公比 q=1 的特殊情况,造成概念性错误。再者学生没有从
定义出发研究条件数列 {an

? an?1} 是公比为 q ( q ? 0 )的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数

列而找不到解题突破口。使思维受阻。

【 正 解 】 解 : I ) ∵ 数 列 {an ? an?1} 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 , ∴ an?1an?2 ? an an?1q , (

an?2 an?3 ? an an?1q 2



由 , 即

an an?1 ? an?1an?2 ? an?2 an?3
q2 ? q ?1 ? 0




an an?1 ? an an?1q ? an an?1q 2 ? 1 ? q ? q 2
0?q? 1? 5 2


q?0

), 解 得

(II) 由数列 {an

? an?1} 是公比为 q 的等比数列,得

a n?1 a n ? 2 a ? q ? n? 2 ? q ,这表明数列 {an } 的 a n a n?1 an

所有奇数项成等比数列,所有偶数项成等比数列,且公比都是 q ,又 a1

? 1 , a2 ? 2 ,∴当 q ? 1 时,

S 2 n ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a2n?1 ? a2n ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ) ? (a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n )

?

a1 (1 ? q n ) a2 (1 ? q n ) 3(1 ? q n ) , ? ? 1? q 1? q 1? q
? 1 时,

当q

S2n ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a2n?1 ? a2n ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ) ? (a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n )
? (1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1) ? (2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2) ? 3n . 2n 18. S n ? n ?1
【解析】
答案第 6 页,总 8 页

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【错解分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口,其次在裂项抵
消中间项的过程中,对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。

【 正 解 】 由 等 差 数 列 的 前

n

项 和 公 式 得

1? 2 ? 3 ??? n ?

n(n ? 1) 2

, ∴

1 1 1 1 2 1 1 ?, , ?, , ? ? 2( ? ) ,n 取 1 ,2 ,3 , 就分别得到 , 1 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n n(n ? 1) n n ?1
∴ Sn

? 2(1 ? ) ? 2( ? ) ? 2( ? ) ? ? ? 2( ?

1 2

1 2

1 3

1 3

1 4

1 n

1 ) n ?1

1 2n . )? n ?1 n ?1 19.(Ⅰ) k ? 4 ? 2(1 ?

(Ⅱ)见解析

【解析】 【错解分析】 本小题主要考查数列的基本知识, 以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第(Ⅱ)
时极易根据条件“对于一切正整数 k 都有 S
k2

? (S k ) 2 成立”这句话将 k 取两个特殊值确定出等差数列的

首项和公差,但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件,但不是条件成立的充分条 件。还应进一步的由特殊到一般。

【正解】解: (I)当 a1 ?
由S
k2

3 n(n ? 1) 3 n(n ? 1) 1 2 , d ? 1 时 S n ? na1 ? d ? n? ? n ?n 2 2 2 2 2
1 k 3 ( k ? 1) ? 0 又 k ? 0, 所以k ? 4 . 4

? (S k ) 2 , 得

1 4 1 k ? k 2 ? ( k 2 ? k ) 2 ,即 2 2
n2

(II)设数列{an}的公差为 d,则在 S

? (S n ) 2 中分别取 k=1,2,得

?S1 ? ( S1 ) 2 ? , ? ?S 4 ? ( S 2 ) 2 ?
由(1)得 若 a1 若 a1

?a1 ? a12 , ? 即? 4?3 2 ?1 2 d ? (2a1 ? d) ?4a1 ? 2 2 ?
d ? 0或d ? 6,
,

a1 ? 0或a1 ? 1. 当 a1 ? 0时, 代入(2)得

? 0, d ? 0, 则an ? 0, S n ? 0, 从而S k ? (S k ) 2 成立

2 ? 0, d ? 6, 则an ? 6(n ? 1),由S3 ? 18, (S3 ) 2 ? 324, S n ? 216 s9 ? (S3 ) , 故所 知

数列不符合题意.当 a1 ? 1 , 代入(2)得 时 若 a1

4 ? 6d ? (2 ? d ) 2 , 解得d ? 0或d ? 2

? 1, d ? 0, 则an ? 1, Sn ? n, 从而Sk 2 ? (Sk ) 2 成立;

若 a1 ? 1, d ? 2, 则an ? 2n ? 1, S n ? 1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 , 从而S ? (S n ) 2 成立 . 综上,共有 3 个满足条件的无穷等差数列: ①{an} : an=0,即 0,0,0,?;②{an} : an=1,即 1,1,1,?; ③{an} : an=2n-1,即 1,3,5,?,

20. (1)该数集不具有性质 P (2)见解析 (3)见解析 【解析】 【错解分析】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分类讨
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论等数学思想方法.本题是数列与不等式的综合题,属于较难层次题.

4 均不属于数集 ?1,3, 4? ,∴该数集不具有性质 P. 3 6 6 1 2 3 6 由于 1? 2,1? 3,1? 6, 2? 3, , , , , , 都属于数集 ?1,2,3,6? , ∴该数集具有性质 P. 2 3 1 2 3 6
【正解】 (Ⅰ)由于 3 ? 4 与 (Ⅱ)∵ A ? ?a1 , a2 ,?an ? 具有性质 P,∴ an an 与

an 中至少有一个属于 A, an an ? A ,∴ a1 ? 1 . an

由于 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ,∴ an an ? an ,故 an an ? A .从而 1 ?

∵ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an , ∴ ak an ? an ,故 ak an ? A? k ? 2,3,?, n? . 由 A 具有性质 P 可知

an a a a a ? A ? k ? 1, 2,3,?, n ? .又∵ n ? n ? ? ? n ? n , an an ?1 a2 a1 ak



an a a a ? 1, n ? a2 ,? n ? an?1 , n ? an , an an?1 a2 a1 an a a a a ? a2 ? ? ? an ? n ? ? ? n ? n ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an ,∴ ?11 ?1 ? an . ? an an?1 a2 a1 a1 ? a2 ? ? ? an 1 a5 a ? a2 , 5 ? a3 , 即 a5 ? a2 a4? 2 3 a, a4 a3


从而

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 n?5 时,有

1 ? a1 ? a2 ? ? ? a5 ,∴ a3a4 ? a2a4 ? a5 ,∴ a3a4 ? A ,由 A 具有性质 P 可知

a4 ? A .由 a3

2 得 a2a4 ? a3 ,

a3 a4 a a a a a a a 且 ∴ ∴ ? ? A , 1 ? 3 ? a2 , 4 ? 3 ? a2 , 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? a2 , a2 a4 a3 a2 a1 a2 a3 a3 a2

即 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 是首项为 1,公比为 a2 成等比数列.

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