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【高中数学必修4学习课件】——人教A版2-2-3向量数乘运算及其几何意义


第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 提高篇 预习篇 课堂篇 巩固篇 课时作业 学习目标 1.记住数乘的定义及其规定. 2.能够利用向量共线基本定理解决共线问题. 3.记住数乘运算法则并能进行相关运 重点难点 重点:数乘的定义; 难点:向量共线基本定理. 预习篇01 新知导学 向量数乘的定义 向量 , 一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个 这种运算叫做 向量的数乘 向规定如下: ,记作λa,它的长度与方 (1)|λa|=|λ||a|; (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向 相同 的方向与a的方向 相反 ;λ=0时,λa=0. ;当λ<0时,λa 1.数乘向量与数乘数有什么区别? 答:数乘向量与数乘数的区别:前者结果为一个向 量,后者结果为一个实数. 2.你能根据数乘向量的定义,说说其几何意义吗? 答:λ>0时,λa可以看作是a方向上的伸缩变换,λ<0 时,λa可以看作a反方向上的伸缩变换.(|λ|>1时,模伸长; |λ|<1时,模缩短) 向量数乘的运算律 (1)λ(μa)=(λμ)a(λ,μ∈R); (2)(λ+μ)a=λa+μa(λ,μ∈R); (3)λ(a+b)=λa+λb(λ∈R). 向量共线基本定理 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有 唯一一个 数λ,使b=λa. 实 3.定理中条件a≠0能漏掉吗? 答:定理中a≠0不能漏掉.若a=b=0,实数λ仍然存 在,但λ是任意实数,不唯一;若a=0,b≠0,则不存在实 数λ,使b=λa. 线性运算 (1)向量的 加、减、数乘运算 算. 统称为向量的线性运 (2)任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2恒有 λ(μ1a± μ2b)=λμ1a± λμ2b. 4.向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运 算中常用的一些变形手段能否在向量的线性运算中应用? 答:实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公 因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用. 1.对向量共线定理的理解 (1)定理本身包含了正反两个方面:若存在一个实数λ, 使b=λa(a≠0),则a与b共线;反之,若a与b共线(a≠0), 则必存在一个实数λ,使b=λa. (2)定理中,之所以限定a≠0是由于若a=b=0,虽然λ 仍然存在,可是λ不唯一,定理的正反两个方面不成立. (3)若a,b不共线,且λa=μb,则必有λ=μ=0. 2.向量共线定理的两个应用 (1)向量共线的判定. 对于向量a(a≠0)与b,如果有一个实数λ,使b=λa,那 么由向量数乘的定义知,向量a与b是共线的. (2)向量共线的性质. 向量a(a≠0)与b共线,若向量b的长度是a的长度的λ 倍,即|b|=λ|a|.那么,当a与b同向时,有b=λa;当a与b反 向时,有b=-λa;当b=0时,则λ=0. 总之,都可以表示成b=λa(其中λ唯一确定). 3.判断两个向量是否共线的方法 判断两个向量是否共线可转化为存在性问题. 解决存在 性问题通常是假设存在,再根据已知条件找等量关系列方 程.若方程有解且与题目条件无矛盾,则存在,反之不存在. 课堂篇02 合作探究 向量数乘的基本运算 【例1】 ? 1 ? 计算:(1)3(6a+b)-9?a+3b?; ? ? ? ?1 1 ?? 3 ? 1? (2) ??3a+2b?-?a+2b??-2?2a+8b?; 2? ? ?? ? ? (3)2(5a-4b+c)-3(a-3

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