当前位置:首页 >> 数学 >>

2017海淀-高三数学查漏补缺题


数学查漏补缺题
2017.5 说明: 个别题目有一定难度 ,个别题目方向有偏差,请谨慎选用! 1、 提供的题目并非一组试卷,小题(选、填)主要针对以前没有考到的知识点,或者在 试题的呈现形式上没有用过的试题。 2、 教师要根据自己学校的学生情况,有针对性地选择使用,也可以不用。 3、 后期教师要根据自己学校情况, 注意做好保温练习,合理安排学生时间。 4、 因为是按照中心组教师的建议和一些教师的建议匆匆赶制而成,难免出错,希望老师们 及时指出问题,以便及时改正。 【集合与简易逻辑部分 】 向量,三角,函数,不等式, 1.设集合 A ? x x ? x ? 1? ? 0 ,集合 B ? x 2 x ? 1 ,则集合 A ? B 等于 A.

?

?

?

?

?x x ? 0?

B.

?x x ? ?1?

C.

?x x ? 0?

D.

?x x ? ?1?

答案:B 2.设全集 U ? Z ,集合 A ? ?x ? Z x( x ? 2) ? 3? ,则 ?U A ? A.

?0,1, 2,3?

B.

?-1,0,1, 2?

0 1,, 2 3} C. { ? 1,,

1, 2} D. {0,

答案:D 3.在 ?ABC 中, “ A ? B ”是“ sin A ? sin B " 的 A.充分必要条件 C.必要不充分条件 答案:A
π 4.已知 f ( x) ? 2sin(? x ? ) ,则“ ?x ? R , f ( x ? π) ? f ( x) ”是“ ? =2 ”的 3

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分必要条件 C.必要不充分条件 答案:C

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 , l2 : 2 x ? (a ? 1) y ? 3 ? 0 ,则“ a ? 1 ”是“ l1 // l2 ”的 A.充分必要条件 C.必要不充分条件 答案:B
1 / 15

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

6.设 a, b ? (0, ??) ,则“ a ? b ”是“ log a b ? 1 ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 答案:D 【复数】 若
m?i ? ni ,则实数 m ? _________,实数 n ? _________. 1? i

) D.既不充分也不必要条件

解:

?m ? ?n, m?i ? ni ? m ? i=ni(1+i) ? m ? i= ? n ? ni ? ? 1? i ? 1? n

所以 m ? ?1, n ? 1 .

【数列】 1.记函数 y ? e x 在 x ? n(n ? 1,2,3,?) 处的切线为 ln . 若切线 ln 与 ln ?1 的交点坐标为 ( An , Bn ) , 那么 A. 数列 { An } 是等差数列,数列 {Bn } 是等比数列 B. 数列 { An } 与 {Bn } 都是等差数列 C. 数列 { An } 是等比数列,数列 {Bn } 是等差数列 D. 数列 { An } 与 {Bn } 都是等比数列 答案:A

2.已知数列 ?an ? 满足:点 ? n, an ? 在直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上,若使 a1 、 a 4 、 am 构成等比数列,则
m =_____________

13

3.已知数列 a1 , a2 ? a1 , a3 ? a2 , ???, an ? an?1 , ??? 是首项为 1 ,公差为 1 的等差数列,则数列 ?an ? 的通项公式 an ? .
1 答案: an ? n(n ? 1) 2

4.已知数列 ?an ? , a2 ? 2 , an ? an?1 ? 3n, n ? N * ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 =______ 解 析 : 法 一 : 通 过 具 体 罗 列 各 项 a3 ? 4 , a4 ? 5 , a5 ? 7 , a6 ? 8 , a7 ? 10 , a8 ? 11 , a9 ? 13 ,
a10 ? 14 , a11 ? 16 , a12 ? 17 ,

所以 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 =57 法二: 由递推关系进一步可得相邻几项之间的关系
an ? an ?1 ? 3n, an?1 ? an? 2 ? 3n ? 3,
2 / 15

两式相减可得 an? 2 ? an ? 3, 所以数列 ?an ? 隔项成等差数列,所以 a2 , a4 , a6 , a8 , a10 , a12 是以 2 为首项,以 3 为公差,共有 6 项的等差数列,用求和公式得 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 =
6? 2 ? 6?5 ? 3 ? 57 2

5.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 10 , S5 ? S6 ,下列四个命题中,假命题是 A.公差 d 的最大值为 ?2 B. S7 ? 0 C.记 Sn 的最大值为 K , K 的最大值为 30 D. a2016 ? a2017 答案:B
15 ? n ? ,n ? 5 ? 31 ? n 6.已知数列 的通项为 an ? ? ,若 的最小值为 ,则实数 a 的取值范 {an} {an} 1 4 ?a ln n ? , n ? 5 ? ? 4

围是_________. 答案: a ?
8 ln 6

7 (文) . 已知 {an } 是等差数列, 满足 a1 ? 2 ,a4 ? 14 , 数列 {bn } 满足 b1 ? 1 , 且 {an ? bn } b4 ? 6 , 是等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)若 ?n ? N* ,都有 bn ? bk 成立,求正整数 k 的值. 解: (Ⅰ)设 {an } 的公差为 d ,则 d ?
a4 ? a1 ?4 3

所以 an ? 2 ? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 2 , 故 {an } 的通项公式为 an ? 4n ? 2 ( n ? N* ). 设 cn ? an ? bn ,则 {cn } 为等比数列.
c1 ? a1 ? b1 ? 2 ? 1 ? 1 , c4 ? a4 ? b4 ? 14 ? 6 ? 8

设 {cn } 的公比为 q ,则 q 3 ? 则 cn ? 2n?1 ,即 an ? bn ? 2n?1

c4 ? 8 ,故 q ? 2 . c1

3 / 15

所以 bn ? 4n ? 2 ? 2n?1 ( n ? N* ). (Ⅱ)由题意, bk 应为数列 {bn } 的最大项. 由 bn?1 ? bn ? 4(n ? 1) ? 2 ? 2n ? 4n ? 2 ? 2n?1 ? 4n ? 2n?1 ( n ? N* ) 当 n ? 3 时, bn ?1 ? bn ? 0 , bn ? bn ?1 ,即 b1 ? b2 ? b3 ; 当 n ? 3 时, bn ?1 ? bn ? 0 ,即 b3 ? b4 ; 当 n ? 3 时, bn ?1 ? bn ? 0 , bn ? bn ?1 ,即 b4 ? b5 ? b6 ? ? 所以数列 {bn } 中的最大项为 b3 和 b4 . 故存在 k ? 3 或 4 ,使 ?n ? N* ,都有 bn ? bk 成立.

【三角函数部分】
2b ?. 2 ,则 sin C ? cos C 4 2.在 ?ABC 中,角 B 为钝角,则 sinB______sin(A+B).(填“>”或“<”或“=”)

1.在 ?ABC 中,若 a ? 1 , ?A ?

?

答案:> 3.设偶函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ,? ? 0 ,若 f ( x) 在区间 ? 0, ? ? 至少存在一个零点,则 ? 的最小 值 为 .
1 2
2 (填 " ? " 或 " ? " ) ; sin 73? ? _____________(用 a 表 2

4.已知 sin 43? ? a ,则 a ______ 示) 答案:<,
3a ? 1 ? a 2 2

5.在坐标平面 xOy 内, O 为原点,点 P ( 标为________________
1 3 答案: ( ? , ) 2 2

3 1 π , ) ,射线 OP 逆时针旋转 ,则旋转后的点 P 坐 2 2 2

6.已知

?
4

?x?

?
2

,设 a ? sin x , b ? cos x , c ? tan x ,则( B
4 / 15



A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

C. a ? c ? b

D. b ? c ? a

? ? ?? 7.已知当 x ? ? 0, ? 时,函数 f ( x) ? 2sin(? x ? )-1 (? ? 0) 有且仅有 5 个零点,则 ? 的取值范 6 ? 4? 围是________.
答案: [16,
56 ) 3

? 1 分析: 可以将问题转化为研究函数函数 g ( x) ? sin(? x ? ) (? ? 0) 与直线 y ? 有且仅有 5 个 6 2
交点. 如图,是满足条件的两个临界状态,由此得到 ? 计算可得临界态的 ? ? 16, ? ?
π π π π π 5π , ? ? 4π ? , ? ? ? 4π ? 4 6 6 4 6 6

56 56 ,依据题意可得 ? ? [16, ) . 3 3

y
0.5

y
0.5

x

x

8.已知函数 f ( x) ?| sin x | ? cos x ,现有如下几个命题: ①该函数为偶函数; ②该函数最小正周期为
π ; 2

③该函数值域为 [?1, 2] ; ④若定义区间 (a, b) 的长度为 b ? a ,则该函数单调递增区间长度的最大值为 其中正确命题为.①③④ 9.已知函数 f ( x) ?| cos x | ?sin x ,给出下列四个说法: ① f(
2014? 3 )?? ;②函数 f ( x) 的周期为 ? ; 3 4

3π . 4

③ f ( x) 在区间 [? , ] 上单调递增;④ f ( x) 的图象关于点 (? ,0) 中心对称 4 4 2 其中正确说法的序号是( B ) A. ②③ B. ①③ C. ①④ D. ①③④
5 / 15

? ?

?

解析:①显然正确;因为 f(

?
4

5? ? ? , 所 以 ② 不 成 立 ; 当 x ? [? , ] 时 , )? f ( ) 4 4 4

1 ? 3? f ( x) ?| cos x | ? sin x ? sin 2 x ,③正确; f (? ) ? ? f (? ) ,所以④不成立 2 4 4

综上,答案为 B 10.已知函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ,(? ? 0,0 ? ? ?

?

?? 3 ? ) 的图象经过点 ? ? 4 ,2 ? ? ,且相邻两条对称 2 ? ?

轴的距离为

? . 2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的解析式及其在 ? 0, ? ? 上的单调递增区间;
1 ? A? (Ⅱ)在 ?ABC中,a, b, c 分别是 A, B, C 的对边,若 f ? ? ? cos A ? ,求 ?A 的大小. 2 ?2?

解: (Ⅰ)由相邻两条对称轴的距离为

? 2π 可得其周期为 T = ? π ,所以 ? ? 2 ? 2

?? 3 ? ? ? 图像过点 ? , ? , 且 ? ? 0,0 ? ? ? 得 ? = ?4 2 ? 2 6 ? ?

?? ? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? 6? ?
2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

π ? ? 5? ? 增区间为 ? ? 0, ? 和 ? , ? ? ? 3? ? 6 ? 1 ?? 1 ? A? ? (Ⅱ)由 f ? ? ? cos A ? ,可得 sin ? A ? ? + cos A ? , 2 6? 2 ?2? ?



3 1 1 ?? 1 ? sin A ? cos A ? ,得 sin ? A+ ? ? 2 2 2 6? 2 ?

由于 0 ? A ? ? ,则

?
6

? A?

?
6

?

7? 6

π 5π 2? A ? = ,? A= 6 6 3 11.在 ?ABC 中, a , b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 a ? c ? 2b ,则角 B 的取值范围为_____.
a 2 ? c2 ? b2 ? 答案: cos B ? 2ac a2 ? c2 ? ( a?c 2 ) 3a 2 ? 3c 2 ? 2ac 6ac ? 2ac 1 2 ? ? ? 2ac 8ac 8ac 2

当且仅当 a ? c ? b,即?ABC为等边三角形 时, cos B ? 又? 0 ? B ? ? ? B ? (0, ] . 3

1 2

?

6 / 15

12.理科版: 已知函数 f ( x) ? 4sin

?

?? ?? x cos ? x ? ? ? 3 ?? ? 0 ? . 2 3? ?2

? 5? 8? ? (Ⅰ)若 ? ? 3 ,求 f ( x) 在区间 ? , ? 上的最小值; ? 9 9 ? (Ⅱ)若函数 f ( x) 的图象如图所示,求 ? 的值.

解: (I) f ( x) ? 4sin

?

?? ?? x cos ? x ? ? ? 3 2 3? ?2

? 4sin ? 2sin

? ?1 ?

? 3 ? ? x? cos x ? sin x ? ? 3 ? 2 ?2 2 2 2 ? ? ? ?

x cos x ? 2 3 sin 2 x ? 3 2 2 2 ? sin ? x ? 3(1 ? cos ? x) ? 3 ? sin ? x ? 3 cos ? x π? ? ? 2sin ? ? x ? ? 3? ?
π? ? 因为 ? ? 3 ,所以 f ( x) ? 2sin ? 3x ? ? . 3? ?

因为

5π 8π 4π π 7π . ? x ? ,所以 ? 3x ? ? 9 9 3 3 3 π 3π 11? ,即 x ? 时,函数 f ( x) 的最小值为-2. ? 3 2 18

所以,当 3x ?

(II)由已知得, f (

π? 3 2π ? 2? . ) ? 3 ,故而 sin ? ? ? ? ? 3? 2 9 ? 9

2π π π 2π ? ? ? 2k? ? 或2kπ ? , k ? Z 9 3 3 3 9 则? ? 3 ? 9k或 +9k , k ? Z 2

2π T 4π 9 ,所以 ? ? . ? ,即 T ? 9 9 2 2 又因为 ? ? 0 ,所以 ? ? 3 .

又由图象可知,

π? ? 12.文科版:已知函数 f ( x) ? 4sin x cos ? x ? ? ? 3 . 3? ? (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期、零点; ? π 3π ? (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? , ? 上的最大值和最小值. ? 24 4 ?

解: (Ⅰ)

? ?? f ( x) ? 4 sin x cos? x ? ? ? 3 3? ?

7 / 15

?1 ? 3 ? 4sin x ? cos x ? sin x ? ?2 ?? 3 2 ? ? ? 2sin x cos x ? 2 3 sin 2 x ? 3 ? sin 2 x ? 3(1 ? cos 2 x) ? 3 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x π? ? ? 2sin ? 2 x ? ? 3? ?
所以函数 f ( x) 的最小正周期为 π ,



π? ? π f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? ? 0 ,所以 2 x ? ? kπ, k ? Z 3 3? ?
π π ? k ,k ?Z 6 2

所以函数 f ( x) 的零点是 x ? (Ⅱ)因为

π 3π π π 7π . ? x ? ,所以 ? ? 2 x ? ? 24 4 4 3 6 π π π 时,函数 f ( x) 的最小值为 - 2 ; ? ? ,即 x ? 3 4 24 π π 5π 时,函数 f ( x) 的最大值为 2. ? ,即 x ? 3 2 12

所以,当 2 x ?

当 2x ?

【立体几何部分】 如图, AC ? 2 ED , AC // 平面 EDB , AC ? 平面 BCD ,平面 ACDE ? 平面 ABC . (Ⅰ)求证: AC // ED ; (Ⅱ)求证: DC ? BC ; 解: (Ⅰ)因为 AC // 平面 EDB ,平面 ACDE I 平面

E

D

EDB = ED ,且 AC ? 平面 EDB ,
所以 AC // ED . (Ⅱ) 法 1: 因为 AC ? 平面 BCD , 所以 AC ? CD , 因为平面 ACDE ? 平面 ABC , 且平面 ACDE I 平 面 ABC =AC , CD ? 平面 ACDE , 所以 CD ? 平面 ABC , 所以 CD ? CB . (Ⅱ)法 2:因为 AC ? 平面 BCD ,所以 AC ? CD , AC ? CB , 因为平面 ACDE I 平面 ABC =AC , 所以 ?DCB 为二面角 D ? AC ? B 的平面角,
8 / 15

A B

C

又因为平面 ACDE ? 平面 ABC , 所以 ?DCB ? 90? ,即 CD ? CB . 【概率】 (文科)由于研究性学习的需要,中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定 20 名 成员每天行走的步数,其中某一天的数据记录如下: 5860 6520 7326 6798 7325 8430 8215 7453 7446 6754 7638 6834 6460 6830 9860 8753 9450 9860 7290 7850 对这 20 个数据按组距 1000 进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计图表: 步数分组统计表(设步数为 x) 组别 A B C D E 步数分组 5500≤x<6500 6500≤x<7500 7500≤x<8500 8500≤x<9500 9500≤x<10500 频数 2 10 m 2 n

(Ⅰ)写出 m,n 的值,若该“微信运动”团队共有 120 人,请估计该团队中一天行走步数 不少于 7500 步的人数;
2 (Ⅱ)记 C 组步数数据的平均数与方差分别为 v1 , s1 ,E 组步数数据的平均数与方差分别 2 2 2 为 v 2 , s2 ,试分别比较 v1 与 v 2 , s1 与 s2 的大小; (只需写出结论)

(Ⅲ)从上述 A ,E 两个组别的步数数据中任取 2 个数据,求这 2 个数据步数差的绝对值 大于 3000 步的概率. 解答: (Ⅰ)m=4,n=2,48 人;
2 2 (Ⅱ) v1 < v 2 , s1 > s2 ;

(Ⅲ)A 组两个数据为 5860,6460,E 组两个数据为 9860,9860 任取两个数据,可能的组合为(5860,6460)、(5860,9860)、(5860,9860)、 (6460,9860)、(6460,9860)、(9860,9860),共 6 种结果 记步数差的绝对值大于 3000 为事件 A A={(5860,9860)、(5860,9860)、(6460,9860)、(6460,9860)}共包括 4 种结果 所以 P( A) =
4 2 = . 6 3

【解析几何】
9 / 15

? x ? y ? 2 ? 0, ? 1.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0, 若 z ? x +my 的最小值是 ?5 ?5 x ? y ? 6 ? 0. ?

则实数 m 取值集合是 A ??4,6 ?
答案:B
? x ? 0, ? 2.已知 x, y 满足 ? y ? 0, 则 x2 ? y 的最大值为. ? x ? y ? 4, ?

B

? 7 ? ?? , 6? ? 4 ?

C ? ?4, ? ? D

? ?

7? 4?

7 ? ? ? ?4, ? , 6 ? 4 ? ?

答案: 16

3.已知圆 C 过点(1,0) , (0, 3 ) , (-3,0) ,则圆 C 的方程为________. 答案: (x+1)2+y2=4 (利用几何图形特征得出答案) x2 y 2 4.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线相互垂直,那么双曲线的离心率为. a b 答案: 2 5.若双曲线 答案: 5

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的斜率为 2,则离心率 e =_________ a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,椭圆 C 的右焦点 F 的坐标为 ( 3,0) ,短轴长为 2. a 2 b2 (I)求椭圆 C 的方程; (II)若点 P 为直线 x ? 4 上的一个动点, A , B 为椭圆的左、右顶点,直线 AP , BP 分别 与椭圆 C 的另一个交点分别为 M , N ,求证:直线 MN 恒过点 E (1,0) .
6.已知椭圆 C : 解: (I)由题意可得 b ? 1, a 2 ? b2 ? 3 , 解得 a 2 ? 4 , 所以椭圆 C 的方程为
2

x2 ? y2 ? 1 . 4

(II)由 x ? y 2 ? 1 可得椭圆的左、右顶点为 A(?2,0), B(2,0) . 4 设 P(4, m) , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则
AP : y ? m m ( x ? 2) , BP : y ? ( x ? 2) 6 2

10 / 15

m ? m2 18 ? 2m2 6m ? y ? ( x ? 2), 由? 可得 , y1 ? ( x ? 2)2 =4 ? x2 ,解得 x1 ? 6 2 9 ? m2 9 9?m 2 2 ? ? x ? 4y ? 4 m ? 2(m2 ? 1) ?2m ? y ? ( x ? 2), 由? 可得 m2 ( x ? 2)2 =4 ? x2 ,解得 x2 ? , y2 ? 2 2 1 ? m2 1? m 2 2 ? ? x ? 4y ? 4 y y 2m ?2m k ME ? 1 ? , k NE ? 2 ? 2 , k ME ? k NE x1 ? 1 3 ? m 2 x2 ? 1 m ? 3
所以 M , N , E 三点共线,即直线 MN 恒过点 E (1,0) . 另法:

m ? m2 18 ? 2m2 ? y ? ( x ? 2), 由? 可得 , ( x ? 2)2 =4 ? x2 ,解得 x1 ? 6 9 9 ? m2 2 2 ? ? x ? 4y ? 4 m ? 2(m2 ? 1) ? y ? ( x ? 2), 由? 可得 m2 ( x ? 2)2 =4 ? x2 ,解得 x2 ? , 2 1 ? m2 2 2 ? x ? 4 y ? 4 ?
k ME k NE 36 m2 ? 3 ? 2 2 y x ? 1 ( x1 ? 2)( x2 ? 1) ? 1? 2 ? ? 9 ? m 1? m 2 ?1 ?4 9 ? 3m y2 x1 ? 1 3( x2 ? 2)( x1 ? 1) 3? ? 2 1? m 9 ? m2

所以

所以 M , N , E 三点共线,即直线 MN 恒过点 E (1,0) .

7.如图,已知 F1 、 F2 是椭圆 G:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,直线 l: y ? k ( x ? 1) 经 a 2 b2

过左焦点 F1 ,且与椭圆 G 交于 A、B 两点,△ AB F2 的周长为 4 3 。 (Ⅰ)求椭圆 G 的标准方程; (Ⅱ)是否存在直线 l,使得△ AB F2 为等腰直角三角形?若存在,求出直线 l 的方程;若不 存在,请说明理由。

解: (Ⅰ)设椭圆 G 的半焦距为 c,因为直线 l 与 x 轴的交点为(-1,0),故 c=1. 又△ AB F2 的周长为 4 3 ,即 AB ? AF2 ? BF2 ? 4a ? 4 3 ,故 a= 3 . 所以, b2 ? a 2 ? c2 ? 3 ? 1 ? 2 。
11 / 15

x2 y 2 ? ?1. 3 2 注:本小题也可以用焦点和离心率作为条件,即将周长换离心率。 (Ⅱ)不存在。理由如下:
因此,椭圆 G 的标准方程为 先用反证法证明 AB 不可能为底边,即 AF2 ? BF2 。 由题意知 F2 (1,0) ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,假设 AF2 ? BF2 ,
2 则 ( x1 ? 1)2 ? y12 ? ( x2 ? 1)2 ? y2 ,



x12 y12 x2 y 2 2 ? ? 1 , 2 ? 2 ? 1 ,代入上式,消去 y12 , y2 ,得: 3 2 3 2

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ? 6) ? 0 。

因为直线 l 斜率存在,所以直线 l 不垂直于 x 轴,所以 x1 ? x2 ,故 x1 ? x2 ? 6 .

(与 x1 ? 3, x2 ? 3, x1 ? x2 ? 2 3 ? 6 矛盾)
? x2 y 2 ?1 ? ? 联立方程 ? 3 ,得: (3k 2 ? 2) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0 , 2 ? y ? k ( x ? 1) ?

所以 x1 ? x2 ? ?

6k 2 =6,矛盾。 3k 2 ? 2

故 AF2 ? BF2 。 再证明 AB 不可能为等腰直角三角形的直角腰. 假设△ AB F2 为等腰直角三角形,不妨设 A 为直角顶点. 设 AF1 ? m ,则 AF2 ? 2 3 ? m , 在△ A F1 F2 中,由勾股定理得: m2 ? (2 3 ? m)2 ? 4 ,此方程无解。 故不存在这样的等腰直角三角形。 注: 本题也可改为是否存在直角三角形?会简单一些。 改为是否存在等腰三角形则不易计算, 也可修改椭圆方程使存在等腰直角三角形。

【函数与导数】 1.已知函数 f ( x) ? (1)则 a ? 1 (2)函数 g ( x) ? f ( x) ?
2 的值域为_____. (?1,0) ? (0,1) x
12 / 15

ex ? a 为奇函数. ex ? 1

2.下列函数图象不是轴对称图形的是 A. y ?
1 x

B. y ? cos x, x ? ?0, 2? ? C. y ? x

D. y ? lg x

答案 C 3.如图,点 P 在平面上从点 A 出发,依次按照点 B、C、D、E、F、A 的顺序运动,其轨迹 为两段半径为 1 的圆弧和四条长度为 1, 且与坐标轴平行的线段.设从运动开始射线 OA 旋转 到射线 OP 时的旋转角为 ? .若点 P 的纵坐标 y 关于 ? 的函数为 f (? ) ,则函数 f (? ) 的图象 ( ) A. 关于直线 ? ? B. 关于直线 ? ?

?
4

成轴对称,关于坐标原点成中心对称;

3? 成轴对称,没有对称中心; 4 C. 没有对称轴,关于点 ( π, 0) 成中心对称;

D. 既没有对称轴,也没有对称中心. 解答:函数 f ( x) 的最小正周期为 2 π ,图象如下所示,故答案为 D.

y C B P A x

D

O

4. 已知曲线 C1 : y ? e x 与曲线 C2 : y ? ( x ? a)2 .若两个曲线在 交点处有相同的切线,则实数 a 的值为__________. 答案: a ? 2 ? ln 4

E

F

解析: y ' ? ex , y ' ? 2( x ? a) 设两曲线的公共点坐标为 ( x0 , y0 ) ,依据题意可得

? e x0 ? ( x0 ? a)2 , ? 消 e x0 可得 ( x0 ? a)2 ? 2( x0 ? a) ? 0 , ? x0 e ? 2( x ? a ), ? 0 ?
所以 x0 ? a ? 2 ,所以 e x0 ? 4 ,即 x0 ? ln 4 , 所以 a ? 2 ? ln 4 . 5. 已知函数 f ? x ? =(4 ? x)e (m 为确定的常数)相切? 解: f '( x) = (3 - x)e x - 2 , 设 g ( x) = (3 - x)e x- 2 ,则 g '( x) = (2 - x)e x - 2 ,可推得 g ( x) 极大值为 g (2) = 1 ,
13 / 15
x ?2

, 试判断是否存在 m 使得 y ? f ? x ? 与直线 3x ? 2 y ? m ? 0

所以 f '( x) = (3 - x)e x- 2 = 所以不存在 m 满足题意.

3 无解. 2

6.已知函数 f ( x) ? e x ( x2 ? ax ? a)(a ? R) (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 a ? ?1 ,判断 f ( x) 是否存在最小值,并说明理由. 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 R .

f '( x) ? ex [ x2 ? (a ? 2) x ? 2a] ? e x ( x ? 2)( x ? a)
令 f '( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2, x2 ? ?a 当 ? a ? ?2 ,即 a ? 2 时, f '( x) ? 0 恒成立, f ( x) 的单调增区间为 (??, ??) ,无单调减区间 当 ? a ? ?2 ,即 a ? 2 时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:
x
f '( x) f ( x)
(??, ?a)

?a

(? a, ?2)

+ ↗

0 极大值



?2 0 极小值

(?2, ??)

+ ↗

所以, f ( x) 的单调增区间为 (??, ?a) , (?2, ??) ,单调减区间为 (? a, ?2) 当 ? a ? ?2 ,即 a ? 2 时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:
x
f '( x) f ( x) (??, ?2)

+ ↗

?2 0 极大值

(?2, ? a )

?a

(?a, ??)



0 极小值

+ ↗

所以, f ( x) 的单调增区间为 (??, ?2) , (?a, ??) ,单调减区间为 (?2, ? a ) (Ⅱ) f ( x) 有最小值

? a ? ?1,? f ( x) ? e x ( x2 ? x ? 1)
令 f ( x) ? 0 得 x ? 当x? 当
1? 5 . 2

所以, f ( x) 有两个零点

1? 5 1? 5 或x? 时, f ( x) ? 0 2 2

1? 5 1? 5 ?x? 时, f ( x) ? 0 2 2

由(Ⅰ)可知, f ( x) 在 (??, ?2) , (1, ??) 上单调增,在 ( ?2,1) 上单调减,
? f ( x) 有最小值 f (1)

【创新试题】 某人第一天 8:00 从 A 地开车出发, 6 小时后到达 B 地,
14 / 15

第二天 8:00 从 B 地出发,沿原路 6 小时后返回 A 地。则在此过程中,以下说法中 ①一定存在某个位置 E,两天经过此地的时刻相同 ②一定存在某个时刻,两天中在此刻的速度相同 ③一定存在某一段路程 EF(不含 A、B) ,两天在此段内的平均速度相同。 (以上速度不考虑 方向) 正确说法的序号是______. 答案:①② 分析:这是一个原创题,起源于一个智力题,小和尚下山与上山,途中必有一点,两天都在 同一时刻经过。这就是本题第一个问题。此题贴近生活,叙述简单,考察学生运用数学知识 分析问题解决问题的能力,运用了数学建模思想,函数与方程思想,数形结合思想,对具体 问题进行抽象思维,符合北京高考命题思路与方向。 ①设函数 s(t)表示此人第一天距离 A 地的路程,则其是一个不减的函数,设函数 l(t)表示 此人第二天距离 A 地的路程,则其是一个不增的函数,其中 t 表示时间,s(t)、l(t)的定义 域都是【0,6】值域相同。同一坐标系画出 s(t)、l(t)的图像,必有一个交点,即两天中在 此刻经过此点(如图 1) ②画出两天的速度(自变量为时间 t)函数图像并求定 积分(即与 x 轴围城的面积) ,其几何意义就是路程,不 可能一个总在另一个下方。在交点处时刻,他们的速度 相等(如图 2) ③错误,是在某个路程函数 s(t)中, 过 f(x) 上一点作平 行于 x,y 轴的矩形,如果四个顶点都在曲线上,则意味 着速度的绝对值相等,(对角线就是割线,斜率就是平均 速度)但不是每种函数曲线都能成功, 图 3 显示可以,函数模型就是两个一次函数 图 4 显示不成功,可以构造函数模型为(这里假定时间

t ? (0, 6) AB 之间距离为 4)

?1 x, x ? (0, 2) ? ?2 s ( x) ? ? ? 3 x ? 1 , x ? [2, 6) ? ?4 2

??3x ? 4, x ? (0,1) ? l ( x) ? ? 1 ? ( x ? 6), x ? [1, 6) ? ? 5
在这个图像上经计算,找不到这样的矩形。

15 / 15


相关文章:
2017.5海淀高三数学查漏补缺题
2017.5海淀高三数学查漏补缺题_数学_高中教育_教育专区。海淀高三数学查漏补缺题 2017.5 说明: 个别题目有一定难度 ,个别题目方向有偏差,请谨慎选用! 1、 ...
2017海淀-高三数学查漏补缺题
2017海淀-高三数学查漏补缺题_数学_高中教育_教育专区。数学查漏补缺题 2017.5 说明: 个别题目有一定难度 ,个别题目方向有偏差,请谨慎选用! 1、 提供的题目...
2017,5海淀高三数学查漏补缺题(理)_图文
海淀高三数学查漏补缺题 2017.5 说明:个别题目有一定难度,个别题目方向有偏差,请谨慎选用! 1、 提供的题目并非一组试卷,小题(选、填)主要针对以前没有考到的...
2017,5海淀高三数学(文)查漏补缺题
2017,5海淀高三数学(文)查漏补缺题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2017,5海淀高三数学(文)查漏补缺题 数学查漏补缺题 2017.5 说明: 个别题目有一定难度...
2017海淀 高三生物查漏补缺题_图文
2017海淀 高三生物查漏补缺题_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2017海淀 高三生物查漏补缺题_数学_高中教育_教育专区。海淀区高三年级...
北京市海淀区2017届高三第二学期查漏补缺试题
北京市海淀区2017高三第二学期查漏补缺试题_数学_高中教育_教育专区。北京市海淀区2017高三第二学期查漏补缺试题 北京市海淀区 2017高三第二学期查漏补...
北京市海淀区2017届高三查漏补缺数学.doc
北京市海淀区2017届高三查漏补缺数学.doc_数学_高中教育_教育专区。高三 信息卷 海淀区 2017高三数学查漏补缺题 2017.5 1、 【集合与简易逻辑部分 】 ...
北京市海淀区2017届高三数学查漏补缺试题
北京市海淀区2017高三数学查漏补缺试题_数学_高中教育_教育专区。海淀区 2017高三数学查漏补缺题 2017.5 说明: 个别题目有一定难度 ,个别题目方向有偏差,...
北京市海淀区2017届高三查漏补缺数学含答案_图文
北京市海淀区2017届高三查漏补缺数学含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京市海淀区2017届高三查漏补缺数学含答案 海淀区 2017高三数学查漏补缺题 ...
2017年北京市海淀区高三查漏补缺化学试题及答案
2017年北京市海淀区高三查漏补缺化学试题及答案_数学_高中教育_教育专区。海淀区高三年级第二学期查漏补缺试题 化 2015.5 可能用到的相对原子质量:H 1 C 12 ...
更多相关标签: