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河南省中原名校联盟2014届高三上学期第一次摸底考试 数学理


中原名校联盟 2013——2014 学年高三上期第一次摸底考试

理科数学试题
(考试时间:150 分钟 试卷满分:150 分)

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要 求的。 1.设 A={1,4,2x},若 B={1, x 2 },若 B ? A,则 x= A.0 B.-2 C.0 或-2 D.0 或±2 2.已知 m,n∈R,mi-1=n+i,则复数 m+ni 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ( )





3.若数列{ an }通项为 an =an,则“数列{ an }为递增数列”的一个充分不必要条件是( A.a≥0
2

) D. a<0

B.a>1
2

C. a>0

4. 若直线 y=kx 与圆 x +y -4x+3=0 的两个交点关于 直线 x+y+b=0 对称,则 ( ) A.k=1,b=-2 B.k=1,b=2 C.k=-1,b=2 D.k=-1,b=-2 5.执行右边的程序框图,若 t∈[-1,2],则 s∈( ) A. (-1,2) B.[-1,2) C.[-1,2] D. (-l,2] 6.正方形 AP1P2P3 的边长为 4,点 B,C 分别是边 P1P2, P2P3 的中点,沿 AB,BC,CA 折成一个三棱锥 P-ABC (使 P1, 2, 3 重合于 P) 则三棱锥 P-ABC P P , 的外接球表面积为 ( ) A.24π B.12π C.8π 7.已知等比数列{ an }中,各项都是正数,且 a1,

D.4π )

a +a10 1 a3,2a2 成等差数列,则 9 =( 2 a9+a8
D. 2 -1

A.1- 2

B.1+ 2

C.2

8.如图所示,M,N 是函数 y=2sin(wx+ ? ) >0) (ω 与 x 轴的交点,点 P 在 M,N

图像

PN 之间的图像上运动, 当△MPN 面积最大时 PM ·
则ω = ( )
·1·

uuur uuu r

=0,

A. C.

? ?
4

B.

?
3

2

D.8 则四棱 是

9. 已知四棱锥 P-ABCD 的三视图如下图所示, 锥 P-ABCD 的四个侧面中的最大的面积 ( ) A.3 C.6
2

B.2 5 D.8
2

10.在圆 ( x ? 2) +( y ? 2) =4 内任取一点,则

? x+2y-5≥0 ? 该点恰好在区域 ? x-2y+3≥0 内的概率 ? x≤3 ?
为 A. ( ) B.

1 8?

1 4?

C.

1 2?

D.

1

?

11.等轴双曲线

x 2 y2 ,方程 ax 2+bx-c=0 的实根分别为 - =1(a>0,b>0)的右焦点为 F(c,0) a 2 b2

x1 和 x2 ,则三边长分别为| x1 |,| x2 |,2 的三角形中,长度为 2 的边的对角是
( ) A.锐角 B.直角 C.钝角 ( D.不能确定 )

12.已知函数 f(x) (x∈R)满足 f ?( x) >f(x) ,则 A.f(2)< e 2 f(0) C.f(2)= e 2 f(0)

B.f(2)≤ e 2 f(0) D.f(2)> e 2 f(0)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生依据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知| a |=1,| b |= 3 ,且 a , b 的夹角为
·2·

r

r

r

r

?
6

,则| a - b |的值为_________.

r

r

14.曲线 y =x 与 y= x 2 围成的图形的面积为______________. 15.已知(1+x)+ (1+x) + (1+x) +?+ (1+x) = a0 + a1 x + a1 x 2 +?+ an x n ,且 a0 + a1 +
2 3 n

2

a2 +?+ an =126,则 n 的值为______________.
16.对于实数 a,b,定义运算“﹡” :a﹡b= ?

?a 2-ab,a≤b ? ,设 f(x)=(2x-1)﹡x,且关于 x 的 2 ?b -ab,a>b ?

方程 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1 , x2 , x3 ,则 x1 + x2 + x3 的取值范围 是_________________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)= sin 2 x -sin(2x-

?
2

) .

(1)求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,c=3,f( 求△ABC 的面积.

C 1 )= ,若 sinB=2sinA, 2 4

18. (本小题满分 12 分) 甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的 10 道题中,甲答对其中每道题的概率都是

3 , 5

乙能答对其中的 5 道题.规定每次考试都从备选的 10 道题中随机抽出 3 道题进行测试, 答对一题加 10 分,答错一题(不答视为答错)减 5 分,得分最低为 0 分,至少得 15 分 才能入选. (1)求乙得分的分布列和数学期望; (2)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率. 19. (本小题满分 12 分) 如右图,在多面体 ABCDE 中,DB⊥平面 ABC, AE∥DB,且△ABC 是边长为 2 的等边三角形, AE=1, 与平面 ABDE 所成角的正弦值为 CD

6 . 4

(1)若 F 是线段 CD 的中点,证明:EF⊥面 DBC; (2)求二面角 D-EC-B 的平面角的余弦值.

20. (本小题满分 12 分)
·3·

已知椭圆长轴的左右端点分别为 A,B,短轴的上端点为 M,O 为椭圆的中心,F 为椭圆的右焦 点,且 AF · FB =1,| OF |=1. (1)求椭圆的标准方程; (2)若直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,问:是否存在直线 l,使得点 F 恰为△PQM 的垂心?若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

uuu r

uur

uuu r

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ln

1 -a x 2 +x(a>0) . x

(1)若 f ?(1) = f ?(2) ,求 f(x)图像在 x=1 处的切线的方程; (2)若 f(x)的极大值和极小值分别为 m,n,证明:m+n>3-2ln2.

【选考题】 请考生在第 22、23、24 题中任选一道作答,多答、不答按本选考题的首题进行评分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在△ABC 中,CD 是∠ACB 的平分线, △ACD 的外接圆交于 BC 于点 E,AB=2AC. (1)求证:BE=2AD; (2)当 AC=1,EC=2 时,求 AD 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中,圆锥曲线 C 的参数方程为 ? 经过定点 A(2,3) ,倾斜角为

? x=4 cos ? (θ 为参数) ,直线 l ? y=4sin ?

?
3



(1)写出直线 l 的参数方程和圆的标准方程; (2)设直线 l 与圆相交于 A,B 两点,求|PA|·|PB|的值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f(x)=|2x+1|-|x-2|. (1)求不等式 f(x)≤2 的解集;
·4·

(2)若{x|f(x)≥ t 2 -t}∩{y|0≤y≤1}≠ ? ,求实数 t 的取值范围.

理科数学参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) CDBAD ABACC CD 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、 14、

1 3

15、6

16、 ( ,

5 8+ 6 ) 2 4

三、解答题

1 ? cos 2 x 1 1 ??????2 分 ? cos 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 ∴当 cos 2 x ? 1 时,函数取得最大值 1;当 cos 2 x ? ?1 时,函数取得最小值 0 ???4 分 C 1 (Ⅱ)? f ( ) ? , 2 4 1 1 1 ? cos C ? ? 2 2 4
17、解: (I) f ( x) ? 又? C ? (0, ? )
·5·

?C ?

2? 3

????????6 分

? sin B ? 2sin A ? b ? 2a
?c ? 3
? a2 ? 9 7 ? 9 ? a 2 ? 4a 2 ? 2a ? 2a ? cos 2? 3

????????8 分

????????10 分 ????????12 分

1 9 3 ab sin C ? a 2 sin C ? 2 14 18、解: (1)设乙得分为 x ,则 x = 0,15,30 ? S ?ABC ?

P (x = 0) =
P (x = 15) =

0 3 1 C5 C5 C5C52 1 5 1 + = + = , 3 3 C10 C10 12 12 2
2 1 C5 C5 5 , = 3 C10 12
3 0 C5 C5 1 = 3 C10 12

P (x = 30) =

x 的分布列为 0 x 1 P
2

15

30

????????4 分

5 12

1 12

Ex = 0?

1 2

15?

5 12

30?

1 12

35 4

????????6 分

(2)设“甲入选”为事件 A, “乙入选”为事件 B

C 2C1 C 3C 0 1 54 27 81 , P (B) = 5 3 5 + 5 3 5 = ??????10 分 + = C10 C10 2 125 125 125 103 所求概率 P = 1- P ( AB ) = 1- P ( A) P ( B ) = ??????12 分 125 19、 (1)证明:取 AB 的中点 O,连结 OC,OD,则 OC ^ 面ABD \ CDO 即是 CD 与平面 ABDE 所成角, OC 6 ????????2 分 \ = ? CD 2 2 ? BD 2 CD 4 取 BD 的中点为 G,以 O 为原点, OC 为 x 轴, OB 为 y 轴, OG 为 z 轴建立如图空间直角坐标系, 骣3 1 ÷ 则 C 3, 0, 0 , B (0,1, 0), D (0,1, 2), E (0, - 1,1), F ? ? , ,1÷, ?2 2 ÷ ÷ ? 桫 取 BC 的中点为 M,则 AM ^ 面BCD D z ??? 骣 3 3 鼢 ? 骣 3 3 ???? EF = 珑 , ,鼢 M = 0, A ,, , 0 珑 珑 鼢 M 珑2 2 鼢 桫 桫2 2 ??? ???? ? E 所以 EF // AM ,所以 EF ? 面DBC ????6 分 F
则 P ( A) =

(

)

·6·

O

A
G

B

y

(2)解:由上面知: BF ? 面DEC ,

??? 骣 3 ? 1 ÷ 又 BF = ? - 1÷ ? , ,, ÷ ? ?2 桫 2 ÷
取平面 DEC 的一个法向量 n =

?

??? ? 又 CE = -

3,0 , 1, ?? 由此得平面 BCE 的一个法向量 m = 1, 3, 2 3 ????10 分 ?? ? ?? ? m?n 6 6 则 cos m, n = ?? ? = ,所以二面角 D ? EC ? B 的平面角的余弦值为 ??12 分 4 4 m n

(

??? ? 3, 11 CB = - ,,

(

3, - 1, 2

)

????8 分

)

(

)

(

)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , F (c, 0) a 2 b2 ??? ??? ? ? 2 2 所以 c = 1 ,又因为 AF ?FB = (a + c )(a - c ) = a - c = 1 ,
20、解: (1)设椭圆方程为 所以 a = 2, b = 1 ,则椭圆方程为
2 2

x2 ? y2 ? 1 2

??????4 分

x2 (2)假设存在直线符合题意。由题意可设直线方程为: y = x + n ,代入 ? y 2 ? 1 得: 2 2 2 3 x + 4nx + 2n - 2 = 0 ???????6 分 ?= 16n 2 - 24(n 2 - 1) > 0 ? n 2 3
设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) ,则 x1 + x2 = -

4 2n 2 - 2 n, x1 x2 = 3 3 ??? ???? ? ? FP?MQ = ( x1 - 1, y1 )? x2 , y2 - 1) = ( x1 - 1) x2 + ( y2 - 1) y1 (
4 3

= 2 x1 x2 + (n - 1)( x1 + x2 ) + n 2 - n = 0
解得: n = 1 或 n = -

???????8 分 ????????10 分

当 n = 1 时, P, Q, M 三点共线,所以 n ? 1 所以 n = -

4 3

所以满足题意的直线存在,方程为: y = x -

4 3

????????12 分

2ax 2 - x + 1 x 8a - 1 1 ,即 a = ? f '(1) = f '(2) , \ - 2a = 2 4 1 ? f ? x ? ? ? ln x ? x 2 ? x 4 3 1 ? f ?1? ? , f '(1) ? ? 4 2 ( 21、解: (1) f ? x) = ·7·

????????2 分

3 1 = - ( x - 1) ,即 2 x + 4 y - 5 = 0 ?4 分 4 2 1 1 (2)设 x1, x2 为方程 f ? x) = 0 的两个实数根,则 x1 + x2 = ( , x1 x2 = 2a 2a ì D = 1 - 8a > 0 ? ? 1 ? ? 0 a< 由题意得: ? x1 + x2 > 0 ????????6 分 í ? 8 ?xx 0 ? 1 2 ? ?

\ f ( x) 图像在 x = 1 处的切线的方程为 y -

m ? n ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ln x1 ? ax12 ? x1 ? ln x2 ? ax2 2 ? x2

??????8 分

1 2 ? ? ln x1 x2 ? a ?? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ln a ? ? ln 2 ? 1 ????10 分 ? ? 4a 1 4a - 1 令 g ? a ? ? ln a ? , ? ln 2 ? 1 ,则 g ?(a ) = 4a 4a 2 1 0 < a < 时, g ?(a ) < 0, g (a ) 是减函数, 8 骣 1 则 g (a ) > g ? ÷= 3 - 2 ln 2 ? ÷ ?8 ÷ 桫 即 m ? n ? 3 ? 2 ln 2 ????????12 分 22、解:连接 DE 因为 ACED 是圆的内接四边形,所以 ?BDE ? ?BCA ,又 ?DBE ? ?CBA , BE DE 所以 ?DBE∽?CBA ,即有 ,又 AB ? 2 AC , ? BA CA 所以 BE ? 2 DE ,又 CD 是 ?ACB 的平分线, 所以 AD ? DE ,从而 BE ? 2 AD 。 ????5 分 (2)由条件的 AB ? 2 AC ? 2 设 AD ? t , 根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC
即 ? AB ? AD ? ? BA ? 2 AD ? ? 2 AD ? CE ? , 所以 ? 2 ? t ? ? 2 ? 2t ? 2t ? 2 ? 即 2t 2 ? 3t ? 2 ? 0

1 1 ,或 t ? ?2 (舍去) ,即 AD ? ????????10 分 2 2 1 ? x ? 2? t ? 2 ? 2 2 23、解: (1) x ? y ? 4 ①, ? ? t为参数 ? ② ??????5 分 ?y ? 3? 3 t ? ? 2
解得 t ? (2)把②代人①得, t + 2 + 3 3 t - 3 = 0 ③ 设 t1 , t2 是方程③的两个实根,则 t1t2 = - 3 所以 PA ? PB ? t1 t2 ? t1t2 ? 3 ???????10 分
2

(

)

·8·

祆 1 1 镲 镲? x - < x< 2 ì x? 2 ? 镲 或? 24、解: (1) 眄 2 或 2 镲 ? x+ 3 2 ? 镲 x- 3? 2 3x 1 2 镲 铑 所求解集为 x ? ? ?5,1?
(2)依题意得 f ( x) ? t 2

????????5 分

t 在 x ? [0,1] 时有解 鄢 f ( x) max

t2 - t
????????10 分

? x ? [0,1], f ( x)
2

3 x - 1 , f ( x) max = 2

则 t ? t ? 2 ? ?1 ? t ? 2

·9·


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