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高中数学 2.4.1抛物线及其标准方程课件 新人教A版选修2-1


y

x

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 二次函数

的图象是怎样的?
b 是一条抛物线,对称轴为 x ? ? 2a b 4ac ? b2 ) 顶点坐标为 (? , 2a 4a

取一定点F与定直线 l,H是 l上任意 一点,过H作MH? l,线段FH的垂直平 分线 m

交MH于点M,拖动点H,点M 的轨迹就是抛物线.

Ctrl+Alt+M=菜单栏;Ctrl+Alt+T=工具栏;Ctrl+Alt+S=滚动条;

l M

F

平面内与一个定点F和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
定点F叫做抛物线的焦点. 定直线 l叫做抛物线的准线.

一、抛物线的定义:

人教A版数学· 选修2-1

第2章 圆锥曲线与方程

在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. 点F叫抛物线的焦点,

H

d

M

·

C

·
F

焦 点

准线

l e=1

直线l 叫抛物线的准线

d 为 M 到 l 的距离
MF ? 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线. 即:若 d 那么如何建立坐标系,使抛物线的方程更简 单,其标准方程形式怎样?
新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
新疆
源头学子 小屋
http://w ww .xj ktyg.com/w xc/

6
特级教师 王新敞
w xckt@126.com

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l

y
M

(x,y)

第一步 建立直角坐标系
p x?? 2

设F在直线l上的垂足为K,以 FK的中点为坐标原点,以KF 为x轴,建立直角坐标系. 第二步 设点 设|KF|=p(p>0), 设M(x, y) p 那么焦点F的坐标为 ( , 0) p 点M到l的 2 x?? 准线l上的方程为 2 距离为d

K O

p F ( , 0) 2

x

第三步 列式
由定义可得抛物线就是点的 我们通过图象可 集合 P ? {M || MF |? d} 知,这个抛物线

l

y
M

(x,y)

第四步
即:

第五步 化简 得 y 2 ? 2 px( p ? 0)

的标准方程只表 代坐标示开口向右的抛 物线,那么其它 p 2 几种开口方向的 p 2 ( x ? ) ? y ?| x ? | 2 抛物线方程又是 2 怎样?

p x?? 2

K O

p F ( , 0) 2

x

抛物线的标准方程

其中p表示焦点到准线的距离.

开口 向右

一次 项x

二次 系数 项y 为正

开口 向上

一次 项y

二次 系数 项x 为正

开口 向左

一次 项x

二次 系数 项y 为负
y y

开口 向下

一次 项y

二次 系数 项x 为负

2 2 xy2? 22 px ? py py 标准方程 y 2 ? ?2 px

对称轴
o o
x x

y轴 x轴 y轴 x轴

x

pp ) p (0, ) ( 焦点坐标 (- ?, 0) 22 2 p p y x?? p y? x?? 2 ? 准线方程 2 2

开口方向 标准方程 焦点坐标准线方程
向右 向左 向上 向下
p 2 y ? 2 px ( , 0) 2 p y ? ?2 px ( ? , 0) 2
2

p x?? 2 p x? 2

p x ? 2 py (0, 2 )
2

p y?? 2 p y? 2

口诀: 一次项定 轴,系数 定方向; 焦点与方 程同号, 准线与方 程异号.

p x ? ?2 py (0, ? 2 )
2

y2 ? 6x , (1)已知抛物线的标准方程是

求它的焦点坐标和准线方程;
2 p ? 6, 故p ? 3,焦点在x轴正方向 3 3 所以抛物线的焦点坐标是( , 0),准线方程是x ? ? 2 2

(2)已知抛物线的焦点是F(0,-2),求它的标准方 程. p
焦点在y轴负方向,且 2 2 所以抛物线的方程为x ? ?8 y ? 2,故p ? 4

求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:

(1) y ? 20 x;
2

(1)2p=20,故p=10, 焦点在x轴正方向, 焦点(5,0),准线为x=-5 1 1 (2)2p= ,故p= , 4 2 焦点在y轴正方向, 焦点
1 (0, ) 8 ,准线为

1 (2) x ? y; 2
2

1 y?? 8

求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:

(3)2 y ? 5x ? 0;
2

(4) x ? 8 y ? 0.
2

(3)先化为标准方程

(4)先化为标准方程

5 y ?? x 2 5 5 2p= ,故p= , 4 2
2

x ? ?8 y
2

2p=8,故p=4, 焦点在x轴负方向, 焦点(0,-2),准线为y=2

焦点在x轴负方向,

焦点

5 (? , 0) ,准线为 8

5 x? 8

根据下列条件写出抛物线的 标准方程:(1)焦点是F(3,0);(2)准线方程是
(1) y 2 ? 12x x=-1/4;
(2) y 2 ? x
2

(3)焦点到准线的距离是2.

焦点在x轴负方向:y ? ?4 x
2

焦点在x轴正方向:y ? 4x
2

焦点到准线距离为p ? 2

焦点在y轴正方向:x ? 4 y 2 焦点在y轴负方向:x ? ?4 y

一种卫星接收天线的轴截面如图所 示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛 物线的接收天线,经反射聚集到焦点处.已知 接收天线的口径为4.8m,深度为0.5m,求抛物 线的标准方程和焦点坐标.

y o

A

Fx
B

解:如图,建立直角坐标系, 设抛物线的标准方程是 y2=2px(p>0). 易知A (0.5,2.4),代入方程得 2.42=2p×0.5 p=5.76.

y o

A

Fx
B

所以,所求抛物线为y2=11.52x, 焦点坐标为(2.88,0).

抛物线的定义 抛物线的标准方程
y 2 ? 2 px, p ? 0) ( y 2 ? ?2 px, p ? 0) (

x ? 2 py(p ? 0) ,
2

x ? ?2 py(p ? 0) ,
2

课后再做好复习巩固.
谢谢!

再见!
王新敞 特级教师 源头学子小屋
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新疆奎屯
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王新敞
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