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高中数学 2.4.1《抛物线及其标准方程》课件 新人教A版选修2-1


2.4.1《抛物线及其标准方程》

教学目标
? 掌握抛物线的定义、标准方程、几何图 形,能够求出抛物线的方程,能够解决 简单的实际问题. ? 教学重点:求出抛物线的方程. ? 教学难点:抛物线标准方程的推导过程.

2.4.1抛物线及其 标准方程

喷泉

球在空中运动的 轨迹是

抛物线规律, 那么抛物线它有怎样 的几何特征呢? 二 次 函 数 y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 又到底是一条怎样的 抛物线?

复习回顾: 我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征:
都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条 定直线的距离的比是常数e的点的轨迹. (其中定点不在定直线上) (1)当0<e<1时,是椭圆; (2) 当e>1时,是双曲线;
l

l
M M

l

F ·

F

·
e>1

·
M

· F

0<e <1

e=1

那么,当e=1时,它又是什么曲线 ?

提出问题:
L 如图,点 F是定点, 是不经过点 F 的定直线。 是 L上 H 任意一点,过点 F 作MH ? L,线段FH的垂直平分线m交 MH于点M,拖动点H,观察点M的轨迹,你能发现点M 满足的几何条件吗? L M H
几何画板观察

F

问题探究: 当e=1时,即|MF|=|MH| ,点M的轨迹是什么?

探 究 ?

M

H

·

C

·
F

l e=1
可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有 |MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等. 点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.

一、抛物线的定义:
在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. 点F叫抛物线的焦点,

H

d

M

·

C

·
F

焦 点

准线

l e=1

直线l 叫抛物线的准线

d 为 M 到 l 的距离
MF ? 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线. 即:若 d 那么如何建立坐标系,使抛物线的方程更简 单,其标准方程形式怎样?

二、标准方程的推导
解法一:以 L为 y 轴,过点 F 垂直于L 的直线为 x 轴建 立直角坐标系(如下图所示),则定点F ( p, o) 设动点 点 M ( x, y) ,由抛物线定义得:?
( x ? p) ? y ? x
2 2

y

. M(X,y)

化简得:y ? 2 px ? p ( p ? 0)

2

2

O

.
l

F

x

二、标准方程的推导
解法二:以定点 F 为原点,过点 F 垂直于 L的直线为x 轴建 立直角坐标系(如下图所示),则定点F (0,0) , 的方程 L 为x ? ?p
设动点 M ( x, y),由抛物线定义得

x2 ? y2 ? x ? p
化简得:

y

2

? 2 px ?

p ( p ? 0)

2

二、标准方程的推导 解法三:以过F且垂直于 l 的直 y
M(x,y)
K o F 线为x轴,垂足为K.以F,K的中点 O为坐标原点建立直角坐标系xoy. x 设 M ( x , y ) , FK ? p , p p 则焦点 F ( , 0) ,准线 l : x ? ? 2 2 依题意得
p 2 p 2 ( x ? ) ? y ?| x ? | 2 2
2

l

两边平方,整理得

y ? 2 px( p ? 0)
这就是所求的轨迹方程.

三、标准方程
把方程 y2 = 2px (p>0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上. 且 p的几何意义是: 焦点到准线的距离 p p 焦点坐标是 ( , 0) , 准线方程为: x ? ? 2 2 想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也 会使抛物线方程的形式简单 ?

﹒ ﹒ ﹒﹒
y y y y

o

x

o

x

o

o

x

x

方案(1)

方案(2)

方案(3)

方案(4)

图 l y
O



标准方程

焦点坐标

准线方程

F
l
O

x

y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0)

p ( ,0 ) 2 p (? ,0) 2 p (0, ) 2

四.四种 p 抛物线的 x?? 2 对比
p P的意义:抛物 x? 2 线的焦点到准
线的距离

y
F

x

y
F
O

l

x

p 方程的特点: y?? 2 (1)左边是二次 p y? 2

y
l
O F

x

p x2=-2py (0, ) ? (p>0) 2

式, (2)右边是一次 式;决定了焦点 的位置.

P66思考:
二次函数 y ? ax 2 (a ? 0) 么是抛物线? 的图像为什

1 y ? ax (a ? 0) ? x ? y a
2 2

1 ? ? ?2 p a

当a>0时与当a<0时,结论都为:

1 1 焦点(0, )准线y=4a 4a

y y=ax2

y=ax2+c y=ax2+bx+c

o

x

例1
(1)已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ,求它 的焦点坐标及准线方程 焦点F ( 3 , 0 ) 准线:x =-
2 3 2

(2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2),求 抛物线的标准方程 x 2 =-8 y 看图 (3)已知抛物线的准线方程为 x = 1 ,求抛物 y 2 =-4 x 线的标准方程 看图 (4)求过点A(3,2)的抛物线的标准方程 2= 4 x或 x2= 9 y 看图 y 2 3

课堂练习: 1、根据下列条件,写出抛物线的标准方程:
(1)焦点是F(3,0); 1 (2)准线方程 是x = ? ; 4 (3)焦点到准线的距离是2。
1 y 2

y2 =12x y2 =x

y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
(1)y2 = 20x
(1)

(2)x2=

(3)2y2 +5x =0
准线方程

(4)x2 +8y =0

焦点坐标
(2)
(3) (4)

x=-5 (5,0) 1 1 y= - — (0,—) 8 5 8 5 (- —,0) x= — 8 8 (0,-2) y=2

例2:一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波 束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线, 经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口(直径) 为4.8m,深度为0.5m。建立适当的坐标系,求抛物线 的标准方程和焦点坐标。 y
A

o

.F
B

x

解:如上图,在接收天线的轴截面所在平面内建立直 角坐标系,使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与 原点重合。
设抛物线的标准方程是 y ? 2 px( p ? 0) ,由已知条件 可得,点A的坐标是(0.5, 2.4) ,代入方程,得 即 p ? 5.76
2

2.4

2

? 2 p ? 0.5

所以,所求抛物线的标准方程是 y ? 11.52x , 焦点的坐标是 (2.88, 0)
2

学习小结:
1.抛物线的定义:

2.抛物线的标准方程有四种不同的形式:
每一对焦点和准线对应一种形式.

3.p的几何意义是:

焦点到准线的距离

4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向.

选做作业: 1.抛物线 y ? 16 x 2 的焦点坐标是( D ) 1 1 (A) (4, 0) ( B )(0, 4) (C )( , 0) (D) (0, ) 64 64 2.平面上到定点 A(1,1) 和到定直线 l : x ? 2 y ? 3 距离相等的点的轨迹为( A ) (A)直线 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)椭圆 1 2 ( ?2,1) 3.抛物线 y ? x ? x ? 1 的焦点坐标为_______. 4

过抛物线

y

2

? ax(a ? 0)的焦点 F 作一条直线

Q 交抛物线于 P , 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别为p, q , 1 1 则 ? 等于( C )
p q

A. 2a

B.

1 2a
2

C. 4a

4 D. a
2

分析:抛物线 y ? ax(a ? 0)的标准方程为 x 1 焦点为 F (0, ). 4a 取特殊情况,即直线PQ 平行与 x 轴, 1 1 则 p ? q ,如图。 ? PF ? PM ,? p ? ? 4a 4a 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? 4a 故 p q p p p

1 ? y ,其 a

y

P

F
O

Q

x
N

M

y

l

o
F(0,-2)

x

解:(2)因为焦点在 y 轴的负半轴上, p 并且 2 = 2,p = 4 ,所以所求抛物线的 标准方程是 x2 =-8y .

返回

y

l
x
X=1

F

o

解:(3)因为准线方程是 x = 1,所以 p =2 ,且焦点在 x 轴的负半轴上,所以 所求抛物线的标准方程是 y2 =-4x .

返回

解:(4)因为(3,2) 点在第一象限,所以 抛物线的开口方向只 能是向右或向上,故 设抛物线的标准方程 是 y2 = 2px(p>0), 或 x2 = 2py(p>0), 将(3,2)点的坐标 分别代入上述方程可 得抛物线的标准方程 2= 4 x或 x2= 9 y 为y 2 3

y
(3,2)

o

x

返回


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