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必修一集合讲义


戴氏教育

有野心,有信心,会感恩

主讲人:惠老师

第一章 集合
1.1 集合的含义及其表示
1.集合的概念:一般地,指定的某些对象的全体称为集合。 集合常用大写的拉丁字母来表示,如集合 A、集合 B…… 集合中的每一个对象称为该集合的元素。集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。如 a、b、c、p、q…… 指出下列对象是否构成集合,如果是,指出该集合的元素。 (1)我国的直辖市; (2)五中高一(1)班全体学生;(3)较大的数 2.关于集合的元素的特征 (1)确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则戒者是 A 的元素,戒者不是 A 的元素,两种 情况必有一种且只有一种成立。 (2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应 重复出现同一元素。 (3)无序性:一般不考虑元素之间的顺序,但在表示数列之类的特殊集合时,通常按照习惯的由小到大的数 轴顺序书写。 3.集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示; (1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A ,记作 a ∈ A (2)如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于 A ,记作 a ? A (“∈”的开口方向,不能把 a∈A 颠倒过来 写)
王新敞
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6.集合的表示方法: (1)列丼法:把集合中的元素一一列丼出来,写在大括号内。如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x, x2+y2},…;各元素之间用逗号分开。 (2)描述法:把集合中的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成 {x | p( x)} 的形式。 7.数集和点集: 集合中元素的类型多是以数、点、图形或集合等形式出现,对于已知集合必须知道集合元素的形式,特别 是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么,代表元素有什么属性。 集合 A={x| y ? x 2 ? 1 } 集合 B={y| y ? x 2 ? 1 } 集合 C={(x,y)| y ? x 2 ? 1 } 例 1:下列所给对象不能构成集合的是( A.一个平面内的所有点 B.所有小于零的正数 C.某校高一所有高个子学生 D.某一天到商场买过货物的顾客
2 3



例 2:{ x, x ? x, x ? 3x }能表示一个集合吗?如果能表示一个集合,请说明理由;如果不能表示,则需要添 加什么条件使它能表示一个集合?

4.集合的分类: 一般地,我们把含有限个元素的集合叫有限集; 把含无限个元素的集合叫无限集; 把不含有任何元素的集合叫作空集,记为 ? 。 空集就是不含任何元素的集合。 注:1,区分{0}和 ? 2,区分 ? 和{ ? } 5.数的集合简称数集。 常用数集的记法: (1)非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合 记作 N, N ? ?0,1,2, ??
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例 3:设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={a+b|a ? P.b ? Q}, 若 P={0,2,5},Q={1,2,6},则 P+Q 中的元素有 个。

例 4:给出下列几个关系式: 2 ? R ; 0? N ? ; 其中正确的个数是( ) A.4

0.3 ? Q; 1 ? N? ; 2 B.5

0? N;

0 ? {0}; -5 ? Z . D.7

?? ? Z ;
C.6

(2)正整数集:非负整数集内排除 0 的集 记作 N*戒 N+
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N * ? ? ,2,3, ?? 1

?, ? (3)整数集:全体整数的集合 记作 Z , Z ? ?0, 1 ? 2, ?
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(4)有理数集:全体有理数的集合 记作 Q , Q ? 整数与分数
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(5)实数集:全体实数的集合 记作 R
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R ?? 数轴上所有点所对应的 ? 数

?

?

例 5:已知集合 A={x| kx ? 8 x ? 16 ? 0 }只有一个元素,试求实数 k 的值,并用列举法表示集合 A.
2

1

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练习: 1.下面有四个命题: (1)集合 N 中最小的数是 1; (2)若-a 不属于 N,则 a 属于 N; (3)若 a ? N,b ? N,则 a+b 的最小值为 2; (4) x +1=2x 的解可表示为{1,1} 其中正确命题的个数为( )个 A.0 B.1 C.2 2.用符号“ ? ”或“ ? ”填空 0 N
2

规律总结: 有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集,2n-1 个非空子集,n 个元素的非空真子集有 2n-2 个。 5.常见性质:

? ?A
D.3

?

A,且 A ? ?

5
Q

N Q e

16
Q

N

A?A A ? B,B ? C ? A ? C

?

1 2

?

2? 3 ? 2? 3

{ x | x ? a ? 6b, a ? Q, b ? Q } 例 1:集合 M={0,1},N={y| x ? y ? 1, x ? N },则 M、N 的关系是(
2 2

?x ? y ? 1 3.方程组 ? 2 的解集是( 2 ?x ? y ? 9
A.(5,4) B.{5,-4} 4.下列集合中为空集的是( A.{ x ? N | x ? 0 }
2
2



) A.M=N D.{(5,-4)} 例 2:下列说法:空集没有子集;任何集合至少有两个子集;空集是任何集合的真子集; ? 其中正确的有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 A,则 A ? ? , B.M N C.N M D.不确定

C.{(-5,4)} )
2

B.{ x ? R | x ? 1 ? 0 }
2

C.{ x ? R | x ? x ? 1 ? 0 }
2

D.{0}

5.已知 A={a+2,(a+1) , a ? 3a ? 3 },若 1 ? A,则 a=

. 例 3:已知 M={2,a,b},N={2a,2,b },且 M=N,求 a,b 的值.
2

1.2 集合间的基本关系
1.一般地,对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 中任何一个元素都是集合 B 中的元素,即 a ? A,则 a ? B,我们就 说集合 A 包含于集合 B,或集合 B 包含集合 A。 记作 A ? B .(或 B ? A )读作:“A 含于 B”(或“B 包含 A”) 这时我们说集合 A 是集合 B 的子集。 显然,任何一个集合都是它本身的子集,即 A ? A。 2.为了直观地表示集合间的关系,我们常用封闭曲线的内部表示集合,称为 Venn 图。 3.对于两个集合 A 和 B,如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素,同时集合 B 中的任何一个元素都 是集合 A 中的元素,这时,我们就说集合 A 和集合 B 相等,记作 A=B. 4.对于两个集合 A 和 B,如果 A ? B,并且 A ? B,我们就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A 规定:空集是任何集合的子集 ,即 ? ? A 空集是任何非空集合的真子集,即 ? ? A 且 A ? ? 。 B

练习: 1.若集合 x={x|x>-1},下列关系中成立的为( A.0 ? X B.{0} ? X C. ? ? X 2.用适当的符号填空:

) D.{0} ? X {x|

3

{ x| x ? 2}

(1,2)

{(x,y)|y=x+1}

3.设集合 A={x|-3 ? x ? 2},B={x|2k-1 ? x ? 2k+1},且 A ? B,则实数 k 的取值范围是

1 ? x, x ? R } x

{x| x ? x ? 0 }
3

.

4.设 A={x|1<x<2},B={x|x<a},若 A B,则 a 的取值范围是( A.a ? 2 B.a ? 1 C.a ? 1 D.a ? 2 5.集合 A={x ? R|x(x-1)(x-2)=0},则集合 A 的非空子集的个数为( A.4 B.6 C.7 D.8
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1.3 集合的基本运算
1.并集 一般地,由属于集合 A 戒属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集。 记作:A∪B 对“戒”的理解: 读作:“A 并 B” 即: A∪B={x|x∈A,戒 x∈B}

3.全集: 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作 U。 4.补集:对于全集 U 的一个子集 A,由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于 全集 U 的补集,简称为集合 A 的补集(戒余集) 记作:CUA 即:CUA={x|x∈U 且 x ? A} 补集的 Venn 图表示

Venn 图表示:

U
A B

A CUA
说明:补集的概念必须要有全集的限制,也就是说求集合 A 的补集的前提是 A 是全集 U 的子集。

说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的所有元素组成的集合(重复元素只看成一个元 A∪B 素)。 2.交集 一般地,由既属于集合 A 又属于集合 B 的所有元素所组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交集。 记作:A∩B 即: A∩B={x|x∈A,且 x∈B} 交集的 Venn 图表示 读作:“A 交 B”

集合基本运算的一些结论: A∩B ? A, A ? A∪B, (CUA)∪A=U, A∩B ? B, B ? A∪B, (CUA)∩A= ? A∩A=A, A∪A=A, A∩ ? = ? , A∪ ? =A, A∩B=B∩A A∪B=B∪A

若 A∩B=A,则 A ? B,反之也成立 若 A∪B=B,则 A ? B,反之也成立 若 x∈(A∩B),则 x∈A 且 x∈B 若 x∈(A∪B),则 x∈A,戒 x∈B 例 1:设 U=R,A={x|-5<x<5},B={x|0 ? x<7}. 求:(1)A ? B; (2)A ? B; (3)A ? ( CU B ); (4)( CU A ) ? ( CU B )

说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的公共元素组成的集合。 拓展:求下列各图中集合 A 与 B 的并集与交集 例 2:若 A={x| x ? 5 x ? 6 ? 0 },B={x|mx-1=0},A∩B=B,求 m 的值.
2

B A

A(B)

A

B

A

B

A

B

说明:当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,不能说两个集合没有交集

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例 3:已知全集 U={1,2,3,4,5},A={x| x 2 ? 5 x ? q =0,x ? U},求 q 的值及 CU A .

强化提高: 1.已知全集 U,集合 M、N 的关系的韦恩(Venn)图如图 1-1 所示,则 CU (M ? N ) =( A.{1,8,9} B.{1,2,8,9} C.{3,4,5} D.{1,2,6,7,8,9}

)

例 4:设全集 U={x|x 是三角形},A={x|x 是锐角三角形},B={x|x 是直角三角形},则( CU A ) ? ( CU B ) 等于( ) A.{x|x 是锐角三角形} B.{x|x 是钝角三角形} C.{x|x 是直角三角形} D.{x|x 是三角形} 1-1 2.设集合 A={x|1<x<4},B={x| x ? 2 x ? 3 ? 0 },则 A ? (CR B) =( A.1<x<4 B.3<x<4 C.1<x<3 D.1<x<2
2

)

练习: 1.已知集合 M={-1,1,2},集合 N={y|y=x ,x ? M},则 M ? N 是( A.{1,2,3} B.{1,4} C.{1}
2

) D. ?

3.设 S={x|x<-1 或 x>5},T={x|a<x<a+8},S ? R=R,则 a 的取值范围是( ) A. - 3 ? a ? -1 B. ? 3 ? a ? ?1 C. a ? ?3或a ? ?1 D. a ? ?3或a ? ?1

2.设集合 M={y|y= x ? 2 x ? 1 },N={x|y= x ? 2 x ? 5 },则 M ? N 等于( ) ? A. B.{(1,4)} C.[4,+ ? ) D.[0,+ ? )
2 2

3.定义集合运算:A*B={z|z=xy,x ? A,y ? B}.设 A={1,2},B={0,2},则集合 A*B 的所有元素之和为( A.0 B.2 C.3 D.6



4.若非空集合 A={x|2a+1 ? x ? 3a-5},B={x|3 ? x ? 22},则使 A ? (A ? B)成立的所有 a 的值得集合是( A.{a|1 ? a ? 9} B.{a|6 ? a ? 9} C.{a|a ? 9} D. ? 5.如果(A ? B) (A ? C),则 B、C 的关系是( A.C ? B B.B C C.B=C



) D.C B

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