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高一上学期概念


? ()元素与集合的关系:属于( ?)和不属于(?) ?1 ? ? ? 2)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性 ?集合与元素 ( ? ? ( ? 3)集合的分类:按集合中元素的个数多少分为:有限集、无限集、空集 ? ? 4)集合的表示方法:列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法 ( ? ? ? ? ?子集:若x ? A ? x ? B,则A ? B,即

A是B的子集。 ? ? ? ? ?1、若集合A中有n个元素,则集合A的子集有2n 个,真子集有(2n -1)个。 ? ? ? ? ? ? ? ?2、任何一个集合是它本身的子集,即 A ? A ? ? 注 ? ? ? ?关系 ? ? ?3、对于集合A, B, C , 如果A ? B,且B ? C , 那么A ? C. ? ? ? ?4、空集是任何集合的(真)子集。 ? ? ? ? ? ?真子集:若A ? B且A ? B ? (即至少存在x0 ? B但x0 ? A),则A是B的真子集。 集合 ? ? ? ? ? ? ?集合相等:A ? B且A ? B ? A ? B ? ? ? ? ?集合与集合 ? ?定义:A ? B ? ? x / x ? A且x ? B? ? 交集 ? ? ? ? ? ? ?性质:A ? A ? A,A ? ? ? ?,A ? B ? B ? A,A ? B ? A, A ? B ? B,A ? B ? A ? B ? ? ? ? ? ?定义:A ? B ? ? x / x ? A或x ? B? ?并集 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?性质:A ? A ? A,A ? ? ? A,A ? B ? B ? A,A ? B ? A,A ? B ? B,A ? B ? A ? B ? ?运算 ? ? ? Card ( A ? B) ? Card ( A) ? Card ( B ) - Card ( A ? B ) ? ? ? ? ?定义:CU A ? ? x / x ? U 且x ? A? ? A ? ? ? ? ? ?补集 ?性质: ? (CU A) ? A ? ?, (CU A) ? A ? U,CU (CU A) ? A,CU ( A ? B ) ? (CU A) ? (CU B ), ? ? ? ? ? CU ( A ? B ) ? (CU A) ? (CU B ) ? ? ? ? ? ?

?映射定义:设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个元素x, 在集合B中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :? B为从集合A到集合B的一个映射 ? ? 传统定义:如果在某变化中有两个变量x , y , 并且对于x在某个范围内的每一个确定的值, ? 按照某个对应关系f , y 都有唯一确定的值和它对应。那么y 就是x的函数。记作y ? ?定义 ? ? 近代定义:函数是从一个数集到另一个数集的映射。 ? 定义域 ?函数及其表示 ?函数的三要素 ?值域 ? ? ? ?对应法则 ? ? ?解析法 ? ? ?函数的表示方法 ?列表法 ? ? 图象法 ? ? ? ?传统定义:在区间? a ,b ?上,若a ? x1? x2 ?b ,如f ( x1 )? f ( x2 ),则f ( x ) 在? a ,b ?上递增, ?a ,b ?是 ? ? ? 递增区间;如f ( x1 ) ? f ( x2 ),则f ( x ) 在? a ,b ?上递减, a ,b ?是的递减区间。 ? ? ? ?单调性?导数定义:在区间 a ,b 上,若f ( x )?0,则f ( x ) 在 a ,b 上递增, a ,b 是递增区间;如f ( x )?0 ? ? ? ? ? ? ? ? 则f ( x ) 在? a ,b ?上递减, ? a ,b ?是的递减区间。 ? ? ? ? ? ? ? ?最大值:设函数y ? f ( x )的定义域为I,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x?I,都有f ( x )? ? 函数 ? (2)存在x0?I,使得f ( x0 )? M。则称M 是函数y ? f ( x )的最大 函数的基本性质 ?最值? ?最小值:设函数y ? f ( x )的定义域为I,如果存在实数 ? N 满足:(1)对于任意的x?I,都有f ( x )? ? ? (2)存在x0?I,使得f ( x0 )? N。则称N 是函数y ? f ( x )的最小 ? ? ? ? ? ?(1) f ( ? x ) ?? f ( x ), x?定义域D,则f ( x ) 叫做奇函数,其图象关于原点对称。 ?奇偶性?( 2 ) f ( ? x ) ? f ( x ), x?定义域D,则f ( x ) 叫做偶函数,其图象关于y轴对称。 ? ? ? ? 奇偶函数的定义域关于原点对称 ?周期性:在函数f ( x )的定义域上恒有f ( x ?T )? f ( x )( T ? 0的常数 ) 则f ( x ) 叫做周期函数,T 为周期; ? ? T的最小正值叫做f ( x )的最小正周期,简称周期 ? ? ? ( ? 1)描点连线法:列表、描点、连线 ? ? ?向左平移? 个单位:y1? y , x1? a ? x? y ? f ( x ? a ) ? ? ? ?向右平移a个单位:y1? y , x1? a ? x? y ? f ( x ? a ) 平移变换 ? ? ?向上平移b个单位:x ? x , y ?b ? y? y ?b ? f ( x ) 1 1 ? ? ? ? ? ? ?向下平移b个单位:x1? x , y1?b ? y ? y ?b ? f ( x ) ? ? ?横坐标变换:把各点的横坐标x1缩短(当w?1时)或伸长(当 0? w?1时) ? ? ? ? 到原来的1 / w倍(纵坐标不变),即x1? wx? y ? f ( wx ) ? ?伸缩变换?纵坐标变换:把各点的纵坐标y 伸长(A?1) 或缩短( 0? A?1) 到原来的A倍 1 ? ? ? ?函数图象的画法 ? (横坐标不变), 即y1? y / A? y ? f ( x ) ? ? ? ? ( ? x ? x1?2 x0 x ?2 x0 ? x ? 2)变换法? ? 1 ?2 y0 ? y ? f ( 2 x0 ? x ) ? ? ?关于点 ( x0 , y0 ) 对称: ? ? y ? y1? 2 y0 ? y1? 2 y0 ? y ? ? ? x ? x1?2 x0 x ? 2 x0 ? x ?关于直线x ? x0对称: ? ? ?? 1 ? y ? f ( 2 x0 ? x ) ? ? y ? y1 y1? y ?对称变换? ? ? x ? x1 x ?x ? ? ?关于直线y ? y0对称: ? 1 ? 2 y0 ? y ? f ( x ) ? ? ? ? y1? y ? 2 y0 ? y1? 2 y0 ? y ? ? ? ? x1 ? ? 关于直线y ? x对称: ? y ? f ?1 ( x ) ?xy? ? ? ? y1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

一、函数的定义域的常用求法: 1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于 零; 4、 指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1; 5、 三角函数正切函数 y ? tan x 中

x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) ;余切函数 y ? cot x 中;6、如果函数是由实际意义确定的解析式,

应依据自变量的实际意义确定其取值范围。 二、函数的值域的常用求法: 1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、 直接法 三、函数单调性的常用结论: 1、若 f ( x), g ( x) 均为某区间上的增(减)函数,则 f ( x) ? g ( x) 在这个区间上也为 增(减)函数 2、若 f ( x ) 为增(减)函数,则 ? f ( x) 为减(增)函数 3、若 f ( x ) 与 g ( x) 的单调性相同,则 y ? f [ g ( x)] 是增函数;若 f ( x ) 与 g ( x) 的单 调性不同,则 y ? f [ g ( x)] 是减函数。 4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。 5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作 函数图象。 四、函数奇偶性的常用结论: 1、如果一个奇函数在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 ,如果一个函数 y ? f ( x) 既是 奇函数又是偶函数,则 f ( x) ? 0 (反之不成立) 2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。 4、两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那 么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。 5 、 若 函 数 f ( x) 的 定 义 域 关 于 原 点 对 称 , 则 f ( x) 可 以 表 示 为

1 1 f ( x) ? [ f ( x) ? f (? x)] ? [ f ( x) ? f (? x)] ,该式的特点是:右端为一个奇函数和一个偶 2 2
函数的和

表2

幂函数 y ? x? (? ? R)

??

p q

? ?0

0 ?? ?1

? ?1

? ?1

p为奇数 q为奇数

奇函 数

p为奇数 q为偶数

p为偶数 q为奇数

偶函 数

第一象限 性质

减函数

增函数

过定 点

(0, 1)

1.下列六个关系式,其中正确的有(

)

①{a,b}={b,a};②{a,b}?{b,a};③?={?};④{0}=?;⑤? {0};⑥0∈{0}. A.6 个 B.5 个 C.4 个 D.3 个及 3 个以下 解析:选 C.①②⑤⑥正确. 2.已知集合 A,B,若 A 不是 B 的子集,则下列命题中正确的是( ) A.对任意的 a∈A,都有 a?B B.对任意的 b∈B,都有 b∈A C.存在 a0,满足 a0∈A,a0?B D.存在 a0,满足 a0∈A,a0∈B 解析:选 C.A 不是 B 的子集,也就是说 A 中存在不是 B 中的元素,显然正是 C 选项要 表达的.对于 A 和 B 选项,取 A={1,2},B={2,3}可否定,对于 D 选项,取 A={1},B= {2,3}可否定. 3.设 A={x|1<x<2},B={x|x<a},若 A A.a≥2 B.a≤1 C.a≥1 D.a≤2 B,则 a 的取值范围是( )

解析:选 A.A={x|1<x<2},B={x|x<a},要使 A B,则应有 a≥2. 4.集合 M={x|x2-3x-a2+2=0,a∈R}的子集的个数为________. 解析:∵Δ=9-4(2-a2)=1+4a2>0,∴M 恒有 2 个元素,所以子集有 4 个. 答案:4 1.如果 A={x|x>-1},那么( )

A.0?A B.{0}∈A C.?∈A D.{0}?A 解析:选 D.A、B、C 的关系符号是错误的. 2.已知集合 A={x|-1<x<2},B={x|0<x<1},则( A.A>B B.A B

)

C.B A D.A?B 解析:选 C.利用数轴(图略)可看出 x∈B?x∈A,但 x∈A?x∈B 不成立. 3.定义 A-B={x|x∈A 且 x?B},若 A={1,3,5,7,9},B={2,3,5},则 A-B 等于( ) A.A B.B C.{2} D.{1,7,9} 解析:选 D.从定义可看出,元素在 A 中但是不能在 B 中,所以只能是 D. 4.以下共有 6 组集合. (1)A={(-5,3)},B={-5,3}; (2)M={1,-3},N={3,-1}; (3)M=?,N={0}; (4)M={π},N={3.1415}; (5)M={x|x 是小数},N={x|x 是实数}; (6)M={x|x2-3x+2=0},N={y|y2-3y+2=0}. 其中表示相等的集合有( ) A.2 组 B.3 组 C.4 组 D.5 组 解析:选 A.(5),(6)表示相等的集合,注意小数是实数,而实数也是小数. 5.定义集合间的一种运算“*”满足:A*B={ω|ω=xy(x+y),x∈A,y∈B}.若集合 A= {0,1},B={2,3},则 A*B 的子集的个数是( ) A.4 B.8 C.16 D.32 解析:选 B.在集合 A 和 B 中分别取出元素进行*的运算,有 0· 2· (0+2)=0· 3· (0+3)= 3 0,1· 2· (1+2)=6,1· 3· (1+3)=12,因此可知 A*B={0,6,12},因此其子集个数为 2 =8,选 B. 6.设 B={1,2},A={x|x?B},则 A 与 B 的关系是( ) A.A?B B.B?A C.A∈B D.B∈A 解析:选 D.∵B 的子集为{1},{2},{1,2},?, ∴A={x|x?B}={{1},{2},{1,2},?},∴B∈A. y 7.设 x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B={(x,y)| =1},则 A、B 间的关系为________. x 解析:在 A 中,(0,0)∈A,而(0,0)?B,故 B A. 答案:B A 8.设集合 A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且 A?B,则 a 的值为________. 解析:A?B,则 a2-a+1=3 或 a2-a+1=a,解得 a=2 或 a=-1 或 a=1,结合集合 元素的互异性,可确定 a=-1 或 a=2. 答案:-1 或 2 9.已知 A={x|x<-1 或 x>5},B={x|a≤x<a+4},若 A B,则实数 a 的取值范围 是________. 解析:作出数轴可得,要使 A B,则必须 a+4≤-1 或 a>5,解之得{a|a>5 或 a≤- 5}. 答案:{a|a>5 或 a≤-5} 10.已知集合 A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2},若 A=B,求 c 的值. ?a+b=ac ? 2 解:①若? 2 ,消去 b 得 a+ac -2ac=0, ? a + 2 b = ac ? 即 a(c2-2c+1)=0.

当 a=0 时,集合 B 中的三个元素相同,不满足集合中元素的互异性, 故 a≠0,c2-2c+1=0,即 c=1; 当 c=1 时,集合 B 中的三个元素也相同, ∴c=1 舍去,即此时无解. 2 ? ?a+b=ac ? ②若 ,消去 b 得 2ac2-ac-a=0, ?a+2b=ac ? 即 a(2c2-c-1)=0. ∵a≠0,∴2c2-c-1=0,即(c-1)(2c+1)=0. 1 又∵c≠1,∴c=- . 2 11.已知集合 A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}. (1)若 A B,求 a 的取值范围; (2)若 B?A,求 a 的取值范围. 解:(1)若 A B,由图可知,a>2.

(2)若 B?A,由图可知,1≤a≤2.

12.若集合 A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},且 B 解:A={x|x2+x-6=0}={-3,2}. ∵B A,∴mx+1=0 的解为-3 或 2 或无解. 当 mx+1=0 的解为-3 时, 1 由 m· (-3)+1=0,得 m= ; 3 当 mx+1=0 的解为 2 时, 1 由 m· 2+1=0,得 m=- ; 2 当 mx+1=0 无解时,m=0. 1 1 综上所述,m= 或 m=- 或 m=0. 3 2

A,求实数 m 的值.


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