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福建省福州三中2014届高三8月月考数学(文)试卷


2013~2014 学年 福州三中高三数学(文科)第二次月考试卷 2013.08.28
本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: (1) 答卷前,考生务必用 0.5mm 黑色签字笔将自己的班级、姓名、座号填写在试 卷和答卷的密封线外。 (2) 请考生认真审题, 将试题的答案正确书写在答卷上的指定位置, 并认真检查以 防止漏答、错答。 (3) 考试中不得使用计算器。 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1. 设 M ? {x | x ? 1}, N ? {x | x ? 4} ,则 M ∩ N =( ) A. {x | ?1 ? x ? 2} B. {x | ?3 ? x ? ?1} C. {x |1 ? x ? ?4} D. {x | ?2 ? x ? 1}
2

2. 已知 i 为虚数单位, 则复数 z ? i (2 ? i ) 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 3. 已知 cos 2? ? A. B.第二象限 C.第三象限 ) C.



) D.第四象限

1 2

1 2 ,则 sin ? 等于( 4 3 B. 4

5 8


D. )

3 8

4. 已知向量 a ? (n,1) , b ? (4, n) ,则 n ? 2 是 a / / b A.充分不必要条件 C.充要条件 5. 已知函数 f ( x) ? sin(? x ?

?
3

B.必要不充分条件 D.既不充分又不要必条件

)(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象(



6..设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A.若 ? ? ? , m ? ? ,则 m // ? B.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? C.若 m ? ? , n // m ,则 n ? ? D.若 m // ? , n // ? ,则 m // n 7. 下 列 结 论 错 .误 .的 .是 ( ) A . 命 题 “若 p 则 q ”与 命 题 “ 若 ?q 则 ?p ”互 为 逆 否 命 题 ;
x 2 B . 命 题 p : ? x ?[ 0 , 1]e , ?, 1命 题 q : ? x ? R, x ? x?1 ?0则 , p ? q为真; 2 2 C . “ 若 am ? bm , 则 a ? b ” 的 逆 命 题 为 真 命 题 ;

? ,0)对称 3 ? C. 关于点( ,0)对称 4
A. 关于点(

? 对称 4 ? D. 关于直线 x= 对称 3
B. 关于直线 x=

D . 若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题.

8.若向量 | a |? 1, | b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为 ( A.30° B.60° C.120°
主视图



D.150°
左视图

9. 已知一个空间几何体的三视图如图所示, 根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个 几何体的体积是( ) A.2 B.3 C .4 D.8 10. 若点 A(a, b) 在第一象限,且在直 线 x ? y ? 1 ? 0 上,则 A.8

2 2 2

1 4 ? 的最小值为( a b
C.10

) D.12
俯视图

4

B.9

? x ? y ? 0, ?2 x ? y ? 2, ? 11. 若不等式组 ? 表示的平面区域是一个四边形,则 a 的取值范围是( ) y ? 0 , ? ? ?x ? y ? a 4 4 4 A. a ? B. 0 ? a ? 1 C. 0 ? a ? 1 或 a ? D. 1 ? a ? 3 3 3
12. 若存在正数 x 使 2x ( x ? a) ? 1 成立,则 a 的取值范围是( A.(-∞,+∞) B. (-2, +∞) C. (0, +∞) )

D.(-1,+∞)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在相应横线上.)
2 13. 若关于 x 的不等式 m ? x ?1? ? x ? x 的解集为 x 1 ? x ? 2 ,则实数 m 的值为

?

?



14. 用斜二测画法画一个边长为 2 的正三角形的直观图,则此直观图面积的为_____. 15. 已知 y ? f ( x) 是偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 成立,则 m ? n 的最小值是___________. 16.一种平面分形图的形成过程如下图所示,第一层是同一点出发的三条线段,长度均为 1, 每两条线段夹角为 120°;第二层是在第一层的每一条线段末端,再生成两条与该线段成 120°角的线段,长度不变;第三层 按第二层的方法再在第二层每一条 线段的末端各生成两条线段;重复 前面的作法,直至第 7 层,则分形 图第 7 层各条线段末端之间的距离的最大值为______

4 ,且当 x ? [?3, ?1] 时, n ? f ( x) ? m 恒 x

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 为始边,角 ? 的终边与单位圆 O 的交点 B 在第一象限, y 已知 A(?1,3) . (Ⅰ)若 OA ? OB ,求 tan ? 的值. (Ⅱ)若 B 点横坐标为

A(-1,3)

4 ,求 S?AOB . 5

O

x

Ks5u 18.(本小题满分 12 分) 如 图 , 直 角 梯 形 ACDE 与 等 腰 直 角 ?ABC 所 在 平 面 互 相 垂 直 ,

F 为 BC 的 中 点 ,

?BAC ? ?ACD ? 90?, AE / / CD, DC ? AC ? 2 AE ? 2
(Ⅰ)求证: AF / / 平面BDE ; (Ⅱ)求四面体 B ? CDE 的体积. D

E

C F A 第 18 题图 B

19.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 5, a5 ? a7 ? 22 . ?an ? 的前 n 项和为 Sn 。 (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn ? 2 n?1 an (n ? N * ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

Ks5u

20.(本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,且 c ? 3a sin C ? c cos A . (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)设 a ? 3 ,求 b ? c 的最大值.

21.(本小题满分 12 分) 国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款, 旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学 习期间所需的学费、住宿费及生活费 . 每一年度申请总额不超过 6000 元 . 某大学 2010 届毕业生王某在本科期间共申请了 24000 元助学贷款,并承诺在毕业后 3 年内(按 36 个月计)全部还清 . 签约的单位提供的工资标准为第一年内每月 1500 元,第 13 个月开始,每月工资 比前一个月增加 5% 直到 4000 元 . 王某计划前 12 个月每个月还款额为 500 ,第 13 个月 开始,每月还款额比前一月多 x 元 . (Ⅰ)用 x 和 n 表示王某第 n 个月的还款额 an ; (Ⅱ)若王某恰好在第 36 个月(即毕业后三年)还清贷款,求 x 的值; (Ⅲ)当 x ? 40 时,王某将在第几个月还清最后一笔贷款?他当月工资的余额是否能满 足每月 3000 元的基本生活费? (参考数据: 1.0518 ? 2.406,1.0519 ? 2.526,1.0520 ? 2.653,1.0521 ? 2.786 )

Ks5u

22.(本小题满分 14 分)

a ( a ? R , e 为自然对数的底数). ex (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅲ)当 a ? 1 时,若直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ( x) 没有公共点,求 k 的最大值.
已知函数 f ( x) ? x ? 1 ?

2013~2014 学年 福州三中高三数学(文科)第二次月考答案
一、选择题: 1-6 DBDAAC 7-12 CCCBDD 二、填空题: 13.2 14.

6 4

15. 1

16. 7 3

三、解答题: 17(本小题满分 12 分)Ks5u

OA ? (?1,3) , OB ? (cos ? ,sin ? ) 1 OA ? OB ,得 OA ? OB ? 0 ∴ ? cos ? ? 3sin ? ? 0 , tan ? ? 3 解法 2、由题可知: A(?1,3) , B(cos ? ,sin ? ) kOA ? ?3 , kOB ? tan ? 1 ∵ OA ? OB ,∴ KOA ? KOB ? ?1得 ?3 tan ? ? ?1 , 得 tan ? ? 3 ? 2 2 ⑵解法 1:由⑴ OA ? (?1) ? (3) ? 10 , 记 ?AOx ? ? , ? ? ( , ? ) 2 4 3 3 10 ?1 10 ∴ sin ? ? , cos ? ? ∵ OB ? 1 cos ? ? , ? ?? 5 10 10 10 10
⑴解法 1:由题可知: A(?1,3) , B(cos ? ,sin ? ) ,

3 3 10 4 10 3 3 10 sin ?AOB ? sin( ? ? ? ) ? ? ? ? ? 5 10 5 10 5 10 1 1 3 10 3 ? ∴ S?AOB ? AO BO sin ?AOB ? ? 10 ?1? ……12 分 2 2 2 10 3 4 3 2 解法 2: sin ? ? 1 ? cos ? ? 即 B( , ) 5 5 5 4 3 即: OA ? (?1,3) , OB ? ( , ) , 5 5 4 3 ?1? ? 3 ? OA ? OB 5 5 ? 10 OA ? (?1) 2 ? (3) 2 ? 10 OB ? 1 , cos ?AOB ? ? , 10 10 ?1 OA OB
得 sin ? ? 1 ? cos ? ?
2

sin ?AOB ? 1 ? cos 2 ?AOB ?
则 S?AOB

3 10 10 1 1 3 10 3 ? AO BO sin ?AOB ? ? 10 ?1? ? 2 2 10 2

……12 分

18.(本小题满分 12 分)

(1)证:取 BD 的中点 P ,连接 EP 、 FP ,则 PF 为中位线, PF / /

1 DC 2



1 EA/ / DC ? EA/ /PF 故四边形 AFPE 是平行四边形,即 AF / / EP 2

EP ? 面 BDE ; AF ? 面 BDE ? AF / / 面 BDE
BA ? AC ,面 ABC ? 面 ACDE 且交于 AC ? BA ? 面 ACDE , 即 BA 就 是 四 面 体 BA ? 2 DC ? AC ? 2 AE ? 2, AE / / CD
(2)解:

B ? CDE







1 1 ? S梯形ACDE ? ( 1 ? 2) ? 2 ? 3,S?ACE ? ? 1 ? 2 ? 1 2 2
? S?CDE ? 3 ? 1 ? 2

1 1 4 ? VB-CDE ? ? BA ? S ?CDE ? ? 2 ? 2 ? . 3 3 3

…………12 分

19.(本小题满分 12 分) 解: (1) an ? 2n ? 1;

Sn ? n 2
(2) bn ? (2n ?1)2n?1

Tn ? 1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 22 ?
2Tn ?

? (2n ?1)2n?1
? (2n ? 3)2 n ?1 ? (2 n ? 1)2 n

2 ? 3 ? 2 2 ? 5 ? 23 ?

??Tn ? 1 ? 2(2 ? 22 ?
? 1? 2

? 2n?1 ) ? (2n ?1)2n

2 ? 2n ? (2n ? 1)2n ? 1 ? 2(2n ? 2) ? (2n ? 1)2n 1? 2
…………12 分

?Tn ? (2n ? 3) ? 2n ? 3
20. (本小题满分 12 分)

解: (1) 由 c ? 3a sin C ? c cos A 得 sin C ? 3 sin A sin C ? sin C cos A .因为 sin C ? 0 , 所以 1 ?

3 sin A ? cos A ? 2 sin( A ?

?
6

) ,即 sin( A ?

?
6

)?

0 ? A ? ? ,? A ?

?
3

1 .又因为 2

.

(2)解法一:由正弦定理得

b c a ? ? ? 2 ? b ? 2 sin B, c ? 2 sin C 所以 sin B sin C sin A 2? 3 3 ? b ? c ? 2 sin B ? 2 sin C ? 2 sin B ? 2 sin( ? B) ? 2( sin B ? cos B) ? 2 3 sin(B ? ) 3 2 2 6

其中 B ? (0,

(b ? c) max

2? ? ? ? ? ? ? 7? ? ) .因为 B ? ? ? , ? ,所以当 B ? ? 即 B ? 时, 3 6 2 3 6 ?6 6 ? ?2 3
2 2

解法二:由余弦定理得 b ? c ? 3 ? bc ,即 (b ? c) 2 ? 3 ? 3bc .又因为

3 ?b?c? 2 2 b ? 0, c ? 0, bc ? ? ? 当且仅当 b=c 时取等号.所以 (b ? c) ? 3 ? (b ? c) 4 ? 2 ? 解得 (b ? c) max ? 2 3 .
21(本小题满分 12 分)
* ? ?500(1 ? n ? 12, n ? N ) a ? 解: (Ⅰ) n ? * ? ?500 ? (n ? 12) x(13 ? n ? 36, n ? N )

2

(Ⅱ)依题意,从第 13 个月开始,每个月的还款额为 an 构成等差数列,其中 a1 ? 500 ? x , 公差为 x . 从而,到第 36 个月,王某共还款 12 ? 500 ? 24a1 ? 令 12 ? 500 ? (500 ? x) ? 24 ?

24 ? (24 ? 1) ? x ? 24000 ,解之得 x ? 20 (元). 2 即要使在三年全部还清,第 13 个月起每个月必须比上一个月多还 20 元.
(Ⅲ )设王某第 n 个月还清,则应有

24 ? (24 ? 1) ?x 2

(n ? 12)(n ? 12 ? 1) ? 40 ? 24000 2 2 整理可得 n ? 2n ? 1068 ? 0 ,解之得 n ? ?1 ? 1069 ? ?1 ? 32 ? 31,取 n ? 32 . 即王某工作 32 个月就可以还清贷款. 12 ? 500 ? (500 ? 40) ? (n ? 12) ?
这个月王某的还款额为

(31 ? 12) ? (31 ? 12 ? 1) ? 40] ? 900 (元) 2 20 第 32 个月王某的工资为 1500 ?1.05 ? 1500 ? 2.653 ? 3979.5 元. 因此,王某的剩余工资为 3979.5 ? 900 ? 3079.5 ,能够满足当月的基本生活需求. 24000 ? [12 ? 500 ? (500 ? 40) ? (31 ? 12) ?
Ks5u 22(本小题满分 14 分) 解: (1)由 f ( x) ? x ? 1 ?

a a ,得 f ?( x) ? 1 ? x . x e e a ? 0 , a ? e. e

又曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,得 f ?(1) ? 0 ,即 1 ? (2) f ?( x) ? 1 ?

a ex

1 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 为 R 上的增函数,无极值. ○ x 2 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 e ? a , x ? ln a ○

x ? (??,ln a) 时, f ?( x) ? 0 ; x ? (ln a, ??) 时, f ?( x) ? 0

所以 f ( x ) 在 (??,ln a) 上单调递减,在 (ln a, ?? ) 上单调递增,故 f ( x ) 在 x ? ln a 处取得 极小值,且极小值为 f (ln a) ? ln a ,无极大值. 综上,当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 无极值;当 a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? ln a 处取得极小值 ln a , 无极大值. (3)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 1 ?

1 1 ,则方程 x ? 1 ? x ? kx ? 1 在 R 上无实数解. x e e 1 1 即 1 ? x ? k 在 R 上无实数解,令 g ( x ) ? 1 ? x xe xe 1? x 则 g ?( x ) ? ? 2 x ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 ,由表格可知 g ( x) 在 (??, ?1) 上递增, xe 在 (?1, 0) 上递减,在 (0, ??) 上递减,且 g ( x) 在 (??, 0) 上的最大值为 g (?1) ? 1 ? e , 当 x ? (0, ??) 时, g ( x) ? 1 所以 1 ? e ? k ? 1 ,所以 k 的最大值为 1 .


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