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广东省六校2014届高三第一次联考文科数学试题


广东省六校 2014 届高三第一次联考试题
参考公式:球的体积公式是 V ? 棱锥的体积公式: V ?

4 ? R 3 ,其中 R 是球的半径. 3
1 Sh .其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高. 3

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

合 题目要求的. )
2 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x | ?2 ≤ x ≤ 3 , B ? x | x ? 3 x ? 4 ? 0 ,那么 A ? (CU B) ?

?

?

?

?

A. x | ?2 ≤ x ? 4 2.函数 y ? 2 sin(

?

?

B. x | x ≤ 3或x ≥ 4

?

?

C. x | ?2 ≤ x ? ?1

?

?

D. x | ?1 ≤ x ≤ 3

?

?

?
2

? 2 x) 是
B.最小正周期为 ? 的奇函数 D.最小正周期为

A.最小正周期为 ? 的偶函数 C.最小正周期为

? 的偶函数 2

? 的奇函数 2

3.已知命题 p : ? x ? 1 , x2 ? 1 ? 0 ,那么 ? p 是 A. ? x ? 1, x2 ? 1 ? 0 C. ? x ? 1 , x2 ? 1 ? 0 B. ? x ? 1, x2 ? 1 ? 0 D. ? x ? 1 , x2 ? 1 ? 0

4.已知 i 是虚数单位,则复数 z ? i3 ? (?1 ? 2i) 的虚部为 A. ?2 B. 2 C. ?1 D. 1

5.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的体积是 A. 4? B.

13? 3

C.

14? 3

D. 5?

?y≥ x ? 6.设变量 x, y 满足约束条件: ? x ? 2 y ≤ 2 ,则 z ? x ? 3 y ? 2 的 ? x ≥ ?2 ?
最小值为 A. ?2 B. ?4 C. ?6

第 5 题图

D. ?8

7.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 2n ,则 a2 ? a18 = A.36 B.35 C.34 D.33

8.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a 2 ? b2 ? 2bc , sin C ? 3sin B ,则 A ?
第 1 页(共 4 页)

A.

? 6
2? 3
B. n ? 6

B.

? 3
5? 6
C. n ? 7 D. n ? 8

C.

D.

9.若右边的程序框图输出的 S 是 126,则条件①可为 A. n ? 5

x2 y 2 ? =1 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P 是椭圆上任意一点, 4 3 ??? ??? ? ? 则 PF 1 ? PF 2 的取值范围是
10.椭圆 A. (0, 4] B. (0,3] C. [3, 4) D. [3, 4] 第 9 题图

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只需选做其中一 题,两题全答的,只以第一小题计分. ) 11.设平面向量 a ? ? 3,5? , b ? ? ?2,1? ,则 a ? 2b ?

?

?

?

?

. .

12.若直线 l 与幂函数 y ? xn 的图象相切于点 A (2,8) ,则直线 l 的方程为 13.已知函数 f ( x) ? ?

? cos ? x ? f ( x ? 1) ? 1

( x ≤ 0) 4 4 ,则 f ( ) ? f ( ? ) ? ( x ? 0) 3 3



★(请考生在以下二个小题中任选一题作答,全答的以第一小题计分) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,设曲线 C1 : ? ? 2sin ? 与 C2 : ? ? 2cos? 的交点分别为

A、B ,则线段 AB 的垂直平分线的极坐标方程为
15. (几何证明选讲选做题)如右图,从圆 O 外一点 A 引圆


B

C

O

的切线 AD 和割线 ABC ,已知 AD ? 2 3 , AC ? 6 , 圆 O 的半径为 3 ,则圆心 O 到 直线 AC 的距离为 .
A D

第 15 题图

三、解答题(本部分共计 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,请在指定区 域内作答,否则该题计为零分. ) 16. (本小题满分 12 分)
第 2 页(共 4 页)

1) 0) sin 已知平面直角坐标系上的三点 A(0, , B(?2, , C (cos ?, ? ) ( ? ? (0, ? ) ) O 为坐标原点, ,
向量 BA 与向量 OC 共线. (1)求 tan ? 的值; (2)求 sin ? 2? ?

??? ?

??? ?

? ?

??

? 的值. 4?

17. (本小题满分 12 分) 某小组共有 A、B、C、D、E 五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标(单位:千克/米 )
2

如下表所示: A 身高 体重指标 1.69 19.2 B 1.73 25.1 C 1.75 18.5 D 1.79 23.3 E 1.82 20.9

(1)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率; (2)从该小组同学中任选 2 人,求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9) 中的概率.

18. (本小题满分 14 分) 如右图,在底面为平行四边形的四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, D1D ? 底面 D1 B1 C1

ABCD , AD ? 1 , CD ? 2 , ?DCB ? 60? .
(1)求证:平面 A1BCD1 ? 平面 BDD1B1 ;

A1

D (2)若 D1D ? BD ,求四棱锥 D ? A1BCD1 的体积. A 第 18 题图 B

C

19. (本小题满分 14 分) 设 {an } 是各项都为正数的等比数列, ?bn ? 是等差数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 13 , a5 ? b3 ? 21 .

第 3 页(共 4 页)

(1)求数列 {an } , ?bn ? 的通项公式; (2)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求数列 {Sn ? bn } 的前 n 项和 Tn .

20. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C1 : y ? 8x 与双曲线 C2 :
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 有公共焦点 F2 ,点 A 是曲线 C1 , C2 在 a 2 b2

第一象限的交点,且 AF2 ? 5 . (1)求双曲线 C2 的方程; (2)以双曲线 C2 的另一焦点 F 为圆心的圆 M 与直线 y ? 3x 相切,圆 N : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 .过 1 点 P(1, 3) 作互相垂直且分别与圆 M 、圆 N 相交的直线 l1 和 l2 ,设 l1 被圆 M 截得的弦长为 s ,l2 被圆 N 截得的弦长为 t ,问:

s 是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由. t

21. (本小题满分 14 分) 已知 P ? x, y ? 为函数 y ? 1 ? ln x 图象上一点,O 为坐标原点,记直线 OP 的斜率 k ? f ? x ? . (1)若函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ? ? ? m ? 0? 上存在极值,求实数 m 的取值范围; (2)当 x ? 1 时,不等式 f ? x ? ?
n

? ?

1? 3?

t 恒成立,求实数 t 的取值范围; x ?1
*

(3)求证:

? ln[i ? (i ? 1)] ? n ? 2 ? n ? N ? .
i ?1

第 4 页(共 4 页)

广东省六校 2014 届高三第一次联考文科数学参考答案
一.选择题(10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 A 3 A 4 D 5 B 6 C 7 C 8 B 9 B 10 D

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. 5 2 14. ? sin(? ? 12. 12 x ? y ? 16 ? 0 13. 1

?
4

)?

2 (与其等价的极坐标方程皆可) 2

15. 5

三.解答题(本部分共计 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 12 分) 解: (1)法 1:由题意得: BA ? (2,1) , OC ? (cos? ,sin ? ) , …………………2 分 ∵ BA // OC ,∴ 2sin ? ? cos ? ? 0 ,∴ tan ? ?

??? ?

??? ?

??? ???? ?

1 . …………………5 分 2

法 2:由题意得: BA ? (2,1) , OC ? (cos? ,sin ? ) , …………………2 分 ∵ BA // OC ,∴ BA ? ?OC ,∴ ? (2)∵ tan ? ?

??? ?

??? ?

??? ???? ?

??? ?

??? ?

?2 ? ? cos ? 1 ,∴ tan ? ? .…………………5 分 2 ? 1 ? ? sin ?

1 ? ? 0 , ? ?[0, ? ) ,∴ ? ? (0, ) ,…………………6 分 2 2

? sin ? 1 ? ? 2 5 5 由 ? cos ? 2 ,解得 sin ? ? , cos ? ? , …………………8 分 5 5 ?sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ?
∴ sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ?

5 2 5 4 ? ? ;…………………9 分 5 5 5
4 1 3 ? ? ;…………………10 分 5 5 5

cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ?
∴ sin(2? ?

?
4

) ? sin 2? cos

?
4

? cos 2? sin

?

4 2 3 2 2 . …………………12 分 ? ? ? ? ? 4 5 2 5 2 10

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)从身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件有: (A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共 6 个.

第 1 页(共 5 页)

由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.…………………………4 分 选到的 2 人身高都在 1.78 以下的事件有:(A,B),(A,C),(B,C),共 3 个. 因此选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率为 P ? 1

3 1 ? .…………………………6 分 6 2

(2)从该小组同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D), (A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共 10 个. 由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.…………………………10 分 选到的 2 人身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有: (C,D),(C,E),(D,E),共 3 个. 因此选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为 P2 ? 18.(本题满分 14 分) 解: (1)证明: 在 ?ABD 中,由余弦定理得: BD ?

3 .………12 分 10

AD2 ? AB2 ? 2 AD ? AB cos ?DCB ? 3 ,

所以 AD 2 ? BD 2 ? AB 2 ,所以 ?ADB ? 90? ,即 AD ? BD ,……………………………………3 分 又四边形 ABCD 为平行四边形,所以 BC ? BD , 又 D1D ? 底面 ABCD , BC ? 底面 ABCD ,所以 D1D ? BC ,……………………………………4 分 又 D1D ? BD ? D ,所以 BC ? 平面 BDD1B1 , ……………………………………5 分 又 BC ? 平面 A BCD1 ,所以平面 A1BCD1 ? 平面 BDD1B1 .……………………………………6 分 1 D1 C1 (2)法一:连结 BD1 ,∵ DD1 ? BD ? 3 ,∴ BD1 ? 6 A1 B1 ∵ BC ? 平面 BDD1B1 ,所以 BC ? BD1 ,……………………………8 分 M 所以四边形 A1BCD1 的面积 S A1BCD1 ? 2 ?

1 ? BC ? BD1 ? 6 ,…………10 分 2
A

D B
解法一图

C

6 取 BD1 的中点 M ,连结 DM ,则 DM ? BD1 ,且 DM ? , 2
又平面 A1BCD1 ? 平面 BDD1 ,平面 A1BCD1 ? 平面 BDD1 ? BD1 , 所以 DM ? 平面 A BCD1 ,……………………………………13 分 1 所以四棱锥 D ? A1BCD1 的体积:

D1 A1 B1

C1

1 V ? ? S A1BCD1 ? DM ? 1 . ……………………………………14 分 3
法二: 四棱锥 D ? A1BCD1 的体积V ? VD? A1BD1 ? VD?BCD1 ,……………8 分 A 而三棱锥 D ? A1BD1 与三棱锥 D ? BCD1 底面积和高均相等,……………10 分 所以V ? VD? A1BD1 ? VD?BCD1 ? 2VD?BCD1 ? 2VD1 ? BCD ? 2 ? ? S BCD ? DD1 ? 1 .
第 2 页(共 5 页)

D B
解法二图

C

1 3

……………………14 分

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)设数列 {an } 的公比为 q (q ? 0), 数列 ?bn ? 的公差为 d ,

?1 ? 2d ? q 4 ? 21 ? 依题意得: ? , 2 ?1 ? 4d ? q ? 13 ?

………………………………………………2 分

消去 d 得 2q4 ? q2 ? 28 ? 0 ? (q2 ? 4)(2q2 ? 7) ? 0 ,………………………………………………3 分 ∵q ? 0 ∴ an ? 2 ∴ q ? 2 ,由 q ? 2 可解得 d ? 2 ………………………………………………4 分
n?1

, bn ? 2n ?1. ………………………………………………5 分
n

(2)由(1)得 Sn ? 2 ? 1 ,所以有:

Tn ? S1b1 ? S2b2 ? L ? Snbn ? (21 ?1)b1 ? (22 ?1)b2 ? L ? (2n ?1)bn

? 21 ? b1 ? 22 ? b2 ? L ? 2n ? bn ? (b1 ? b2 ? L ? bn ) ………………………………………………7 分
令 S ? 2 ? b1 ? 2 ? b2 ? L ? 2 ? bn ①
1 2 n

则 2S ? 2 ? b1 ? 2 ? b2 ? L ? 2
2 3

n?1

? bn ②

①-②得: ?S ? 21 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 L ? 2 ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1, …………………………………………10 分

?S ? 2(1 ? 22 ? 23 ? L ? 2n ) ? (2n ?1)2n?1 ? 2[1 ? 22 (2n?1 ?1)] ? (2n ?1) ? 2n?1
∴ S ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? 6, ………………………………………………12 分 又 b1 ? b2 ? L ? bn ? ∴ Tn ? (2n ? 3) ? 2
n?1

n(1 ? 2n ? 1) ? n 2 ,………………………………………………13 分 2

? 6 ? n2 . ………………………………………………14 分

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)∵ 抛物线 C1 : y ? 8x 的焦点为 F2 (2,0) ,
2

∴ 双曲线 C2 的焦点为 F1 (?2,0) 、 F2 (2,0) ,………………………………………………1 分
2 设 A( x0 , y0 ) 在抛物线 C1 : y ? 8x 上,且 AF2 ? 5 , 2 由抛物线的定义得, x0 ? 2 ? 5 ,∴x0 ? 3 ,∴ y0 ? 8 ? 3 ,∴ y0 ? ?2 6 ,…………………………3 分

∴| AF1 |?

(3 ? 2) 2 ? (?2 6) 2 ? 7 ,………………………………………………4 分

又∵ A 在双曲线 C2 上,由双曲线定义得: 点

第 3 页(共 5 页)

2a ?| 7 ? 5 |? 2 ,∴a ? 1 , ∴ 双曲线 C2 的方程为: x 2 ?
(2)

y2 ? 1.………………………………6 分 3

s 为定值.下面给出说明. t

设圆 M 的方程为: ( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 , ∵ M 与直线 y ? 3x 相切, 圆 ∴ M 的半径为 r ? 圆

2 3 1? ( 3 )
2

? 3 ,故圆 M : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 . ………………………………7 分

显然当直线 l1 的斜率不存在时不符合题意,………………………………………………8 分 设 l1 的方程为 y ? 3 ? k ( x ?1) ,即 kx ? y ? 3 ? k ? 0 , 设 l2 的方程为 y ? 3 ? ?

1 ( x ? 1) ,即 x ? ky ? 3k ?1 ? 0 , k

∴ F 到直线 l1 的距离为 d1 ? 点 1

| 3k ? 3 | 1? k 2



点 F2 到直线 l2 的距离为 d 2 ?

| 3k ? 1| 1? k 2

,………………………………………………10 分
2

? 3k ? 3 ? 6 3k ? 6k 2 ∴ 直线 l1 被圆 M 截得的弦长 s ? 2 3 ? ? ,……………………………11 分 ? 1? k 2 ? ? 2 ? 1? k 2 ? ? ? 3k ? 1 ? 2 3k ? 2k 2 直线 l2 被圆 N 截得的弦长 t ? 2 1 ? ? ,……………………………12 分 ?2 ? 1? k 2 ? ? 1? k 2 ? ?
s s 6 3k ? 6k 2 6( 3k ? k 2 ) ∴ ? ? ? 3 , 故 为定值 3 . ………………………………14 分 2 2 t t 2 3k ? 2k 2( 3k ? k )
21.(本题满分 14 分) 解: (1)由题意 k ? f ? x ? ? 所以 f ? ? x ? ? ? ?
2

1 ? ln x , x ? 0 ……………………………………1 分 x
…………………………………………2 分

1 ? ln x ?? ln x ? ?? 2 x ? x ?

当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减, 故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极大值. …………………………………………3 分

因为函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ? ? (其中 m ? 0 )上存在极值,

? ?

1? 3?

第 4 页(共 5 页)

?0 ? m ? 1 2 ? ?2 ? 1? 所以 ? ,得 ? m ? 1 .即实数 m 的取值范围是 ? , . 1 3 ?3 ? ?m ? 3 ? 1 ?
(2)由 f ? x ? ? 则 g?? x ? ?

……………4 分

t ? x ? 1??1 ? ln x ? ,令 g x ? ? x ? 1??1 ? ln x ? , 得t ? ? ? x ?1 x x
……………………………………………………6 分

x ? ln x . x2

令 h ? x ? ? x ? ln x ,则 h? ? x ? ? 1 ?

1 1? x = , x x

, 因为 x ? 1, 所以 h? ? x ? ? 0 ,故 h ? x ? 在 ?1 +?? 上单调递增.……………………7 分
所以 h ? x ? ? h ?1? ? 1 ? 0 ,从而 g? ? x ? ? 0

g ? x ? 在 ?1, ? 上单调递增, g ? x ? ? g ?1? ? 2 +?
所以实数 t 的取值范围是 ? ??,2? . (3)由(2) 知 f ? x ? ? 即 …………………………………………9 分

2 恒成立, x ?1
……………………11 分

1 ? ln x 2 x ?1 2 2 ? ? ln x ? ? 1? ? 1? x x ?1 x ?1 x ?1 x

令 x ? n ? n ? 1? , 则 ln[n ? n ? 1?] ? 1 ? 所以 ln ?1 ? 2 ? ? 1 ?

2 ,……………………12 分 n ? n ? 1?

2 2 2 , ln ? 2 ? 3? ? 1 ? ,……, ln n ? n ? 1? ? 1 ? . n ? n ? 1? 1? 2 2?3

将以上 n 个式子相加得:

? ln[i(i? 1)] ? n ? 2 ?1? 2 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? n ? 1? ?
i ?1

n

? 1 ?

1

1

? ?

1 ? ? ? n ? 2 ?1 ? ? ? n ? 2, ? n ?1 ?


? ln[i(i? 1)] ? n ? 2 ? n ? N ? .
n * i ?1

…………………………………14 分

(解答题的其他解法可酌情给分)

第 5 页(共 5 页)


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