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2013届哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学高三第1次联合模拟考试数学(理)试题及答案


2013 届东北三省三校(辽宁省实验中学、东北师大附中、 哈师大附中)高三第一次联合模拟考试 数学理
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟, 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1. 答题前, 考生先将自己的姓名、 准考证号码填写清楚, 将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂,非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体 工整,笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、 试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.设全集 U = R,集合 A ? {x | x ? 2} , B ? {x | 0 ? x ? 5} ,则集合 (CU A) A. {x | 0 ? x ? 2} C. {x | 0 ? x ? 2} 2.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 0 ”的否命题是 A.若 x ? 1 ,则 x ? 0 C.若 x ? 1 ,则 x ? 0 3.在复平面内,复数 z ? A.第一象限 B.若 x ? 1 ,则 x ? 0 D.若 x ? 1 ,则 x ? 0 B. {x | 0 ? x ? 2} D. {x | 0 ? x ? 2}

B?

3 ? 4i 对应的点在 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4.已知数列 {an } 是等差数列,且 a1 ? a2 ? a3 ? 2? ,则的值为

A. 3

B. ? 3

C.

3 3

D. ?

3 3

5.与椭圆 C :

y 2 x2 ? ? 1 共焦点且过点 (1, 3) 的双曲线的标准方程为 16 12 y2 ?1 3
B. y 2 ? 2 x2 ? 1 C.

A. x ?
2

y 2 x2 ? ?1 2 2

D.

y2 ? x2 ? 1 3

6.将 4 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,若每班至少 1 名教师,则不同的分配方案种数 为 A.12 B.36 C.72 D.108

7.按如图所示的程序框图运行后,输出的结果是 63,则判断框中的整数 M 的值是 A.5 B.6 C.7 D.8 8.若 ( x ? A.4 C.6

1 2 x
3

)n 的展开式中第四项为常数项,则 n =
B.5 D.7

9.已知 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 函数的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式为 A. y ? 4sin(4 x ? C. y ? 2sin(4 x ?

? ? ,直线 x ? 是 3 2

?

?

6

) )?2

B. y ? 2sin(2 x ? D. y ? 2sin(4 x ?

? ?
3 6

)?2 )?2

3

10.点 A、B、C、D 在同一个球的球面上,AB = BC = 大值为

2 ,AC = 2,若四面体 ABCD 体积的最

2 ,则这个球的表面积为 3 125? A. B. 8? 6

C.

25? 4

D.

25? 16

11.若点 P 在抛物线上,则点 P 到点的距离与点 P 到抛物线焦点的距离之差 A.有最小值,但无最大值 B.有最大值,但无最小值

C.既无最小值,又无最大值 12.已知 f ( x) ?

D.既有最小值,又有最大值

ln x ? ln x , f ( x) 在 x ? x0 处取得最大值,以下各式正确的序号为 1? x 1 1 ① f ( x0 ) ? x0 ② f ( x0 ) ? x0 ③ f ( x0 ) ? x0 ④ f ( x0 ) ? ⑤ f ( x0 ) ? 2 2
A.①④ B.②④ C.②⑤ D.③⑤

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题 ~ 第 21 题为必考题,每个试题要求考生必须作 答,第 22 题 ~ 第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

?3x ? y ? 6 ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0 ? 13.设 x,y 满足约束条件 ? ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为__________。 ?x ? 0 ? ?y ? 0
14.已知 ? ? {( x, y) || x |? 1,| y |? 1} ,A 是曲线 y ? x2 与 y ? x 2 围成的区域,若在区域 Ω 上随机 投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为__________。 15.已知某几何体的三视图如图,其中正视图中半圆直径为 2,则该几何体的体积为__________。
1

16. 在 ΔABC 中, 2sin 2

A AC ? 3 sin A , sin( B ? C ) ? 2cos B sin C ,则 __________。 2 AB

三、解答题(本大题共 70 分。解答应写出文字说明) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? (?1) ( n ? N )
n *

(1)求数列 {an } 的前三项 a1,a2,a3; (2)求证:数列 {an ?

2 ( ?1) n } 为等比数列,并求出 {an } 的通项公式。 3

18. (本小题满分 12 分) PM2.5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入 肺颗粒物,根据现行国家标准 GB3095 – 2012,PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一 级;在 35 微克/立方米 ~ 75 毫克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上空气质量为 超标。 从某自然保护区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测值数据中随机地抽取 10 天的数据作为样本, 监测值频数如下表所示: PM2.5 日均值 [25,35] (微克/立方米) 频数 3 1 1 1 1 3 (35,45] (45,55] (55,65] (65,75] (75,85]

(1)从这 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中,随机抽取 3 天,求恰有 1 天空气质量达到一级 的概率; (2)从这 10 天的数据中任取 3 天数据,记 ξ 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数,求 ξ 的 分布列; (3)以这 10 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量状况,则一年(按 366 天算)中平均 有多少天的空气质量达到一级或二级。 (精确到整数)

19. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱 AA2⊥底面 ABC,∠ACB = 90°,E 是棱 CC1 上动点,F 是 AB 中点,AC = 1,BC = 2,AA1 = 4。 (1)当 E 是棱 CC1 中点时,求证:CF∥平面 AEB1; (2)在棱 CC1 上是否存在点 E,使得二面角 A—EB1—B 的余弦值是 明理由。

2 17 ,若存在,求 CE 的长,若不存在,请说 17

20. (本小题满分 12 分) 已知点 E(m,0)为抛物线内的一个定点, 过 E 作斜率分别为 k1、 k2 的两条直线交抛物线于点 A、 B、C、D,且 M、N 分别是 AB、CD 的中点 (1)若 m = 1,k1k2 = -1,求三角形 EMN 面积的最小值; (2)若 k1 + k2 = 1,求证:直线 MN 定点。 过

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax sin x ? cos x ,且 f ( x ) 在 x ?

?
4

处的切线斜率为

2? 。 8

(1)求 a 的值,并讨论 f ( x ) 在 [ ?? , ? ] 上的单调性; (2)设函数 g ( x) ? ln(mx ? 1) ?

x j ? [0, ] ,使得 g ( xi ) ? f ( x j ) 成立,求 m 的取值范围 2

?

1? x , x ? 0 ,其中 m > 0,若对任意的 xi ?[0, ??) 总存在 1? x

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。做题时请 写清题号。 22. (本小题满分 10 分) 选修 4 - 1:几何证明选讲 如图,圆 O 的半径 OC 垂直于直径 AB,弦 CD 交 OA 于 E,过 D 的切线与 BA 的延长线交于 M。 (1)求证:MD = ME; (2)设圆 O 的半径为 1,MD = 半 径

3 ,求 MA 及 CE 的长。

23. (本小题满分 10 分) 选修 4 - 4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C1 和 C2 的参数方程分别是 ?

? x ? 2 ? 2cos ? ( φ 为参数)和 ? y ? 2sin ?

? x ? cos ? (φ 为参数) ,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 ? ? y ? 1 ? sin ?
(1)求圆 C1 和 C2 的极坐标方程; (2)射线 OM:θ = α 与圆 C1 的交点为 O、P,与圆 C2 的交点为 O、Q,求| OP | · | OQ |的最大 值

24. (本小题满分 10 分) 选修 4 - 5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? a | ?2 x ,其中 a > 0。

(1)当 a = 2 时,求不等式 f ( x) ? 2 x ? 1 的解集; (2)若 x ? (?2, ??) 时,恒有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围。

2013 年三省三校第一次联合模拟考试数学答案
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) CCBAC BBBDC DB 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.14 14.

1 12

15. 24 ?

3? 2

16.

1 ? 13 2

三.解答题(本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)在 Sn ? 2an ? (?1) , n ? 1中分别令 n ? 1,2,3
n

得:

?a1 ? 1 ? 解得: ?a 2 ? 0 ?a ? 2 ? 3
n

??3 分

(Ⅱ)由 Sn ? 2an ? (?1) , n ? 1得: S n?1 ? 2an?1 ? (?1) n?1 , n ? 2 两式相减得: an ? 2an?1 ? 2(?1) n , n ? 2 ??6 分

4 2 4 2 a n ? 2a n ?1 ? (?1) n ? (?1) n ? 2a n ?1 ? (?1) n ?1 ? (?1) n 3 3 3 3 2 2 a n ? (?1) n ? 2(a n ?1 ? (?1) n ?1 )( n ? 2) ??9 分 3 3
故 数 列 ?a n ?

? ?

2 1 2 ? (?1) n ? 是 以 a1 ? ? 为 首 项 , 公 比 为 2 的 等 比 数 列 . 所 以 3 3 3 ? an ? 1 2 ? 2 n ?1 ? ? (?1) n 3 3
??12 分

an ?

2 1 (?1) n ? ? 2 n ?1 3 3

18.(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)记―从 10 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气质量达到一级‖为 事件 A , ……1 分

P( A) ?

1 2 C3 ? C7 21 . ? 3 C10 40

……4 分

(Ⅱ)依据条件, ? 服从超几何分布:其中 N ? 10, M ? 3, n ? 3 , ? 的可能值为 0,1, 2,3 ,
3? k C3k C7 其分布列为: P ?? ? k ? ? ? k ? 0,1, 2,3? 3 C10

……6 分 ……8 分

?
P

0
7 24

1

2

3
1 120

21 40

7 40

(Ⅲ)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 P ? 一年中空气质量达到一级或二级的天数为? ,则? ~ B(366,0.7)

7 , 10
……10 分

? E? ? 366 ? 0.7 ? 256.2 ? 256 ,

?一年中平均有 256 天的空气质量达到一级或二级
19.(本题满分 12 分) 解: (1)证明:取 AB1 的中点 G,联结 EG,FG ? F、G 分别是棱 AB、AB1 中点,

.…12 分

1 BB1 2 1 又? FG∥EC, EC ? CC1 , FG=EC 2 ? 四边形 FGEC 是平行四边形, ? CF / / EG ? CF ? 平面 AEB1, EG ? 平面 AEB1 ? CF / / 平面 AEB. ? FG / / BB1 , FG ?
(2)解:以 C 为坐标原点,射线 CA,CB,CC1 为 x, y, z 轴正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 C ? xyz. 则 C(0,0,0) ,A(1,0,0) ,B1(0,2,4) 设 E (0, 0, m) (0 ? m ? 4) ,平面 AEB1 的法向量 n1 ? ( x, y, z ) . 则 AB1 ? (?1, 2, 4) AE ? (?1,0, m) , 由 AB1 ? n1 , AE ? n1

??4 分 ??6 分

uuu r

uu u r

得?

?? x ? 2 y ? 4 z ? 0 ?? x ? mz ? 0
??8 分

n1 ? ( 2 mm , ? 4, 2)
? CA ? 平面 C1CBB1

? CA 是平面 EBB1 的法向量,则平面 EBB1 的法向量 n2 ? CA ? (1,0,0) ??10 分
? 二面角 A—EB1—B 的平面角余弦值为
n ?n 2 17 ? cos ? n1 , n2 ?? 1 2 ? 17 n1 n2

2 17 , 17
2m



4m ? (m ? 4) 2 ? 4
2

解得 m ? 1(0 ? m ? 4)

? 在棱 CC1 上存在点 E,符合题意,此时 CE ? 1

??12 分

20.(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)当 m ? 1 时,E 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, ∵ k1k2 ? ?1,∴AB⊥CD 设 AB 方程为 y ? k1 ( x ? 1) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 由?

? y ? k1 ( x ? 1) ? y ? 4x
2

,得 k1 y2 ? 4 y ? 4k1 ? 0 , y1 ? y2 ?

4 , y1 y2 ? ?4 k1

AB 中点 M (

x1 ? x2 y1 ? y2 2 2 , ) ,∴ M ( 2 ? 1, ) ,同理,点 N (2k12 ? 1, ?2k1 ) ??2 分 2 2 k1 k1

∴ S?EMN ?

1 1 2 2 1 | EM | ? | EN |? ( 2 )2 ? ( )2 ? (2k12 )2 ? (?2k1 )2 ? 2 k12 ? 2 ? 2 ??4 分 2 2 k1 k1 k1

? 2 2?2 ? 4
当且仅当 k1 ?
2

1 ,即 k1 ? ?1时,△EMN 的面积取最小值 4. k12

??6 分

(Ⅱ)证明:设 AB 方程为 y ? k1 ( x ? m) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

由?

? y ? k1 ( x ? m) ? y ? 4x
2

,得 k1 y2 ? 4 y ? 4k1m ? 0 , y1 ? y2 ?

4 , y1 y2 ? ?4m k1

AB 中点 M (

x1 ? x2 y1 ? y2 2 2 2 2 , ) ,∴ M ( 2 ? m, ) ,同理,点 N ( 2 ? m, ) ??8 分 2 2 k1 k1 k2 k2
??10 分

∴ kMN ?

yM ? yN kk ? 1 2 ? k1k2 xM ? xN k1 ? k2 2 2 ? k1k2 [ x ? ( 2 ? m)] ,即 y ? k1k2 ( x ? m) ? 2 k1 k1

∴MN: y ?

∴直线 MN 恒过定点 (m, 2) . 21.(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? a sin x ? ax cos x ? sin x ? (a ? 1)sin x ? ax cos x

??12 分

??2 分

? 2 ? 2 2? f ?( ) ? (a ? 1) ? ? ?a? ? 4 2 4 2 8
?a ?1
??4 分

? f ?( x) ? x cos x
? f ?( x )? 0 ? ?? ? x ? ?
? f ?( x )? 0 ??
则 f ( x ) 在 (?? , ? (Ⅱ)当 x ? [0,

?
2

或 , ? 0x ?

?
2

?
2

?x? 0 或 ,

?
2

? x ??

?
?

), (0, ) 上单调递增; f ( x) 在 (? , 0), ( , ? ) 上单调递减;??6 分 2 2 2 2 ] 时, f ( x) 单调递增,? f ( x)min ? f (0) ? 1

?

?

?

2

则依题 g ( x) ? 1 在 x ? [0, ??) 上恒成立

m?2 ) m g ?( x) ? , ( x ? 0, m ? 0) (mx ? 1)( x ? 1) 2 m( x 2 ?
①当 m ? 2 时,

??8 分

m?2 ? 0 ,? g ?( x) ? 0 在 [0, ??) 上恒成立,即 g ( x) 在 [0, ??) 上单调递增, m

) 又 g (0) ? 1 , 所 以 g ( x ?


1 x ? [0, ??) 上 恒 成 立 , 即 m ? 2 时 成 在
??10 分

②当 0 ? m ? 2 时, 当 x ? (0,

2?m 此时 g ( x) 单调递减, ? g ( x) ? g (0) ? 1 , ) 时,g ?( x) ? 0 , m
??12 分

故 0 ? m ? 2 时不成立,综上 m ? 2 22.(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 (Ⅰ)证明:连接 OD ,则 OD ? MD

?CEO ? ?ECO ? 90o , ?MDE ? ?EDO ? 90o , 又?EDO ? ?ECO ??CEO ? ?MDE ? ?MED,? MD ? ME
(Ⅱ)解:由(Ⅰ) MD2 ? MA ? MB ?3 ? MA ? (MA ? 2) ? MA ? 1 在 Rt ?MDO 中, MO ? 2, MD ? 3

??5 分

??MOD ? 60 ,??COD ? 150 ??ECO ? 15
CE ? OC 1 ? ? 6? 2 cos ?ECO cos 15 o

??10 分

23.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)圆 C1 和 C2 的的普通方程分别是 ( x ? 2) ? y ? 4 和 x ? ( y ? 1) ? 1 ,
2 2 2 2

所以圆 C1 和 C2 的的极坐标方程分别是 ? ? 4 cos? 和 ? ? 2 sin ? . (Ⅱ)依题意得,点 P, Q 的极坐标分别为 P(4cos ? , ? ) 和 Q(2sin ? , ? ) 所以 | OP |?| 4 cos? | , | OQ |?| 2 sin ? | .从而 | OP | ? | OQ |?| 4sin 2? | ? 4 . 当且仅当 sin 2? ? ?1 时,上式取“=”即, | OP | ? | OQ | 的最大值是 4 .

……5 分

……10 分

24.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ) a ? 2 时, x ? 2 ? 2x ? 2x ? 1 ? x ? 2 ? 1,? x ? 3 或 x ? 1 ,

? 解集为 ? ??,1?
(Ⅱ) f ( x) ? ?

?3, ???

??5 分

?3x ? a,x ? a ? x ? a, x ? a

a ? 0 ? 当 x ? ?2 时 f ( x) ? x ? a ? ?2 ? a ,只需 ?2 ? a ? 0 即可,
??10 分

?a ? 2


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