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一元二次方程2


第 课题:22.1 教材 简析









课时

一元二次方程 2

1、一元二次方程根的概念; 2、?根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题 目。

学情 分析 教 学 分 析

知识与能力:了解一元二次方程根的概念,会判定一个数是否是一个一元二次方程 的根及利用它们解决一些具体问题。 过程与方法:提出问题,根据问题列出方程,化为一元二次方程的一般形式,列式 求解;由解给出根的概念;再由根的概念判定一个数是否是根.同时应用以上的几 个知识点解决一些具体问题。 情感态度价值观:领会降次──转化的数学思想。

重、 难 1、教学重点:判定一个数是否是方程的根; 点 分 2、教学难点关键:由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根 析 是否确定是实际问题的根。 教 与 多媒体演示. 学 的 准备 教学过程 一、复习引入 学生活动:请同学独立完成下列问题。 问题 1、前面有关“执竿进屋”的问题中,我们列得方程 x 2 ? 8x ? 20 ? 0 列表:

x
x 2 ? 8x ? 20 ? 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

… …

问题 2、前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程 x 2 ? 7 x ? 44 ? 0 即 x 2 ? 7 x ? 44

列表:

x
x 2 ? 7 x ? 44

1

2

3

4

5

6

… …

老师点评(略)

二、探索新知 提问: (1)问题 1 中一元二次方程的解是多少?问题 2?中一元二次方程的解是多少? (2)如果抛开实际问题,问题 2 中还有其它解吗? 老师点评: (1)问题 1 中 x =2 与 x =10 是 x 2 ? 8x ? 20 ? 0 的解,问题 2 中, x =4 是
x 2 ? 7 x ? 44 ? 0 的解。

(2)如果抛开实际问题,问题 2 中还有 x =-11 的解。 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 回过头来看: x 2 ? 8x ? 20 ? 0 有两个根,一个是 2,另一个是 10,都满足题意;但是, 问题 2 中的 x =-11 不满足题意。因此,由实际问题列出方程并解得的根,并不一定是实际 问题的根,还要考虑这些根是否确实是实际问题的解。 例 1、下面哪些数是方程 2 x 2 ? 10x ? 12 ? 0 的根? -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4。 分析:要判定一个数是否是方程的根,只要把其代入等式,使等式两边相等即可。 解:将上面的这些数代入后,只有-2 和-3 满足方程的等式,所以 x =-2 或 x =-3 是一元二次方程 2 x 2 ? 10x ? 12 ? 0 的两根。 例 2 、若 x =1 是关于 x 的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的一个根,求代数式 2007(a+b+c)的值。 练习:关于 x 的一元二次方程 (a ? 1) x 2 ? x ? a 2 ? 1 ? 0 的一个根为 0,则求 a 的值。 点拨:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种 解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解。 例 3、你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗? (1) x 2 ? 64 ? 0 (2) 3 x 2 ? 6 ? 0 (3) x 2 ? 3x ? 0

分析:要求出方程的根,就是要求出满足等式的数,可用直接观察结合平方根的意义。 解:略 三、巩固练习 教科书 P28 思考题 练习 1、2。

四、应用拓展 例 3、要剪一块面积为 150cm2 的长方形铁片,使它的长比宽多 5cm,?这块铁片应该

怎样剪? 设长为 x cm,则宽为( x -5)cm 列方程 x ( x -5)=150,即 x 2 ? 5x ? 150=0,请根据列方程回答以下问题: (1) x 可能小于 5 吗?可能等于 10 吗?说说你的理由. (2)完成下表:

x
x 2 ? 5x ? 150=0

10

11

12

13

14

15

16

17



(3)你知道铁片的长 x 是多少吗? 分析: x 2 ? 5x ? 150=0 与上面两道例题明显不同,不能用平方根的意义和八年级上册 的整式中的分解因式的方法去求根,?但是我们可以用一种新的方法求出该方程的根。 解: (1) x 不可能小于 5。理由:如果 x <5,则宽( x -5)<0,不合题意。

x 不可能等于 10。理由:如果 x =10,则面积 x 2 ? 5x ? 150 =-100,也不可能。
(2)

x
x 2 ? 5x ? 150=0

10 -100

11 - 84

12

13

14

15

16 26

17 54

… …

-66 -46 -24 0

(3)铁片长 x =15cm 五、归纳小结(学生归纳,老师点评) 本节课应掌握: (1)一元二次方程根的概念; (2)要会判断一个数是否是一元二次方程的根; (3)要会用一些方法求一元二次方程的根。 六、布置作业 1、教科书 P28 习题 22.1 中的复习巩固 3、4 2、选用课时作业设计。 作业设计 一、选择题: 1、方程 x ( x -1)=2 的两根为…………………………………………( A x 1=0, x 2=1 B x 1=0, x 2=-1 C x 1=1, x 2=2 ) 综合运用 5、6、7 拓广探索 8、9。

D x 1=-1, x 2=2

2、方程 ax( x ? b) ? (b ? x) ? 0 的根是……………………………………( A x 1=b, x 2=a B x 1=b, x 2=
1 a



C x 1=a, x 2=

1 a

D x 1=a2, x 2=b2

3、已知 x =-1 是方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的根( b ? 0 ) ,则 A 1 二、填空题 B -1 C 0 D 2

a c ? =……( ) b b

1.如果 x 2 ? 81 ? 0 ,那么 x 2 ? 81 ? 0 的两个根分别是 x =____, x =_____。 2.已知方程 5x 2 ? mx ? 6 ? 0 0 的一个根是 x =3,则 m 的值为________。 3.方程 ( x ? 1) 2 ? 2x( x ? 1) ? 0 ,那么方程的根 x 1=______; x 2=_____。 三、综合提高题 1、如果 x =1 是方程 ax2 ? bx ? 3 ? 0 的一个根,求(a-b)2+4ab 的值。 2、如果关于 x 的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 中的二次项系数与常数项之和等 于一次项系数,求证:-1 必是该方程的一个根。 板书设计

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