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数列通项公式与数列求和专题讲座


数列“通项公式以及求和”
重点知识回顾: 一、 等差、等比数列的概念、判定、公式与性质 等差数列 定义 通项公式
等差(比)中 项

等比数列

?an ? 是等差数 ? an?1 ? an ? d (常数) ?a ? 是等比数列 ? an?1 ? q(q ? 0) n
an

an ? a1 ? (n ?1)d ? am ? (n ? m)d
a, A, b成等差数列 ? 2 A=a ? b
推广: 2an ? an?1 ? an?1

an ? a1qn?1 ? amqn?m
a, G, b成等比数列 ? G2 ? ab
2 推广: an ? an?1 ? an?1

前 n 项和公 式

n(a1 ? an ) n(n ? 1) Sn ? ? na1 ? d 2 2 d 降幂排列:Sn ? n 2 ? (a1 ? d )n 2

Sn ?

a1 ? an q a1 (1 ? q n ) ? (q ? 1) 1? q 1? q

当q ? 1时,Sn ? na1
n ( n ?1) 2

前 n 项积公 ?????????? 式 性质 1

Tn ? (a1an ) ? a q
n 1

n 2

若p, q, r , s为正整数,且p+q=r+s, 则a p ? aq ? ar ? as

若p, q, r , s为正整数,且p+q=r+s, 则a p ? aq ? ar ? as

性质 2

Sk、S2k ?k、 Sk、S2k ?k、S3k ?2k 组成公差为k2d的等差数列。 S3k ?2k 组成公比为qk的等比数列。

性质 3

当d ? 0时,等差数列?an ? 为递增数列,Sn有最小值; ???????????? 当d ? 0时,等差数列?an ? 为递减数列,Sn有最大值;

????

数列单调性的判定:作差与 0 比较;或者作商与 1 比较。

1

二、求数列通项公式的常用方法。 1、公式法: (1) 、等差数列通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d ? am ? (n ? m)d 。 (2) 、等比数列通项公式: an 2、利用 S n , an 的关系 an ? ?
S n (1) 把an用n S? 、
?1

? a1qn?1 ? amqn?m 。

? S1 (n ? 1) 求通项公式: Sn ? Sn ?1 (n ? 1) ?

代换得 的递推关系式; Sn

(2) 若Sn ? f (an )与Sn?1 ? f (an?1 )相减得an的递推关系式; 、 例 1 (1)已知数列 ?an ? 的各项均为正数,且 Sn ? (an ?
1 2 1 ), 求an ; an

(n ? 1) 2 (2)已知数列 ?an ? 的各项均为正数,且 Sn ? ,求 an ; 4

3、求形如: an?1 ? Aan ? B( A, B为常数)的通项公式; (1) 、当 A=1 时, ?an ? 是等差数列; (2) 、当 A 不为 0 且 B=0 时, ?an ? 是等比数列; (3) 、当 AB ? 0且A ? 1时, 求数列的通项公式,采用待定系数法,构造 成等比数列。 an?1 ? Aan ? B ? an?1 ? ? ? A(an ? ? ) 例 2 数列 ?an ? 中 a1 ? 3, an?1 ? 2an ? 2, 求an; 4、求形如: an?1 ? Aan ? f (n) 的通项公式: (1) 、当 A=1 时,由 an?1 ? an ? f (n) 求通项,采用“叠加法” ; (2) 、当 A ? 0且A ? 1 时,可采用“构造”“叠加法”“待定系数法” 、 、 转化成等差、等比数列来处理;

2

1 例3(1)若数列?an ?的首项a1 ? , an ? 4an ?1 ? 3n (n ? N ? ; n ? 1), 求an; 2 1 (2)若数列?an ?的首项a1 ? , an ? 4an ?1 ? n(n ? N ? ; n ? 1), 求an; 2 1 (3)若数列?an ?的首项a1 ? , an ? 4an ?1 ? n ? 3n (n ? N ? ; n ? 1), 求an; 2
(2011 四川卷) 数列 ?an ? 的首项为 3,?bn ? 为等差数列且 bn ? an?1 ? an
(n ? N ? ) ,若 b3 ? ?2, b10 ? 12, 则 a8

?(
D.11

) 。

A.0

B.3

C.8

5、求形如: an?1 ? an ? f (n) 的通项公式,可采用“累乘法” ;

例4 (1)数列?an ?中,a1 ? 2, an ?1 ?

n an , 求an; n ?1 1 2n-1 (2)数列?an ?中,a1 ? ,an ? an -1(n ? 2),求an; 3 2n ? 1

6、已知a1 +a2 +a3 + ??? +an =Sn , 求an; (作差) 已知a1 ? a2 ? a3 ??? an =f (n), 求an; (作商)
例5 (1)数列?an ?中,Sn满足 log 2 (1 ? Sn ) ? n ? 1, 求an; (2)数列?an ?中,a1 ? 2a2 ? 3a3 ??? nan ? (n ? 1)2 , 求an;
7、高次型,求形如“ an?1 ? an ,(c ? 0) ”的通项公式;
c
c 取对数 lg an?1 ? lg an ? c ? lg an ,转化成等比数列,再解题。

8、分式型,求形如“ an?1 ?

Aan ? B ,( AC ? 0) ”的通项公式; Can ? D
?1? 1 D C ? an ? ,转化为求 ? ? 的通项, an ?1 A A ? an ?

(1)当 B=0 时,取倒数-得 用待定系数法(或构造法) ;

3

(2)当 B ? 0 时,将其变为 B=0 来求解, an ?1 ?

Aan ? B ? Can ? D

an?1 ? ? ?

? (an ? ? )
Can ? D

, 对于一些特殊的分式型的递推公式可以利用将

分式化为整式, 然后两边同时除以an?1 ? an,构造新数列 解决;

例6

已知数列?an ?中,a1 ? 3, an?1 ?

an ,求其通项公式。 2an +1

例7 已知数列?an ? 满足a1 ? 1, 且an?1 ? 的通项公式。

2(n ? 1)an (n ? N ?), 求数列?an ? an ? 2n

9、求形如“ a1 ? a, a2 ? b, an ? Aan?1 ? Ban?2 ,(n ? 2) ”的通项,可 用 “待定系数法” 转化为相邻两项问题来处理。an ? Aan?1 ? Ban?2 ?

an +?an?1 ? ? an?1 ? ?an?2) ( ;
例9 若数列?an ?中,a1 ? 5, a2 ? 2, an ? 2an?1 ? 3an?2 , n ? 2, 求an;
另外还有“换元法”“归纳猜想”等等。 、
例10 已知a1 ? 1, an ?1 ? 1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ), 求数列?an ?的通项公式。 16

1 1 例11 若数列?an ?中,a1 +a2 +a3 + ??? +an = (an + ),n ? N ? , 则数列?an ? 2 an 的通项公式为(    )。
三、求数列前 n 项和的常用方法: 1、公式法:
n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 (1)等差数列前 n 项和: d 降幂排列:Sn ? n 2 ? (a1 ? d )n 2 Sn ?

a1 ? an q a1 (1 ? q n ) S ? ? (q ? 1) (2)等比数列前 n 项和: n 1 ? q 1? q 当q ? 1时,Sn ? na1
4

(3)常见的求和公式: 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ?

n(n ? 1) ; 2

2 ? 4 ? 6 ???? ? 2n ? n2 ? n;1 ? 3 ? 5 ???? ? (2n ?1) ? n2 ;

12 ? 22 ? 32 ? ??? ? n 2 ?

n(n ? 1)(2n ? 1) ; 6

n 2 (n ? 1) 2 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? ; 4
3 3 3 3

2、分组求和法:分析通项虽不是等差等比,若是等差等比数列的和 的形式则可以进行拆分,然后再利用基本数列的求和公式求和; 3、错位相减法: 用于解决形如一个等差数列和一个等比数列对应

相乘所得数列的求和;



已知数列?an ?的前n项和为Sn,且a1 =1,数列?an ? Sn ? 是公差为2的等差数列。 (1)求a2 , a3的值; (2)证明:数列?an ? 2? 是等比数列; (3)求数列?nan ?的前n项和Tn;

4、裂项相消法: (裂项有两个目的:一是把把数列的通项裂开后,能够使用基本 的数列求和公式求和; 二是裂项后在数列的连续的两项之间能够产生 正负相消的项。 )常见的裂项: (1) (2) (4)
1 1 1 ? ? ; n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ); ? ( ? ); (3) n( n ? k ) k n n ? k (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

? 1 1? 1 1 ? ? ? ; n(n ? 1)(n ? 2) 2 ? n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) ? ?
5

(5)

n 1 1 1 1 ? ? ? ( n ? k ? n) ; (6) ; (n ? 1)! n ! (n ? 1)! n?k ? n k
m?1 m m ? Cn?1 ? Cn 等。

(7) n ? n ! ? (n ? 1)!? n !; (8) Cn

例 设数列?an ?的前n项和为S n,a1 ? 1, an ?

Sn ? 2(n ? 1)(n ? N ? )。 n (1)求证:数列?an ? 为等差数列,并写出an和S n关于n的表达式; ? 1 ? 1 1 (2)设数列 ? ?的前n项和为Tn,证明: ? Tn ? ; 5 4 ? an an ?1 ? S S S (3)是否存在自然数n,使得S1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? (n ? 1) 2 ? 2011? 2 3 n 若存在,求出n的值;若吧存在,请说明理由。

6、倒序相加(乘)法:把数列正着写和倒着写再相加(乘) ;
例 设f ( x) ? 1 , 4 ?2
x

1 (1)证明:当x1 ? x2 ? 1时,f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ; 2 1 2 n ?1 (2)设数列?an ? 满足:an =f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ??? ? f ( ) ? f (1), 求an; n n n (3)求数列?an ?的前n项和S n;

6


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