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2014湛江二模(理数)【含答案--全WORD--精心排版】


广东省湛江市 2014 届高三高考模拟测试(二) 数学(理科)
参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量。 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

一、选择题: 1.在复平面内,复数

?1 ? i 对应的点位于( i



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.一个几何体的正视图、侧视图、和俯视图形状都相同,大小均相等,则这个几何体不可以是( A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 3.已知 a ? 2 log 5 2 ,



A. c ? b ? a 4.下列命题正确的是( ) A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 5.已知向量 a ? (1, 2) , A. ? ? R 6.已知双曲线

1 b ? 21.1 , c ? ( ) ?0.8 ,则 a 、 b 、 c 的大小关系是( ) 2 B. a ? c ? b C. a ? b ? c D. b ? c ? a

b ? (?2,1) ,则 (? a ? b) ? (a ? ?b) 的充要条件是(
B. ? ? 0 C. ? ? 2



D. ? ? ?1

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 2,一个焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点相同,则双曲 2 a b
) B. y ? ?

线的渐近线方程为( A. y ? ? 3x

3 x 2

C. y ? ?

3 x 3

D. y ? ?

3 x 2

? x?0 ? 7.已知实数 x 、 y 满足不等式组 ? y ? 0 ,且 ax ?by ? 1, ? a ? 0,b ? 0 ? 恒成立,则 a ? b 取值范围是( ?2 x ? y ? 2 ?
A. ? 0, 4? B. (0, ]



8.对于任意两个正整数 m , n ,定义某种运算“※”,法则如下:当 m , n 都是正奇数时, m ※ n = m ? n ;
* * 当 m , n 不全为正奇数时, m ※ n = mn 。则在此定义下,集合 M ? (a, b) | a※b ? 16, a ? N , b ? N

3 2

C. (0, 2)

D. [ , ??)

3 2

?

?

中的元素个数是( ) A. 7 B. 11 C. 13 D. 14 二、填空题:本大题共 7 小题.考生作答 6 小题.每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)
1

9.等比数列 ?an ? 中, a3 ? 4 , a7 ? 16 ,则 a5 ? ________________。 10.阅读如图所示的程序框图,若输入 i ? 5 ,则输出的 k 值为__________. 11.某小区有 7 个连在一起的车位,现有 3 辆不同型号的车需要停放,如果 要求剩余的 4 个车位连在一起,那么不同的停放方法共有________种。 12.在长为 6 cm 的线段 AB 上任取一点 C ,现作一矩形,邻边长分别等于 线段 AC , CB 的长,则该矩形面积大于 8 cm2 的概率为 .

13.若函数 y ? f ( x) ( x ? R) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 x ?[?1,1] 时, f ( x) ? 1 ? x 2 ; 函数 g ( x) ? lg | x | ,则函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图象在区间 [?6, 6] 内的交点 个数共有 个。 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)极坐标系中,圆 O : ? 2 ? 2? cos? ? 3 ? 0 的圆心 到直线 ? cos? ? ? sin ? ? 7 ? 0 的距离是_______________. 15.(几何证明选讲选做题)如图所示,圆 O 的直径 AB ? 6 , C 为圆周上一点,

BC ? 3 ,过 C 作圆 O 的切线 l ,则点 A 到直线 l 的距离 AD ? ___________.
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x . sin x

(1)求 f ( x ) 的定义域及最小正周期;(2)求 f ( x ) 的单调递减区间.

17.(本小题满分 12 分)某中学将 100 名高一新生分成水平相同的甲、乙 两个“平行班”,每班 50 人,吴老师采用 A、B 两种不同的教学方式分别在 甲、乙两个班进行教学实验。为了解教学效果,期末考试后,分别从两个 班级中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计,作出的茎叶图如下: 记成绩不低于 90 分者为“成绩优秀”。 (1)在乙班样本的 20 个个体中,从不低于 80 分的成绩中随机抽取 2 个,记随机变量 ? 为抽到“成绩优秀”的个 数,求 ? 的分布列及数学期望 E? ; (2)由以上统计数据填写下面 2 ? 2 列联表,并判断有多大把握认为“成绩优秀”与教学方式有关?

2

18.(本小题满分 14 分)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形, ?ACB ? 90? , EA ? 平面

ABCD , EF // AB , FG // BC , EG // AC , AB ? 2 EF . (1)若 M 是线段 AD 的中点,求证: GM //平面 ABFE ; (2)若 AC ? BC ? 2 AE ? 2 ,求二面角 A ? BF ? C 的余弦值.

3

19. (本小题满分 14 分) 已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 , 公差 d ? 0 , 且 a2 , a a 分别是等比数列 ?bn ? 的 b2 , 5 ,1 4

b3 , b4 。(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;
(2)设数列 ?cn ? 对任意正整数 n 均有

c1 c2 ? ? b1 b2

?

cn ? an?1 成立,求 c1 ? c2 ? bn

? c2014 的值。

x2 y 2 20. (本小题满分 14 分)如图,点 P(0, ?1) 是椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的一个顶点,C1 的长轴是圆 C2 : a b

x2 ? y2 ? 4 的直径, l1 , l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A 、 B 两点, l2 交椭圆 C1 于另一
点 D 。(1)求椭圆 C1 的方程;(2)求△ ABD 面积的最大值及取得最大值时直线 l1 的方程。

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ln x.
2

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间;(2)证明:对任意的 t ? 0 ,存在唯一的 s ,使 t ? f ( s) ; (3)设(2)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g (t ) ,证明:当 t ? e 时,有
2

2 ln g (t ) 1 ? ? 。 5 ln t 2

4

数学(理科)参考答案及评分意见
一、选择题:1.A 二、填空题:9. 8 2.D 10. 3 3.B 11. 24 4.C 5.A 12. 6.A 13. 10 7.B 8.C 14. 4 2 15.

2 3

9 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 16.(本小题满分 12 分) 解:(1)由 sin x ? 0 ,得 x ? k? ∵ f ( x) ?

(k ? Z ) ,故 f ( x) 的定义域为 ?x | x ? R, x ? k? , k ? Z? . ……….2 分

(sin x ? cos x) sin 2 x ? 2cos x(sin x ? cos x) ? sin 2 x ? 2cos2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 sin x ? 2? ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 …….6 分,∴ ? ? . …………….7 分 函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? 4 2 ? 3? ] (k ? Z ) . (2)∵ 函数 f ( x) ? sin x 的单调递减区间为 [2k? ? , 2k? ? 2 2 ? ? 3? 3? 7? , x ? k? (k ? Z ). ,得 k? ? ? x ? k? ? , (k ? Z ). ……….10 分 由 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? 2 4 2 8 8 3? 7? , k? ? ] (k ? Z ). ……………….12 分 ∴ 函数 f ( x ) 的单调递减区间为 [k? ? 8 8
17. (本小题满分 12 分) 解:(1)由题意得 ? ? 0,1, 2 …….1 分,
1 1 2 C5 ? C4 C52 5 C4 1 5 故 P(? ? 0) ? 2 ? , P(? ? 1) ? ? , P(? ? 2) ? 2 ? . …….4 分,∴? 的分布列为: C9 6 C92 9 C9 18

1 5 5 10 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . 6 9 18 9
(2)由已知数据得

……………………………………….6 分

………….10 分,根据列联表中的数据, K ?
2

40 ? (1?15 ? 5 ?19)2 ? 3.137 。 6 ? 34 ? 20 ? 20

由于 3.137 ? 2.706 ,所以有 90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关。……….12 分 18.(本小题满分 14 分) (1)∵EF / / AB, FG / / BC, EG / / AC, ?ACB ? 90?, ∴?EGF ? 90?,

△ ABC ∽ △EFG 。…………….2 分,由于 AB ? 2EF , 1 因此 BC ? 2 FG . 连接 AF ,由于 FG / / BC , FG ? BC ,………….3 分 2
5

1 在平行四边形 ABCD 中, M 是线段 AD 的中点,则 AM / / BC ,且 AM ? BC ,……………….4 分 2
因此, FG / / AM 且 FG ? AM ,所以四边形 AFGM 为平行四边形,∴GM / / FA . 又 FA ? 平面 ABFE, GM ? 平面 ABFE ,∴GM / / 平面 ABFE . (2)解:∵?ACB ? 90? ,∴?CAD ? 90? , 又 EA ? 平面 ABCD , ∴AC, AD, AE 两两垂直。 分别以 AC, AD, AE 所在直线为 x 轴、 y 轴、 ………………6 分

z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz 。…………….7 分
则 A(0,0,0), B(2, ?2,0), C (2,0,0), D(0,0,1) . ……………….8 分 故 AB ? (2, ?2,0),

1 BC ? (0, 2,0) ,又 EF ? AB ,∴F (1, ? 1, 1) , 2

BF ? (?1,1,1) .设平面 BFC 的法向量 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则
? ?y ?0 ?m ? BC ? 0 ,∴? 1 ,取 z1 ? 1,得 x1 ? 1 ,所以 m ? (1, 0 ,1) 。…………….10 分 ? x ? z m ? BF ? 0 ? 1 1 ? ?
设平面 ABF 的法向量 n ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则 ?

? ? n ? AB ? 0 ? ?n ? BF ? 0

,∴?

? x2 ? y2 ,取 y2 ? 1 ,得 x2 ? 1 , ? z2 ? 0

所以 n ? (1,1, 0) …….12 分,所以 cos ? m , n ?? 19. (本小题满分 14 分)

1 m?n 1 ? ,故二面角 A ? BF ?C 的余弦值为 ….14 分 2 | m || n | 2

解:(1)∵a2 ? 1 ? d , a5 ? 1 ? 4d , a14 ? 1 ? 13d ,且 a2 , a5 , a 14 成等比数列,
2 ∴(1 ? 4d ) ? (1 ? d )(1 ? 13d ) ,即 d ? 2 ,……2 分,∴an ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1. …………4 分

又∵b2 ? a2 ? 3 , b3 ? a5 ? 9 , ∴q ? 3 , b1 ? 1, bn ? 3n?1. …………………………………6 分 (2)∵

c1 c2 ? ? b1 b2

cn c c1 c2 ,∴ 1 ? a2 ,即 c1 ? ba ? an?1 ① ? ? 1 2 ? 3 ,又 b1 bn b1 b2

cn?1 ? an (n ? 2) bn?1



①? ② 得

(n ? 1) ?3 cn ,………11 分 ? an ?1 ? an ? 2 ……9 分,∴cn ? 2bn ? 2 ? 3n?1 (n ? 2) ,∴cn ? ? n?1 bn ?2 ? 3 (n ? 2)
? c2014 ? 3 ? 2 ? 31 ? 2 ? 32 ? ? 2 ? 32014?1 ? 3 ? 2 ? (31 ? 32 ?

则 c1 ? c2 ?

? 32013 ) ? 3 ? 2 ?

3(1 ? 32013 ) 2014 ? 3 . ……14 分 1? 3

20.(本小题满分 14 分) 解:(1)由题意得 ?

?b ?1 x2 ? y 2 ? 1. ………3 分 ……………2 分,∴ 椭圆 C1 的方程为 4 ?a ? 2

(2)设 A( x1 , y2 ) , B( x2 , y2 ) , P( x0 , y0 ) .
6

由题意知直线 l1 的斜率存在,不妨设其为 k ,则直线 l1 的方程为 y ? kx ? 1 。……4 分 故点 O 到直线 l1 的距离为 d ?

1 k 2 ?1

,又圆 C2 : x2 ? y 2 ? 4 ,∴| AB |? 2 4 ? d 2 ? 2

4k 2 ? 3 . ……5 分 k 2 ?1

又 l1 ? l2 ,∴ 直线 l2 的方程为 x ? ky ? k ? 0. 由 ?

? x ? ky ? k ? 0 ,消去 y ,整理得 (4 ? k 2 ) x2 ? 8kx ? 0 , 2 2 ? x ? 4y ? 4

故 x0 ? ?

8k 4 ? k2 8k 2 4 ? k 2 8 k 2 ?1 2 y ? . ,代入 的方程得 ∴ l | PD |? ( ) ?( ? 1) ? . ………7 分 0 2 4 ? k2 4 ? k2 4 ? k2 4 ? k2 4 ? k2

设△ ABD 的面积为 S ,则 S ?

1 8 k 2 ?1 | AB || PD |? 2 4 ? k2
32 2 4k 2 ? 3 ? 13 4k 2 ? 3 ? 16 13 . ………………12 分 13

∴S ?

32 4k 2 ? 3 ? 13 4k ? 3
2

?

当且仅当 4k ? 3 ?
2

13 4k 2 ? 3

,即 k ? ?

10 时上式取等号。 2

∴ 当k ? ?

10 16 13 10 时,△ ABD 的面积取得最大值 ,此时直线 l1 的方程为 y ? ? x ? 1. ……14 分 13 2 2
1 ……2 分 e

21. (本小题满分 14 分) (1)解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) f ?( x) ? 2 x ln x ? x ? x(2ln x ? 1) ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)
所以函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (0,

(0,

1 ) e
?

1 e
0
极小值

(

1 , ??) e

?

1 1 ) ,单调递增区间是 ( , ??) ……………4 分 e e
x ?[1, ??) .

(2)证明:当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 。设 t ? 0 ,令 h( x) ? f ( x) ? t , 由(1)知 h( x) 在区间 (1, ??) 内单调递增。……6 分, h(1) ? ?t ? t , 故存在唯一的 s ? [1, ??) ,使得 t ? f ( s) 成立。…………8 分 (3)证明:∵s ? g (t ) ,由(2)知, t ? f ( s) ,且 s ? 1 ,
7

h(et ) ? e2t ln et ? t ? t (e2t ?1) ? 0 .



ln g (t ) ln s ln s ln s u ? ? ? ? . …………………………10 分 2 ln t ln f (s) ln(s ln s) 2ln s ? ln ln s 2u ? ln u
2 ln g (t ) 1 ? ? 成立,只需 ln u ? 0 且 ln u 2 ? u ? 0 。 ………12 分 5 ln t 2

其中, u ? ln s ,要使

当 t ? e 2 时,若 s ? g (t ) ? e ,则由 f ( s ) 的单调性,有 t ? f (s) ? f (e) ? e2 ,矛盾。 所以 s ? e ,即 u ? 1 ,从而 ln u ? 0 成立。又设 F (u) ? ln u 2 ? u ,则 F ?(u ) ? 所以 F (u) ? ln u 2 ? u 在 (1, 2) 内是增函数,在 (2, ??) 内为减函数,

2 ?1 u

F (u) ? ln u 2 ? u 在 (1, ??) 上的最大值为 F (2) ? ln 22 ? 2 ? 0 ,∴ln u 2 ? u ? 0 成立。…………13 分
∴ 当 t ? e 2 时,

2 ln g (t ) 1 ? ? 成立。……………………14 分 5 ln t 2

注:如上各题若有其它解法,请评卷老师酌情给分。

8


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