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四川省成都市石室中学2014-2015学年高二10月月考数学理试题


成都市石室中学 2014~2015 学年度上学期 10 月月考 高二理科数学试卷
一、选择题:本题共有 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分;每小题给出的四个选项中,只有一项是 正确的,把正确的代号填在题后的括号内.

1 1.已知直线的倾斜角 ? 的余弦值为 2 ,则此直线的斜率是(

).

A. 3



B.- 3

3 C. 2
tan ? ? ?

D.± 3

2.已知 ? 是第四象限角,

5 12 ,则 sin ? ? (



1 A. 5
2 2

1 B. 5 ?

5 C. 13
)

5 D. 13 ?

3.以圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心为圆心,半径为 2 的圆的方程( A. ?x ? 1? ? y ? 2
2 2

B.

? x ? 1?
2

2

? y2 ? 4
2

C. ?x ?1? ? y ? 2
2 2

D. ?x ?1? ? y ? 4

4.已知直线 l : ax ? y ? 2 ? a ? 0 在 x 轴和 A.1 B.-1 C.-2 或-1

y 轴上的截距相等,则 a 的值是(
D.-2 或 1

)

tan(? ? ? ) ?
5.已知 A. B.

2 ? 1 ? tan( ? ? ) ? tan(? ? ) ? 5, 4 4 ,那么 4 (
C. D.



6. 已知圆

C : ? x ? a? ? ? y ? b? ? 1
2 2

, 设平面区域 )

? x ? y ? 7 ? 0, ? ? ? ? x ? y ? 3 ? 0, ?y ? 0 ?

, 若圆心 C ? ? ,且圆 C 与 x 轴

2 2 相切,则 a ? b 的最大值为

( D.49

A.5

B.29

C.37

7.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )

( A ? 0,? ? 0, ? ?

?

2 的部分图象如图所示,若

)

x1 , x2 ? (?

? ?

, ) 6 3 ,

·1 ·



f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x1 ? x2 ),则 f ( x1 ? x2 ) ? (



A. 1 8 .已知圆

1 B. 2
2

2 C. 2
2

3 D. 2
,圆

C1 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1

C2 : ? x ? 3 ? ? ? y ? 4 ? ? 9 M , N C ,C , 分别是圆 1 2 上的动
2 2

点, P 为 x 轴上的动点,则 A. 5 2 ? 4

PM ? PN

的最小值为

( D. 17



B. 17 ? 4

C. 6 ? 2 2

?x, ) 且在 9 . 偶 函 数 f ( x ) 满 足 f (1? x ) ? f (1

2 x ? [ 0,1 ] 时 , f ( x) ? 2 x ? x , 若 直 线

kx ? y ? k ? 0(k ? 0) 与函数 f ( x) 的图象有且仅有三个交点,则 k 的取值范围是(
15 3 , ) A. 15 3 ( 3 5 , ) 3 B. 5 (
1 1 ( , ) C. 3 2 1 1 , ) D. 15 3 (



10.已知点 A(?2, 0) , B(2, 0) ,C (0, 2) ,直线 y ? ax ? b(a ? 0) 将 ?ABC 分割为面积相等的两部分, 则 b 的取值范围是( )

A.(0, 2 ? 2 ) B. (2 ? 2,1)

2 (2 ? 2, ] 3 C.

2 [ ,1) D. 3

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)把答案填在题中横线上. 11.已知点 A(﹣2,4) ,B(4,2) ,直线 l : ax ? y ? 8 ? a ? 0 ,若直线 l 与直线 AB 平行,则 a = _________ . 12.在 ?ABC 中, A ? 60?, b ? 4, a ? 2 3 ,则 ?ABC 的面积等于___ __.

? x ? y ? 1, ? ?y ? 3 ? x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,若 z ? kx ? y 的最大值为 5 ,则实数 k ? 13.已知变量
2 2



14.已知圆 C: x ? y ? 6x ? 8 y ? 0 , a1, a2 ,?, a11 是该圆过点 P(3,5)的 11 条弦的长度,若数
·2 ·

列 a1, a2 ,?, a11 是等差数列,则数列 a1, a2 ,?, a11 的公差的最大值为
2 2

.

15.已知圆 M : ( x ? cos? ) ? ( y ? sin ? ) ? 1 ,直线 l : y ? kx ,给出下面四个命题: ①对任意实数 k 和 ? ,直线 l 和圆 M 有公共点; ②对任意实数 k ,必存在实数 ? ,使得直线 l 与和圆 M 相切; ③对任意实数 ? ,必存在实数 k ,使得直线 l 与和圆 M 相切; ④存在实数 k 与 ? ,使得圆 M 上有一点到直线 l 的距离为 3. 其中正确的命题是 (写出所有正确命题的序号)

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)三角形的三个顶点是 A(4, 0) , B (2, 4) , C (0,3) . (1)求 AB 边的中线所在直线 1 的方程; (2)求 BC 边的高所在直线 2 的方程; (3)求直线 1 与直线 2 的交点坐标.

l

l

l

l

17. (本小题满分 12 分)已知等比数列 (1) 求数列 (2) 设

{an } 的各项均为正数,且 a2 ? 4 , a3 ? a4 ? 24 .

{an } 的通项公式;

bn ? log2 an ,求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Tn .

18. (本小题满分 12 分)如图,等腰梯形 ABCD 的底边 AB 和 CD 长分别为 6 和 2 6 ,高为 3. (1)求这个等腰梯形的外接圆 E 的方程; (2)若线段 MN 的端点 N 的坐标为(5,2) ,端点 M 在圆 E 上运动,求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程.

·3 ·

, C 的 对 边 分 别 为 a,b,c , 且 19. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 锐 角 三 角 形 ABC 的 内 角 A, B a ? 2b sin A . (1)求 B 的大小; (2)求 cos A ? sin C 的取值范围.

20. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ,
2

集合

?x, y? f ( x) ? f ( y) ? 0? M ??

,集合

?x, y? f ( x) ? f ( y) ? 0? N ??

.

(1)求集合 M ? N 对应区域的面积;

(2)若点 P(a, b) ? M

b N ,求 a ? 3 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分)已知圆 C 的圆心在坐标原点,且与直线 l1 : x ? y ? 2 2 ? 0 相切. (1)求直线 l2 : 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 被圆 C 所截得的弦 AB 的长; (2)过点 G(1,3)作两条与圆 C 相切的直线,切点分别为 M,N,求直线 MN 的方程; (3)若与直线 1 垂直的直线 l 过点 R(1,-1),且与圆 C 交于不同的两点 P,Q.若∠PRQ 为钝角,求直 线 l 的纵截距的取值范围.

l

成都石室中学高 2016 届高二上期 10 月月考 数学参考答案 一、选择题 ADBDC、CDAAB 二、填空题

?
11.

1 3

12. 2 3

1 13. -1 或 2

5?2 6 5 14. .

15. ①②

三、解答题 16. (1) x ? 3 y ? 9 ? 0 4分
·4 ·

(2) 2 x ? y ? 8 ? 0 (3) (3, 2) 12 分

8分

a1q ? 4 ? ? 2 a q ? a1q3 ? 24 17.解析:(1) 设等比数列的公比为 q ,有 ? 1 ,
n 解得 a1 ? 2, q ? 2 ,所以 an ? 2 ;
n n (2) 由(1)知 bn ? log2 2 ? n ,有 an ? bn ? 2 ? n ,

(6 分)

从而

Tn ? (2 ? 22 ?

? 2n ) ? (1 ? 2 ?

? n) ? 2n?1 ?

n(n ? 1) ?2 2 .

(12 分)

18. (1)设圆心 E(0,b) ,由 EB=EC 得 b=1, 所以圆的方程 x ? ( y ?1) ? 10
2 2

( 6 分)
2 2

(2)设 P(x,y),则 M(2x-5,2y-2) ,带入 x ? ( y ?1) ? 10 ,化简得

5 3 5 ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? 2 2 2

12 分

19. 解: (1)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以

sin B ?

1 2,

由 △ ABC 为锐角三角形得

B?

π 6 . …………4 分

? ? ? ?? ? cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ? ? A ? ? cos A ? sin ? ? A ? ? ? ? ?6 ? (2) ?? ? 1 3 ? cos A ? cos A ? sin A ? 3 sin ? A ? ? 3?. ? 2 2
2? ? ? ? A? ? 3 6, 由 △ ABC 为锐角三角形知, 3

……………

8分

1 ?? 3 3 ?? 3 ? ? ? sin ? A ? ? ? ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3 3 ? 2 .由此有 2 3? 2 ? ? 所以 2 ,
·5 ·

? 3 3? ? ? ? 2 , 2? ? ? . …………… 12 分 cos A ? sin C 所以, 的取值范围为
20. (1)集合 M 即为: ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 8 ,集合 N 即为:
2 2

( x ? y ? 2)(x ? y) ? 0 ,其面积等于半圆面积 4? .

6分

b (2) a ? 3 即点 P 与(3,0)连线的斜率,

由图可知,当直线经过点 A(1,1)时,斜率最小为

k PA ? ?

1 2,

2+3 2 4 , 当直线与圆相切于点 B 时,斜率有最大值
b 1 2+3 2 [? , ] 4 所以 a ? 3 的取值范围是 2

13 分

21. (1)由题意得:圆心 (0,0) 到直线 l1 : x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为圆的半径,
·6 ·

r?

2 2 ?2 2 2 2 ,所以圆 C 的标准方程为: x ? y ? 4

2分

所以圆心到直线 l 2 的距离 d ?
2 2 ? AB ? 2 2 ? 1 ? 2 3

22 ? 3 ? 1
4分 ,

3分

(2)因为点 G(1,3) ,所以

OG ? 12 ? 3 2 ? 10 GM ? OG 2 ? OM 2 ? 6
2 2

所以以 G 点为圆心,线段 GM 长为半径的圆 G 方程: ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 6 (1) 又圆 C 方程为: x ? y ? 4 (2) ,由 (1) ? (2) 得直线 MN 方程: x ? 3 y ? 4 ? 0
2 2

8分 (3)设直线 l 的方程为: y ? ? x ? b
2 2 联立 x ? y ? 4 得: 2 x ? 2bx ? b ? 4 ? 0 ,

2

2

设直线 l 与圆的交点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,

2 由 ? ? (?2b) ? 8(b ? 4) ? 0 ,得 b ? 8 ,

2

2

x1 ? x2 ? b, x1 ? x2 ?

b2 ? 4 2 (3)

10 分 因为 ?PRQ 为钝角,所以 RP ? RQ ? 0 , 即满足

( x1 ?1)( x2 ?1) ? ( y1 ? 1)( y2 ? 1) ? 0 ,且 RP 与 RQ 不是反向共线,

又 y1 ? ? x1 ? b, y 2 ? ? x2 ? b , 所以

( x1 ?1)( x2 ?1) ? ( y1 ?1)( y2 ?1) ? 2x1x 2 ?(b ? 2)( x1 ? x2 ) ? b2 ? 2b ? 2 ? 0 (4)

2 由(3) (4)得 b ? 2 ,满足 ? ? 0 ,即 ? 2 ? b ?

2,

12 分

当 RP 与 RQ 反向共线时,直线 y ? ? x ? b 过(1,-1) ,此时 b ? 0 ,不满足题意, 故直线 l 纵截距的取值范围是 ? 2 ? b ?

2 ,且 b ? 0

14 分

·7 ·


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