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高中数学椭圆及其标准方程教案(第一课时)新人教版选修2[1]


椭圆及其标准方程 教学目标: 理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程,以及 a,b,c 三者的关系 教学重点:椭圆的定义及标准方程 教学难点:标准方程的推导 教学过程: 一、引入 师:同学们,我们上两节课学习了方程与曲线的关系,把几何图形与坐标进行了挂钩,也即 是一条曲线满足某个方程, 我们就知道满足这个方程的点一定在这条曲线上, 这条曲线上的 点一定能满足这个方程,我们同时还学习了求一条曲线的方程一般步骤:建系,写出点的坐 标的集合,建立方程,化简方程,检验。曲线在我们是生活中到处可见,其中有不少都是非 常有规则的,具有一些特殊性质的曲线,今天我们将要学习一种特殊的曲线,在学习之前我 们先来看一段小视频。 这个是我们神六飞行的一些片段, 好通过这个视频同学们可以看到神六绕地飞行的轨迹 是一个椭圆,我们知道除了神六,我们太阳系里的行星绕太阳飞行的轨迹也是椭圆,椭圆在 我们的生活中也是随处可见。 既然椭圆在生活中是如此的常见,人们是怎么准确的画出椭圆的呢?在画椭圆之前同学 们回忆一下我们是怎样画圆的?定出圆心,去半径长,绕着圆心画一圈就可以了,对比圆, 椭圆会不会有相似的画法呢? 同学们看一看课本的探究活动,前面一部分同学们应该都清楚那是一个圆,我们现在来 看后一部分,把细绳两端拉开一段距离,固定,拉紧绳子,移动笔尖,同学们想想,在这个 过程中什么是不变的?(绳子长) ,对,鉴于用绳子操作起来比较麻烦,通过几何画板来给 同学们演示一下。 画板上有固定的两点 F1,F2,M 三个点,现在我们保持 MF1+MF2 不变,同学们观察 M 点会画出怎样的一条轨迹,留意这几个数字的变化。 根据这一变化,我们给椭圆下个定义: 平面内到两个定点的 F1,F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 问:为什么这个常数要大于|F1F2|?如果没有这个限制会出现什么样的情况呢? 生:学生讨论 师:好我们现在同样通过几何画板来看看。 我们可以看到当等于|F1F2|是轨迹是线段 F1F2,当小于|F1F2|时,这样的 M 点不存在。
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师:给 F1,F2 这两个点一个新名词,叫做椭圆的焦点,而这两点的距离叫做是椭圆的 焦距。 为了书写方便我们规定|F1F2|=2c,MF1+MF2=2a,再重述遍椭圆的定义 师:椭圆的定义已经给出,椭圆也是一条曲线,他有没有方程呢?再回忆一下求曲线方程 的一般步骤。 生:回答求曲线方程的步骤 师:现在我们要求椭圆的方程,第一步就是要建系,我们应该怎样来建立坐标系呢? 生:同学们各抒己见,最后得出

以 F1,F2 所在直线为 x 轴,线段 F1F2 的中点为原点建立直角坐标系,最后选 定方案,如图 2-27,推导出方程.

以 F1,2 所在直线为 y 轴, F 线段 F1F2 的中点为原点建立直角坐标系, 如图 2-26;

师:我们选择方案一来推导椭圆的方程

解 1)建系:以 F1,F2 所在直线为 x 轴,线段 F1F2 的中点为原点建立直角坐 标系,并设椭圆上任意一点的坐标为 M(x,y), 设两定点坐标为: F1(-c,0),F2(c,0),

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2)则 M 满足:|MF1|+|MF2|=2a,

4)化简. 师:我们要化简方程就是要化去方程中的根式,你学过什么办法? 生:化去方程中的根式应该用移项平方、再移项再平方的办法. 师:好,下面我们就一起来完成这部分计算.(师生共同完成)

a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,整理得: (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2). 师:到此我们已经推导出了椭圆的方程,但此形式还不够简洁,且 x,y 的 系数形式不一致, 为了使方程形式和谐且便于记忆和使用,我们应该如何将方程 进行变形呢? 学生此时可能还不理解,教师可启发学生观察图形如图 2-28,看看 a 与 c 的关系如何?

师:请结合图形找出方程中 a、c 的关系. 生:根据椭圆定义知道 a2>c2,且如图所示,a 与 c 可以看成 Rt△MOF2 的斜 边和直角边. 师:很好!那我们不妨令 b2=a2-c2,则方程就变形为 b2x2+a2y2=a2b2,如果再化 简,你会得到什么形式的方程呢?

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师:其中 a 与 b 的关系如何?为什么? 生:a>b>0,因为 a 与 b 分别是 Rt△MOF2 的斜边、直角边. 教师指出(*)式就是焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程,最后说明: 1)方程中条件 a>b>0 不可缺少(结合图形),当 a=b>0 时,就化成圆心在 原点的圆的方程 2)b 的选取虽然是为了方程形式简洁与和谐,但也有实际的几何意义,即: b =a -c2;
2 2

3)请学生猜想: 若用方案二(即焦点在 y 轴上),得到的方程形式又如何呢?

如果此处学生不能给出,教师将自行给出

师:请同学们课后进行推导验证. 师:此时方程中 a 与 b 的关系又如何?(结合图形请学生将条件 a>b>0 补 上.)
师:像这种焦点在坐标轴上建立起来的椭圆的方程,我们称之为椭圆的标准方程。 师:下面我们来对比一下,椭圆两个标准方程的异同 定 图 义 形 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)

方 焦

程 点

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a,b,c 之间的关系

师:现在我们来看课本的例 1 例 2:设 F1,F2 为顶点,|F1F2|=6,动点 M 的满足|MF1|+|MF2|=8,求动点 M 的轨迹。

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