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第1章 第3讲 逻辑联结词、全称量词与存在量词


精准高考

数 学
文理(合订)

第一章 集合与常用逻辑用语
第三讲 逻辑联结词、全称量词与存在量词

1 2
3 4 5 6

考 纲 解 读

知 识 梳 理 考 点 突 破
名 师 讲 坛 思 想 方 法 复 习 练 案

第一章 集合与常用逻辑用语

文 理 ( 合 订 )

数 学

考 纲 解 读

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第一章 集合与常用逻辑用语

考点展示

考查频率 ★☆☆☆☆ 5年1考

考纲要求 了解逻辑联结 词“或”且 “非”的含 义.

高考命题探究

逻辑联结词

文 理 ( 合 订 )

全称量词与 存在量词

★☆☆☆☆ 5年1考

1.内容探究:含有 “或”“且”“非”的复合命 题,全称命题、特称命题的真假 判断以及对含有一个量词的命题 (1)理解全称量 进行否定是高考的热点. 词、存在量词 2.形式探究:备考时应注意加 强对概念的理解,提升逻辑推理 的意义. (2)能正确地对 能力.由于本讲知识常与其他章 含有一个量词 节知识结合命题,因此还需加强 的命题进行否 其他章节知识的掌握,高考中多 以选择题或填空题的形式出现. 定.
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数 学

第一章 集合与常用逻辑用语

文 理 ( 合 订 )

数 学

知 识 梳 理

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第一章 集合与常用逻辑用语

知识点一 简单的逻辑联结词 1.逻辑联结词 “且”“或”“非”叫做逻辑联结词. 命题中,____________________
文 理 ( 合 订 )

2.命题p∧q,p∨q,?p的真假判断 p q p∧q 真 ____ 假 ____ 假 ____ p∨q 真 ____ 真 ____ 真 ____ 假 ____ ?p 假 ____ 真 ____

数 学

真 真 假 假

真 假 真 假

假 ____

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第一章 集合与常用逻辑用语

[拓展]
命题的否定与否命题的区别: (1)定义:命题的否定是直接对命题的结论进行否定,而否命题则是对原命
文 理 ( 合 订 )

题命题的否定,即命题“若p,则q”的否定为“若p,则?q”,而否命题为“若
?p,则?q”. (2)与原命题的真假关系:命题的否定的真假与原命题的真假总是相对的, 即一真一假,而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系.

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第一章 集合与常用逻辑用语

知识点二 全称量词与存在量词 1.全称量词与存在量词

全称量词 ,并用 (1)短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做__________
文 理 ( 合 订 )

? ”表示. 符号“____

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存在量词 ,并用 (2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做__________
? ”表示. 符号“____

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第一章 集合与常用逻辑用语

2.含有一个量词的命题及其否定 名称

形式
文 理 ( 合 订 )

全称命题 对M中任意一个x,有

特称命题 存在M中的一个x0使
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结构 简记 否定

p(x)成立 ?x∈M,p(x) ___________
___________ ?x0∈M ,?p(x0)

p(x0)成立
______________ ?x0∈M,p(x0) ___________ ?x∈M ,?p(x)

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第一章 集合与常用逻辑用语

[拓展] “一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的辨析 (1)一般命题的否定通常是保留条件否定结论,得到真假性完全相反的两个
文 理 ( 合 订 )

命题;含有一个量词的命题的否定,是在否定结论 p(x) 的同时,改变量词的属

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性,即将全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.
(2)与一般命题的否定相同,含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键 词的否定,因此,对含有一个量词的命题的否定,应根据命题所叙述对象的特 征,挖掘其中的量词.

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第一章 集合与常用逻辑用语

1.下列结论正确的个数为 导学号 30070081 ( A ) (1)(教材改编题)若 p∧q 为真,则 p∨q 必为真;反之,若 p∨q 为真,则 p∧q 必为真.
文 理 ( 合 订 )

(2)(教材改编题)命题“2≤2”可改写为“2<2 或 2=2”,是假命题. (3)命题“所有的质数都是奇数”含存在量词“所有的”,是一个特称命题, 并且是真命题. (4)命题“?x∈R,x2≥0”的否定是“?x0∈R,x2 0≥0”. A.0
[ 解析]

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B.1

C.2

D .3

(1)(2)(3)(4)都不正确,故选 A.
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第一章 集合与常用逻辑用语

2 . (2016· 枣 庄 模 拟 ) 如 果 命 题 “p ∨ q” 与 命 题 “? p” 都 是 真 命 题 , 则 导学号 30070082 ( A ) A.命题 q 一定是真命题
文 理 ( 合 订 )

B.命题 p 不一定是假命题 D.命题 p 与命题 q 真假相同

C.命题 q 不一定是真命题

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[ 解析] 题.

由 ?p是真命题,则 p 为假命题.又 p∨q是真命题,故 q 一定为真命

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第一章 集合与常用逻辑用语

3.命题“?x∈R,x2≠x”的否定是 导学号 30070083 ( D ) A.?x?R,x2≠x
文 理 ( 合 订 )

B.?x∈R,x2=x D.?x∈R,x2=x”
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C.?x?R,x2≠x
[ 解析 ]

(1) 将 “ ? ” 改为“ ? ” , “ x2≠x” 的否定为 “ x2 = x” ,即 ?p :

?x∈R,x2=x.

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第一章 集合与常用逻辑用语

4.已知命题 p:若 x>y,则-x<-y;命题 q:若 x>y,则 x2>y2.在命题①p∧q; ②p∨q;③p∧(? q);④(? p)∨q 中,真命题是 导学号 30070084 ( C ) A.①③
文 理 ( 合 订 )

B.①④

C.②③

D.②④

[解析]

由不等式的性质可知,命题p是真命题,命题q为假命题,故①p∧q

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为假命题,②p∨q为真命题,③?q为真命题,则p∧(?q)为真命题,④?p为假命

题,则(?p)∨q为假命题,所以选C.

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第一章 集合与常用逻辑用语

(2017· 吉林实验中学期中)已知 p:?a∈R,ea≥a+1,q:?α,β∈R,sin(α +β)=sinα+sinβ,则下列命题为真命题的是 导学号 30070085 ( C ) A.p∧(? q)
文 理 ( 合 订 )

B.(? p)∧q

C.p∧q

D.(? p)∧(? q)

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[ 解析] f′(x)<0

证 f(x)=ex-x-1,f′(x)=ex-1,当 x≥0 时,f′(x)≥0;当 x<0 时,

∴f(x)在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)递增 ∴fmax(x)=f(0)=0,∴ex-x-1≥0 即 ex≥x+1,∴p 真. π π 又 α=4,β=4时,sin(α+β)=sinα+sinβ ∴q 为真,∴p∧q 为真,故选 C.
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第一章 集合与常用逻辑用语

文 理 ( 合 订 )

考 点 突 破

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第一章 集合与常用逻辑用语

考点1 复合命题真假的判断
(1)(2016· 石家庄一模)命题 p: 若 sinx>siny, 则 x>y; 命题 q: x2+y2≥2xy. 下列命题为假命题的是 导学号 30070086 ( B ) A.p 或 q
文 理 ( 合 订 )

B.p 且 q

C.q

D.? p

(2)给定下列三个命题: p1:函数 y=ax+x(a>0,且 a≠1)在 R 上为增函数; p2;?a,b∈R,a2-ab+b2<0; p3:cosα=cosβ 成立的一个充分不必要条件是 a=2kπ+β(k∈Z). 则下列命题中的真命题为 导学号 30070087 ( D ) A.p1∨p2 B.p2∧p3 C.p1∨? p3 D .? p2∧p3
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第一章 集合与常用逻辑用语

[ 解析]

π 5π (1)取 x=3,y= 6 ,可知命题 p 不正确;由(x-y)2≥0 恒成立,可知

命题 q 正确,故? p 为真命题,p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题,故选 B.
文 理 ( 合 订 )

1 10 1 -1 (2)对于 p1:令 y=f(x),当 a=2时,f(0)=(2) +0=1,f(-1)=(2) -1=1, 1 2 3 2 所以 p1 为假命题;对于 p2:a -ab+b =(a-2b) +4b ≥0,所以 p2 为假命题;对
2 2

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于 p3:由 cosα=cosβ,可得 α=2kπ±β(k∈Z),所以 p3 是真命题,所以? p2∧p3 为真 命题,故选 D.

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第一章 集合与常用逻辑用语

﹝探究训练 1﹞
(1)在一次驾照考试中,甲、乙两位学员各试驾一次.设命题 p 是“甲试驾成 功”,q 是“乙试驾成功”,则命题“至少有一位学员没有试驾成功”可表示为 导学号 30070088 ( A )
文 理 ( 合 订 )

A.(? p)∨(? q)

B.p∨(? q)

C.(? p)∧(? q)

D.p∨q

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(2)(2016· 昆 明 模 拟 ) 已 知 命 题 p , q , “? p 为 真 ” 是 “p ∧ q 为 假 ” 的 导学号 30070089 ( A ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

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第一章 集合与常用逻辑用语

[ 解析]

(1)解法一:命题“至少有一位学员没有试驾成功 ”包含以下三种

情况:“甲、乙均没有试驾成功”甲试驾成功,乙没有试驾成功”“乙试加成 功,甲没有试驾成功”.选A. 解法二:命题“至少有一位学员没有试驾成功”等价于命题“甲、乙均试
文 理 ( 合 订 )

驾成功”的否定,即“p∧q”的否定.选A.

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(2) 因为?p 为真,所以p为假,那么 p∧q 为假,所以“?p为真”是“p∧q 为
假”的充分条件;反过来,若“p∧q为假”,则“p真q假”或“p假q真”或“p 假q假”,所以由“p∧q为假”不能推出“?p为真”.综上可知,“?p为真”是

“p∧q为假”的充分不必要条件.

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第一章 集合与常用逻辑用语

规律方法 ?

1.判断一个含有逻辑联结词的命题的真假的三个步骤 (1)判断复合命题的结构; (2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假;
文 理 ( 合 订 )

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(3)判断含有“或”、“且”、“非”的命题的真假判断方法,作出判断即
可.另如果直接判断困难可转化为逆否命题判断.

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第一章 集合与常用逻辑用语

2.含逻辑联结词命题真假的等价关系 (1)p∨q真?p,q至少一个真?(?p)∧(?q)假. (2)p∨q假?p,q均假?(?p)∧(?q)真.
文 理 ( 合 订 )

(3)p∧q真?p,q均真?(?p)∨(?q)假. (4)p∧q假?p,q至少一个假?(?p)∨(?q)真. (5)?p真?p假;?p假?p真.

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第一章 集合与常用逻辑用语

考点2 全称命题、特称命题
角度 1 全称命题、特称命题的真假判断 下列命题中,真命题是 导学号 30070090 ( A ) A.?m0∈R,使函数 f(x)=x2+m0x(x∈R)是偶函数
文 理 ( 合 订 )

B.?m0∈R,使函数 f(x)=x +m0x(x∈R)是奇函数 C.?m∈R,函数 f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数 D.?m∈R,函数 f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数

2

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[解析]

由于当m=0时,函数f(x)=x2+mx=x2为偶函数,故“?m0∈R,使

函数f(x)=x2+m0x(x∈R)为偶函数”是真命题.

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第一章 集合与常用逻辑用语

角度 2 全称命题、特称命题的否定 (2016· 浙江 ) 命题“ ? x ∈ R , ? n ∈ N* ,使得 n≥x2”的否定形式是 导学号 30070091 ( D ) A.?x∈R,?n∈N*,使得 n<x2
文 理 ( 合 订 )

B.?x∈R,?n∈N*,使得 n<x2 C.?x∈R,?n∈N*,使得 n<x2 D.?x∈R,?n∈N*,使得 n<x2

数 学

[解析] ?的否定是?,?的否定是?,n≥x2的否定是n<x2.故选D. [点评] 对于?x∈R,?n∈N*的否定把握不准,易错选B、C.

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第一章 集合与常用逻辑用语

﹝探究训练 2﹞
(1)(2016· 福建南平期中)下列命题中,假命题的是 导学号 30070092 ( B ) A.?x∈R,2x-1>0 C.?x∈R,x2-x+1>0
文 理 ( 合 订 )

B.?x∈R,sinx= 2 D.?x∈R,lgx=2
数 学

(2)(2016· 黑龙江哈师大附中模拟)设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数 集.若命题 p:?x∈A,2x∈B,则 导学号 30070093 ( D ) A.? p:?x∈A,2x?B C.? p:?x?A,2x∈B B.? p:?x?A,2x?B D.? p:?x∈A,2x?B

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第一章 集合与常用逻辑用语

[ 解析]

(1)由指数函数 y=2x 的图象与性质易知, ?x∈R,2x-1>0, 故选项 A 为

真命题; 由正弦函数的有界性知, -1≤sinx≤1, 所以不存在 x∈R, sinx= 2成立,
文 理 ( 合 订 )

12 3 故选项 B 为假命题.由 x -x+1=(x-2) +4>0,故选项 C 为真命题;由 lgx=2,
2

数 学

知 x=100,即?x∈R,lgx=2,故选项 D 为真命题.综上,应选 B. (2)因为全称命题的否定是特称命题,所以命题 p:?x∈A,2x∈B 的否定应为 ? p:?x∈A,2x?B.

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第一章 集合与常用逻辑用语

规律方法 ?

1.全称命题与特称命题真假的判断方法
命题名称 全称命题
文 理 ( 合 订 )

真假 真 假 真

判断方法一 所有对象使命题真 存在一个对象使命题假 存在一个对象使命题真

判断方法二 否定为假 否定为真 否定为假 否定为真
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假 所有对象使命题假 2 .全称命题与特称命题的否定 上量词,再对量词进行改写. (2)否定结论:对原命题的结论进行否定.

特称命题

(1)改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加

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第一章 集合与常用逻辑用语

考点3 由命题真假确定参数的取值范围
(2016· 东城月考)已知命题 P: 函数 y=loga(1-2x)在定义域上单调递 增;命题 Q:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对任意实数 x 恒成立.若 P∨Q 是假 命题,求实数 a 的取值范围. 导学号 30070094
文 理 ( 合 订 )

数 学

[ 解析]

命题 P:函数 y=loga(1-2x)在定义域上单调递增;

∴0<a<1. 又∵命题 Q:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对任意实数 x 恒成立;

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第一章 集合与常用逻辑用语

∴a=2

? ?a-2<0, 或? 2 ? Δ = 4 ? a - 2 ? +16?a-2?<0, ?
数 学

即-2<a≤2.
文 理 ( 合 订 )

若 P∨Q 为假命题,则 P 假 Q 假,命题 P 为假时,有 a≤0 或 a≥1;命题 Q 为假时,有 a≤-2 或 a>2,所以 P∨Q 为假时 a≤-2 或 a>2.

[答案] a≤-2或a>2

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第一章 集合与常用逻辑用语

﹝探究训练 3﹞
-2<a≤2 (1)在本例条件下,若 P∨Q 是真命题,则实数 a 的取值范围为___________. 0<a<1 (2)在本例条件下,若 P∧Q 为真命题,则实数 a 的取值范围为__________.
文 理 ( 合 订 )

a≤0或a≥1 (3)在本例条件下,若 P∧Q 为假命题,则实数 a 的取值范围为___________.
(4)在本例条件下,若 P∨Q 为真命题,P∧Q 为假命题,则实数 a 的取值范围

数 学

-2<a≤0或1≤a≤2 为_____________________. 导学号 30070095

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第一章 集合与常用逻辑用语

[ 解析 ]
2<a≤2.

(1) 因为 P∨Q 为假时,有 a≤ - 2 或 a>2 ,所以 P∨Q 为真时,有-

(2)若P∧Q为真,则P真Q真,所以a的取值范围0<a<1. (3)因P∧Q为真,有0<a<1,所以P∧Q为假,有a≤0或a≥1.
文 理 ( 合 订 )

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(4)若P∨Q为真,P∧Q为假,命题P和Q一真一假,若P真Q假,无解;若P

假Q真,有-2<a≤0或1≤a≤2.

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第一章 集合与常用逻辑用语

规律方法 ?

根据命题的真假性求参数的方法步骤 (1)求出当命题p,q为真命题时所含参数的取值范围; (2)判断命题p,q的真假性;
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(3)根据命题的真假情况,利用集合的交集和补集的运算,求解参数的取值
范围.

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第一章 集合与常用逻辑用语

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名 师 讲 坛

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第一章 集合与常用逻辑用语

方法思想——利用逻辑关系判断命题真假 (2016· 北京)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、 丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个 球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒,重复上述过程,直到袋中
文 理 ( 合 订 )

所有球都被放入盒中,则 导学号 30070096 ( B ) A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

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第一章 集合与常用逻辑用语

[解析]

若袋中有两个球,则红球、黑球各一个,若红球放在甲盒,则黑球

放在乙盒,丙盒中没有球,此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球,乙盒中黑球比丙 盒中红球多,故可排除A、D:若袋中有四个球,则红球、黑球各两个,若取出
文 理 ( 合 订 )

两个红球,则红球一个放在甲盒,余下一个放在乙盒,再取出余下的两个黑

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球,—个放在甲盒,则余下一个放在丙盒,所以甲盒中一红一黑,乙盒中一个红
球,丙盒中一个黑球,此时乙盒中红球比丙盒中红球多,排除C;故选B.

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第一章 集合与常用逻辑用语

[跟踪训练]
曾经在校园内发生过这样一件事:甲、乙、丙、丁四名同学在教室前的空地 上踢足球,忽然足球飞向了教室的一扇窗户,听到响声后,李主任走了过来,看 着一地碎玻璃,问道:“玻璃是谁打破的?”甲:是乙打破的;乙:不是我,是
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丁打破的;丙:肯定不是我打破的;丁:乙在撒谎.现有只知道有一个人说了真 丙 话,打破玻璃的是_________. 导学号 30070097

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[解析]

乙和丁的话是矛盾关系,即乙且丁为假,乙或丁为真,所以乙与丁

必有一真必有一假,则甲和丙说的都是假话,若乙说的正确,则丙说的就正
确,前后矛盾,故乙说的不正确,只有丁说的正确,所以甲、乙、丙说的都不 正确,故打破玻璃的人是丙.
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第一章 集合与常用逻辑用语

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思 想 方 法

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第一章 集合与常用逻辑用语

[方法技巧]

1.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命题,对照否定
结构去写,否定的规律是“改量词,否结论”. 2.不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判
文 理 ( 合 订 )

断其否定的真假. [易错防范]

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1.注意区分命题的否定与否命题的不同,
2.两种形式命题的否定 p或q的否定:非p且非q;p且q的否定:非p或非q.

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第一章 集合与常用逻辑用语

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