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2016年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷(解析版)


2016 年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位 置上. 1. 2, 3, 4, 5}, A={1, 2}, B={2, 3, 4}, = 已知全集 U={1, 那么 A∪ (?UB) . 2 2.已知(a﹣i) =2i,其中 i 是虚数单位,那么实数 a= . 3.从某班抽取

5 名学生测量身高(单位:cm) ,得到的数据为 160,162,159,160,159, 2 则该组数据的方差 s = . 4.同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次,则至少有两枚硬币正面向上的概率 为 . 2 5.若双曲线 x +my2=1 过点(﹣ ,2) ,则该双曲线的虚轴长为 . 6.函数 f(x)= 的定义域为 .

7.某算法流程图如图所示,该程序运行后,若输出的 x=15,则实数 a 等





8.若 tanα= ,tan(α﹣β)=﹣ ,则 tan(β﹣2α)=



9.若直线 3x+4y﹣m=0 与圆 x2+y2+2x﹣4y+4=0 始终有公共点,则实数 m 的取值范围 是 . 10.设棱长为 a 的正方体的体积和表面积分别为 V1,S1,底面半径高均为 r 的圆锥的体积 和侧面积分别为 V2,S2,若 = ,则 的值为 .

11.已知函数 f(x)=x3+2x,若 f(1)+f(log

3)>0(a>0 且 a≠1) ,则实数 a 的取值

范围是 . 12. Sm=0, 设公差为 d (d 为奇数, 且 d>1) 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 Sm﹣1=﹣9, * 其中 m>3,且 m∈N ,则 an= . 2 13.已知函数 f(x)=x|x ﹣a|,若存在 x∈[1,2],使得 f(x)<2,则实数 a 的取值范围 是 .
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14.在平面直角坐标系 xOy 中,设点 A(1,0) ,B(0,1) ,C(a,b) ,D(c,d) ,若不 2 等式 ≥(m﹣2) ? +m( ? )?( ? )对任何实数 a,b,c,d 都成立,则 实数 m 的最大值是 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知向量 =(cosB,cosC) , =(4a ﹣b,c) ,且 ∥ . (1)求 cosC 的值; (2)若 c= ,△ABC 的面积 S= ,求 a,b 的值. AB,D 是 AB 的中点

16.在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CA=CB,AA1= (1)求证:BC1∥平面 A1CD;

(2)若点 P 在线段 BB1 上,且 BP= BB1,求证:AP⊥平面 A1CD.

17.某经销商计划销售一款新型的空气净化器,经市场凋研发现以下规律:当每台净化器的 利润为 x(单位:元,x>0)时,销售量 q(x) (单位:百台)与 x 的关系满足:若 x 不超 过 20,则 q(x)= ;若 x 大于或等于 180,则销售为零;当 20≤x≤180 时.q(x)=a

﹣b (a,b 为实常数) . (1)求函数 q(x)的表达式; (2)当 x 为多少时,总利润(单位:元)取得最大值,并求出该最大值. 18.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: =1(a>b>0)的左,右焦点分别是

F1,F2,右顶点、上顶点分别为 A,B,原点 O 到直线 AB 的距离等于 ab﹒ (1)若椭圆 C 的离心率等于 ,求椭圆 C 的方程;

(2)若过点(0,1)的直线 l 与椭圆有且只有一个公共点 P,且 P 在第二象限,直线 PF2 交 y 轴于点 Q﹒试判断以 PQ 为直径的圆与点 F1 的位置关系,并说明理由﹒ 19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=3,且对任意的正整数 n,都有 Sn+1=λSn+3n+1,其中 常数 λ>0.设 bn= (n∈N*)﹒
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(1)若 λ=3,求数列{bn}的通项公式; (2)若 λ≠1 且 λ≠3,设 cn=an+ (n∈N*) ,证明数列{cn}是等比数列;

(3)若对任意的正整数 n,都有 bn≤3,求实数 λ 的取值范围. 20.已知函数 f(x)=a?ex+x2﹣bx(a,b∈R,e=2.71828…是自然对数的底数) ,其导函数为 y=f′(x) . (1)设 a=﹣1,若函数 y=f(x)在 R 上是单调减函数,求 b 的取值范围; (2)设 b=0,若函数 y=f(x)在 R 上有且只有一个零点,求 a 的取值范围; (3)设 b=2,且 a≠0,点(m,n) (m,n∈R)是曲线 y=f(x)上的一个定点,是否存在 实数 x0(x0≠m) ,使得 f(x0)=f′( ) (x0﹣m)+n 成立?证明你的结论.

【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做两题,每小题 0 分,共计 20 分.请在答题卡 指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修 4-1:几何证明 选讲] 21.已知△ABC 内接于⊙O,BE 是⊙O 的直径,AD 是 BC 边上的高.求证:

BA?AC=BE?AD.

B.[选修 4-2:矩阵与变换] 22.已知变换 T 把平面上的点(3,﹣4) , (5,0)分别变换成(2,﹣1) , (﹣1,2) ,试求 变换 T 对应的矩阵 M. C.[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 过点 M(1,2) ,倾斜角为 ﹒以坐标原点 O 为极

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, B 两点, ρ=6cosθ﹒若直线 l 与圆 C 相交于 A, 点, 圆 C: 求 MA?MB 的值. D.[选修 4-5:不等式选讲] 24.设 x 为实数,求证: (x2+x+1)2≤3(x4+x2+1)﹒ 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 25.一个口袋中装有大小相同的 3 个白球和 1 个红球,从中有放回地摸球,每次摸出一个, 若有 3 次摸到红球即停止. (1)求恰好摸 4 次停止的概率; (2)记 4 次之内(含 4 次)摸到红球的次数为 X,求随机变量 X 的分布列.
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26.设实数 a1,a2,…,an 满足 a1+a2+…+an=0,且|a1|+|a2|+…+|an|≤1(n∈N*且 n≥2) , 令 bn= (n∈N*) .求证:|b1+b2+…+bn|≤ (n∈N*) .

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2016 年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位 置上. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={2,3,4},那么 A∪(?UB)= {1,2, 5} . 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】先求出 B 的补集,再求出其与 A 的并集,从而得到答案. 【解答】解:∵U={1,2,3,4,5},又 B={2,3,4}, ∴(CUB)={1,5}, 又 A={1,2},∴A∪(CUB)={1,2,5}. 故答案为:{1,2,5}. 2.已知(a﹣i)2=2i,其中 i 是虚数单位,那么实数 a= ﹣1 . 【考点】复数代数形式的混合运算. 【分析】直接化简方程,利用复数相等条件即可求解. 【解答】解:a2﹣2ai﹣1=a2﹣1﹣2ai=2i,a=﹣1 故答案为:﹣1 3.从某班抽取 5 名学生测量身高(单位:cm) ,得到的数据为 160,162,159,160,159, 则该组数据的方差 s2= .

【考点】极差、方差与标准差. 【分析】求出数据的平均数,从而求出方差即可. 【解答】解:数据 160,162,159,160,159 的平均数是:160, 则该组数据的方差 s2= (02+22+12+02+12)= , 故答案为: .

4.同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次,则至少有两枚硬币正面向上的概率为 . 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】由已知条件利用 n 次独立重复试验概率计算公式求解. 【解答】解:∵同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次, ∴至少有两枚硬币正面向上的概率为: p= 故答案为: .
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= .

5.若双曲线 x2+my2=1 过点(﹣ ,2) ,则该双曲线的虚轴长为 4 . 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据条件求出双曲线的标准方程即可得到结论. 【解答】解:∵双曲线 x2+my2=1 过点(﹣ ,2) , ∴2+4m=1,即 4m=﹣1, m=﹣ , 则双曲线的标准范围为 x2﹣ 则 b=2, 即双曲线的虚轴长 2b=4, 故答案为:4.

=1,

6.函数 f(x)=

的定义域为 (0,1)∪(1,2) .

【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】由对数式的真数大于 0,分式的分母不等于 0 联立不等式组求得答案. 【解答】解:要使原函数有意义,则 ,解得:0<x<2,且 x≠1.

∴函数 f(x)=

的定义域为: (0,1)∪(1,2) .

故答案为: (0,1)∪(1,2) . 7.某算法流程图如图所示,该程序运行后,若输出的 x=15,则实数 a 等于

1 .

【考点】程序框图.

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【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 x 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,即可解得 a 的值. 【解答】解:模拟执行程序,可得 n=1,x=a 满足条件 n≤3,执行循环体,x=2a+1,n=2 满足条件 n≤3,执行循环体,x=2(2a+1)+1=4a+3,n=3 满足条件 n≤3,执行循环体,x=2(4a+3)+1=8a+7,n=4 不满足条件 n≤3,退出循环,输出 x 的值为 15. 所以:8a+7=15,解得:a=1. 故答案为:1

8.若 tanα= ,tan(α﹣β)=﹣ ,则 tan(β﹣2α)= ﹣



【考点】两角和与差的正切函数. 【分析】根据题意,先有诱导公式可得 tan(β﹣2α)=﹣tan(2α﹣β) ,进而结合正切的和角 公式可得 tan(β﹣2α)=﹣tan(2α﹣β)=﹣tan[(α﹣β)+α]=﹣ 代入数据计算可得答案. 【解答】解:根据题意,tan(β﹣2α)=﹣tan(2α﹣β)=﹣tan[(α﹣β)+α]=﹣ ,

=﹣

=﹣ ;

故答案为:﹣ . 9. 若直线 3x+4y﹣m=0 与圆 x2+y2+2x﹣4y+4=0 始终有公共点, 则实数 m 的取值范围是 [0, 10] . 【考点】直线与圆的位置关系. 2) 2) 【分析】 圆 x2+y2+2x﹣4y+4=0 的圆心 (﹣1, , 半径 r=1, 求出圆心 (﹣1, 到直线 3x+4y 2 2 ﹣m=0 的距离 d,由直线 3x+4y﹣m=0 与圆 x +y +2x﹣4y+4=0 始终有公共点,得 d≤r,由 此能求出实数 m 的取值范围. 【解答】解:圆 x2+y2+2x﹣4y+4=0 的圆心(﹣1,2) ,半径 r= 圆心(﹣1,2)到直线 3x+4y﹣m=0 的距离 d= ∵直线 3x+4y﹣m=0 与圆 x2+y2+2x﹣4y+4=0 始终有公共点, ∴ , = , =1,

解得 0≤m≤10, ∴实数 m 的取值范围是[0,10]. 故答案为:[0,10].

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10.设棱长为 a 的正方体的体积和表面积分别为 V1,S1,底面半径高均为 r 的圆锥的体积 和侧面积分别为 V2,S2,若 = ,则 的值为 .

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】根据体积比得出 a 和 r 的关系,代入面积公式求出面积比即可. 【解答】解:圆锥的母线 l= V1=a3,S1=6a2,V2= ∵ = = = ,S2=πrl= r. πr2.

,∴a=r.



=

=



故答案为:



11.已知函数 f(x)=x3+2x,若 f(1)+f(log 范围是 (0,1)∪(3,+∞) . 【考点】函数的值.

3)>0(a>0 且 a≠1) ,则实数 a 的取值

=x3+2x 是奇函数, 【分析】 可判断函数 f (x) 且在 R 上是增函数, 从而化简 f (1) +f (log 3)>0 为 log 3>﹣1;从而解得.

【解答】解:∵函数 f(x)=x3+2x 是奇函数,且在 R 上是增函数, ∵f(1)+f(log ∴f(log ∴log 3)>0,

3)>﹣f(1)=f(﹣1) , 3>﹣1;

∴ >1 或 3<a; 即 a∈(0,1)∪(3,+∞) ; 故答案为: (0,1)∪(3,+∞) . 12. Sm=0, 设公差为 d (d 为奇数, 且 d>1) 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 Sm﹣1=﹣9, * 其中 m>3,且 m∈N ,则 an= 3n﹣12 . 【考点】等差数列的前 n 项和.

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【分析】Sm﹣1=﹣9,Sm=0,其中 m>3,可得: (m﹣1)a1+ ma1+ d=0,化为:d=

d=﹣9,

.由于 m>3,且 m∈N*,d 为奇数,且 d>1,通过分

类讨论验证即可得出. 【解答】解:∵Sm﹣1=﹣9,Sm=0,其中 m>3, ∴(m﹣1)a1+ ma1+ 可得:d= d=0, . d=﹣9,

∵m>3,且 m∈N*,d 为奇数,且 d>1, ∴d=3,m=7. ∴a1=﹣9. ∴an=﹣9+3(n﹣1)=3n﹣12. 故答案为:3n﹣12. 13.已知函数 f(x)=x|x2﹣a|,若存在 x∈[1,2],使得 f(x)<2,则实数 a 的取值范围 是 (﹣1,5) . 【考点】分段函数的应用. 【分析】由题意可得 f(x)<2 可得﹣2<x3﹣ax<2,即为﹣x2﹣ <﹣a<﹣x2+ ,等价 为(﹣x2﹣ )min<﹣a<(﹣x2+ )max,分别判断不等式左右两边函数的单调性,求得 最值,解不等式即可得到 a 的范围. 【解答】解:当 x∈[1,2]时,f(x)=|x3﹣ax|, 由 f(x)<2 可得﹣2<x3﹣ax<2, 即为﹣x2﹣ <﹣a<﹣x2+ , 设 g(x)=﹣x2﹣ ,导数为 g′(x)=﹣2x+ 当 x∈[1,2]时,g′(x)≤0, 即 g(x)递减,可得 g(x)min=﹣4﹣1=﹣5, 即有﹣a>﹣5,即 a<5; 设 h(x)=﹣x2+ ,导数为 g′(x)=﹣2x﹣ 当 x∈[1,2]时,h′(x)<0, 即 h(x)递减,可得 h(x)max=﹣1+2=1. 即有﹣a<1,即 a>﹣1. 综上可得,a 的范围是﹣1<a<5. 故答案为: (﹣1,5) . , ,

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14.在平面直角坐标系 xOy 中,设点 A(1,0) ,B(0,1) ,C(a,b) ,D(c,d) ,若不 2 等式 ≥(m﹣2) ? +m( ? )?( ? )对任何实数 a,b,c,d 都成立,则 实数 m 的最大值是 ﹣1 . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据条件可以求出向量 坐标运算便可求出 的坐标,从而进行向量数量积的 的值,这样将这些值代入 并整理便可得出 c2+a2+d2+b2≥m (ac+bd+bc) . 【解答】解:根据条件, , , 并整理得: c2+a2+d2+b2≥m(ac+bd+bc) , 2 2 2 2 即 c +a +d +b ﹣m(ac+bd+bc)≥0 恒成立,配方得: (a﹣ )2+(d﹣ )2+ (c2+b2﹣ )2≥0 满足, bc)≥0 恒成立, ,代入

有(a﹣

)2≥0, (d﹣ (c2+b2﹣

则要:

bc)≥0 恒成立,

则有:



解得﹣2≤m≤ ﹣1, 所以 m 最大值为 ﹣1. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知向量 =(cosB,cosC) , =(4a ﹣b,c) ,且 ∥ . (1)求 cosC 的值; (2)若 c= ,△ABC 的面积 S= ,求 a,b 的值.

【考点】余弦定理;正弦定理.

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【分析】 (1)利用向量平行的坐标表示,正弦定理可得 sinCcosB=(4sinA﹣sinB)cosC,利 用三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式可得 sinA=4sinAcosC,结合 sinA>0,即可解 得 cosC 的值. (2)由(1)结合同角三角函数基本关系式可求 sinC 的值,利用三角形面积公式 可解得 ab=2,结合余弦定理可求 a2+b2=4,从而解得 a,b 的值. 【解答】 (本题满分为 14 分) 解: (1)∵m∥n, ∴ccosB=(4a﹣b)cosC,… 由正弦定理,得 sinCcosB=(4sinA﹣sinB)cosC, 化简,得 sin(B+C)=4sinAcosC﹒… ∵A+B+C=π, ∴sinA=sin(B+C)﹒ 又∵A∈(0,π) , ∵sinA>0, ∴ . … , . ,

(2)∵C∈(0,π) , ∴ ∵ ∴ab=2﹒①… ∵ ,由余弦定理得



∴a2+b2=4,②… 由①②,得 a4﹣4a2+4=0,从而 a2=2, ∴ , ∴ . …

(舍负) ,

16.在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CA=CB,AA1= (1)求证:BC1∥平面 A1CD;

AB,D 是 AB 的中点

(2)若点 P 在线段 BB1 上,且 BP= BB1,求证:AP⊥平面 A1CD.

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【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【分析】 (1)连接 AC1,设与 CA1 交于 O 点,连接 OD,由 O 为 AC1 的中点,D 是 AB 的中点,可得 OD∥BC1,即可证明 BC1∥平面 A1CD. (2)由题意,取 A1B1 的中点 O,连接 OC1,OD,分别以 OC1,OA1,OD 为 x,y,z 轴 OC1=b, 建立空间直角坐标系, 设 OA1=a, 由题意可得各点坐标, 可求 =(0.﹣a,2 ) , =(0,﹣2a,﹣ ) ,由 ? =0, = 2 (b, ﹣a, ? ) ,

=0,即可

证明 AP⊥平面 A1CD. 【解答】证明: (1)如图,连接 AC1,设与 CA1 交于 O 点,连接 OD, ∴直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,O 为 AC1 的中点, ∵D 是 AB 的中点, ∴△ABC1 中,OD∥BC1, 又∵OD? 平面 A1CD, ∴BC1∥平面 A1CD. (2)由题意,取 A1B1 的中点 O,连接 OC1,OD,分别以 OC1,OA1,OD 为 x,y,z 轴 建立空间直角坐标系,设 OA1=a,OC1=b, 则:由题意可得各点坐标为:A1(0,a,0) ,C(b,0,2 a) ,D(0,0,2 ) ,P(0, ﹣a, 可得: 所以:由 ) ,A(0,a,2 =(b,﹣a,2 ? ) , ) , =(0.﹣a,2 ? ) , =(0,﹣2a,﹣ ) ,

=0,可得:AP⊥A1C,由

=0,可得:AP⊥A1D,

又:A1 C∩A1 D=A1, 所以:AP⊥平面 A1CD.

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17.某经销商计划销售一款新型的空气净化器,经市场凋研发现以下规律:当每台净化器的 利润为 x(单位:元,x>0)时,销售量 q(x) (单位:百台)与 x 的关系满足:若 x 不超 过 20,则 q(x)= ;若 x 大于或等于 180,则销售为零;当 20≤x≤180 时.q(x)=a

﹣b (a,b 为实常数) . (1)求函数 q(x)的表达式; (2)当 x 为多少时,总利润(单位:元)取得最大值,并求出该最大值. 【考点】函数解析式的求解及常用方法;函数的最值及其几何意义. 【分析】 (1)分段函数由题意知分界点处函数值相等得到 a,b (2)总利润为每台的利润乘以销售量,分段函数每段求最大值,最后选择一个最大的为分 段函数的最大值. 【解答】解: (1)由 x=20 和 x=180 时可以解得 a,b

∴a=90,b=3

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∴q(x)=

(2)设总利润为 W(x)

则 W(x)=

①当 x∈(0,20]时,W(x)=1260﹣ ②当 x∈[20,180]时,W(x)=90x﹣3x

为单调递增,最大值为 1200,此时 x=20 , (W(x) )′=90﹣

此时 x∈[20,80]时,W(x)单调递增.x∈[80,180]时,W(x)单调递减 ∴在 x=80 时取得最大为 240000 综上所述:x=80 时,总利润最大为 240000 元.

18.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的左,右焦点分别是

F1,F2,右顶点、上顶点分别为 A,B,原点 O 到直线 AB 的距离等于 ab﹒ (1)若椭圆 C 的离心率等于 ,求椭圆 C 的方程;

(2)若过点(0,1)的直线 l 与椭圆有且只有一个公共点 P,且 P 在第二象限,直线 PF2 交 y 轴于点 Q﹒试判断以 PQ 为直径的圆与点 F1 的位置关系,并说明理由﹒ 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)求得 A,B 的坐标,可得 AB 的方程,运用点到直线的距离公式和离心率公式, 解方程可得 a,b,进而得到椭圆方程; (2)点 F1 在以 PQ 为直径的圆上﹒由题意可得直线 l 与椭圆相切且 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为:y=kx+1,代入椭圆方程,运用判别式为 0,解得 k 的值,可得 P(﹣a2,b2) ,从 而可得直线 PF2 的方程,求得 Q 的坐标,可得向量 可得到结论. 【解答】解: (1)由题意得点 A(a,0) ,B(0,b) , 直线 AB 的方程为 ,即 ax+by﹣ab=0﹒ , 的坐标,求出数量积为 0,即

由题设,得 化简,得 a2+b2=1﹒①, 由 ,即为



,即 a2=3b2﹒②

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由①②,解得



可得椭圆 C 的方程为



(2)点 F1 在以 PQ 为直径的圆上﹒ 由题设,直线 l 与椭圆相切且 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为:y=kx+1, ,得(b2+a2k2)x2+2ka2x+a2﹣a2b2=0, (*)



则△=(2ka2)2﹣4(b2+a2k2) (a2﹣a2b2)=0, 化简,得 1﹣b2﹣a2k2=0,所以 ,

由点 P 在第二象限,可得 k=1, 把 k=1 代入方程(*) ,得 x2+2a2x+a4=0, 解得 x=﹣a2,从而 y=b2,所以 P(﹣a2,b2)﹒ 从而直线 PF2 的方程为: ,

令 x=0,得

,所以点



从而





从而

= 又 a2+b2=1,a2=b2+c2, ∴ ﹒



所以点 F1 在以 PQ 为直径的圆上﹒ 19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=3,且对任意的正整数 n,都有 Sn+1=λSn+3n+1,其中 常数 λ>0.设 bn= (n∈N*)﹒

(1)若 λ=3,求数列{bn}的通项公式;
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(2)若 λ≠1 且 λ≠3,设 cn=an+

(n∈N*) ,证明数列{cn}是等比数列;

(3)若对任意的正整数 n,都有 bn≤3,求实数 λ 的取值范围. 【考点】数列递推式;等比关系的确定. 【分析】 (1)利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出. (2)利用递推关系、等比数列的定义及其通项公式即可得出; (3)通过对 λ 分类讨论,利用数列的通项公式及其不等式的性质即可得出. 【解答】 (1)解:∵ ∴当 n≥2 时, 从而 又在 ∴ 当 λ=3 时, , ,n≥2,n∈N*﹒ 中,令 n=1,可得 ,n∈N*﹒ ,n∈N*, ,满足上式, ,n∈N*,

从而

,即



又 b1=1,所以数列{bn}是首项为 1,公差为 的等差数列, ∴ .

(2)证明:当 λ>0 且 λ≠3 且 λ≠1 时,

= 又 ∴{cn}是首项为 , ,公比为 λ 的等比数列, ﹒



(3)解:在(2)中,若 λ=1,则 cn=0 也适合,∴当 λ≠3 时,



从而由(1)和(2)可知:an=



当 λ=3 时,

,显然不满足条件,故 λ≠3.

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当 λ≠3 时, 若 λ>3 时, 若 0<λ<1 时, ∴只须

. ,bn<bn+1,n∈N*,bn∈[1,+∞) ,不符合,舍去. , ,bn>bn+1,n∈N*,且 bn>0.

即可,显然成立.故 0<λ<1 符合条件;

若 λ=1 时,bn=1,满足条件.故 λ=1 符合条件; 若 1<λ<3 时, ∵b1=1>0.故 于是 . . , ,从而 bn<bn+1,n∈N*, ,要使 bn≤3 成立,只须 即可.

综上所述,所求实数 λ 的范围是

20.已知函数 f(x)=a?ex+x2﹣bx(a,b∈R,e=2.71828…是自然对数的底数) ,其导函数为 y=f′(x) . (1)设 a=﹣1,若函数 y=f(x)在 R 上是单调减函数,求 b 的取值范围; (2)设 b=0,若函数 y=f(x)在 R 上有且只有一个零点,求 a 的取值范围; (3)设 b=2,且 a≠0,点(m,n) (m,n∈R)是曲线 y=f(x)上的一个定点,是否存在 实数 x0(x0≠m) ,使得 f(x0)=f′( ) (x0﹣m)+n 成立?证明你的结论.

【考点】利用导数研究函数的单调性;导数的运算. 【分析】 (1)求得 f(x)的导数,由题意可得 f′(x)≤0 恒成立,即为﹣b≤ex﹣2x,令 g (x)=ex﹣2x,求得导数,单调区间,可得极小值,且为最小值,即可得到 b 的范围; (2)求得 f(x)的解析式,令 f(x)=0,可得﹣a= ,设 h(x)= ,求得 h(x)的导

数和单调区间、极值,结合零点个数只有一个,即可得到 a 的范围; (3)假设存在实数 x0(x0≠m) ,使得 f(x0)=f′( 的导数, 化简整理可得 =e ) (x0﹣m)+n 成立.求得 f(x)

, 考虑函数 y=ex 的图象与 y=lnx 的图象关于直线

y=x 对称,上式可转化为

=

,设 t=

>1,上式即为 lnt=

,令

m(t)=lnt﹣

,t>1,求出导数,判断单调性即可判断不存在.

【解答】解: (1)函数 f(x)=﹣ex+x2﹣bx 的导数为 f′(x)=﹣ex+2x﹣b, 函数 y=f(x)在 R 上是单调减函数,可得 f′(x)≤0 恒成立,
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即为﹣b≤ex﹣2x,令 g(x)=ex﹣2x, g′(x)=ex﹣2,当 x>ln2 时,g′(x)>0,g(x)递增; 当 x<ln2 时,g′(x)<0,g(x)递减. 则 g(x)在 x=ln2 处取得极小值,且为最小值 2﹣2ln2, 即有﹣b≤2﹣2ln2,即 b≥2ln2﹣2, 则 b 的取值范围是[2ln2﹣2,+∞) ; x 2 (2)由 b=0,可得 f(x)=a?e +x , 令 f(x)=0,即有﹣a= ,

设 h(x)=

,h′(x)=



当 0<x<2 时,h′(x)<0,h(x)在(0,2)递减; 当 x>2 或 x<0 时,h′(x)>0,h(x)在(﹣∞,0) , (2,+∞)递增. 可得 h(x)在 x=2 处取得极大值 ,

且 h(x)>0,x→+∞,h(x)→0, 由题意函数 y=f(x)在 R 上有且只有一个零点, 则﹣a=0 或﹣a> 即为 a=0 或 a<﹣ , ,即 a 的取值范围是{0}∪(﹣∞,﹣ ) ;

(3)假设存在实数 x0(x0≠m) ,使得 f(x0)=f′( 函数 f(x)=a?ex+x2﹣bx 的导数为 f′(x)=aex+2x﹣b, 可得 a?ex0+x02﹣bx0=(ae 化简可得(x0﹣m) (

) (x0﹣m)+n 成立.

+x0+m﹣b) (x0﹣m)+a?em+m2﹣bm, +x0+m﹣b)=(ae +x0+m﹣b) (x0﹣m) ,

由 a≠0,x0≠m,可得

=e



上式的几何意义为函数 y=ex 图象上两点的斜率等于中点处的切线的斜率, 考虑函数 y=ex 的图象与 y=lnx 的图象关于直线 y=x 对称, 上式可转化为 = ,

设 x0>m>0,即有 lnx0﹣lnm=

,即 ln

=



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设 t=

>1,上式即为 lnt=



令 m(t)=lnt﹣

,t>1,则 m′(t)= ﹣

=

>0,

则 m(t)在(1,+∞)递增, 即有 m(t)>m(1)=0,则方程 lnt= 无实数解.

即有

=

不成立,



=e

不成立.

故不存在实数 x0(x0≠m) ,使得 f(x0)=f′(

) (x0﹣m)+n 成立.

【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做两题,每小题 0 分,共计 20 分.请在答题卡 指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修 4-1:几何证明 选讲] 21.已知△ABC 内接于⊙O,BE 是⊙O 的直径,AD 是 BC 边上的高.求证:

BA?AC=BE?AD.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】连结 AE.证明△BEA∽△ACD,可得 【解答】证明:连结 AE. ∵BE 是⊙O 的直径, ∴∠BAE=90°. ∴∠BAE=∠ADC. 又∵∠BEA=∠ACD, ∴△BEA∽△ACD. ∴ , … ,即可证明 BA?AC=BE?AD.

… … …

∴BA?AC=BE?AD.

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B.[选修 4-2:矩阵与变换] 22.已知变换 T 把平面上的点(3,﹣4) , (5,0)分别变换成(2,﹣1) , (﹣1,2) ,试求 变换 T 对应的矩阵 M. 【考点】几种特殊的矩阵变换. 【分析】先设出所求矩阵,利用待定系数法建立一个四元一次方程组,解方程组即可. 【解答】解:设 ,由题意,得 ,…





解得

.…







C.[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 过点 M(1,2) ,倾斜角为 ﹒以坐标原点 O 为极

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, B 两点, ρ=6cosθ﹒若直线 l 与圆 C 相交于 A, 点, 圆 C: 求 MA?MB 的值. 【考点】简单曲线的极坐标方程.

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【分析】直线 l 的参数方程为

为参数) ,圆 C:ρ=6cosθ,即 ρ2=6ρcosθ,把

ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,代入可得直角坐标方程﹒直线 l 的参数方程代入圆 C 的普通方程,利 用根与系数的关系、参数的意义即可得出.

【解答】解:直线 l 的参数方程为

为参数) ,

圆 C:ρ=6cosθ,即 ρ2=6ρcosθ,把 ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,代入可得直角坐标方程为: (x﹣3) 2 2 +y =9﹒ 直线 l 的参数方程代入圆 C 的普通方程,得 设该方程两根为 t1,t2,则 t1?t2=﹣1﹒ ∴MA?MB=|t1?t2|=1. D.[选修 4-5:不等式选讲] 24.设 x 为实数,求证: (x2+x+1)2≤3(x4+x2+1)﹒ 【考点】不等式的证明. 【分析】利用作差法得出右﹣左=2x4﹣2x3﹣2x+2,只需证明恒大于等于零即可. 【解答】证明:右﹣左=2x4﹣2x3﹣2x+2 =2(x﹣1) (x3﹣1)=2(x﹣1)2(x2+x+1) = , ,

所以(x2+x+1)2≤3(x4+x2+1)﹒ 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 25.一个口袋中装有大小相同的 3 个白球和 1 个红球,从中有放回地摸球,每次摸出一个, 若有 3 次摸到红球即停止. (1)求恰好摸 4 次停止的概率; (2)记 4 次之内(含 4 次)摸到红球的次数为 X,求随机变量 X 的分布列. 【考点】离散型随机变量及其分布列;古典概型及其概率计算公式. 【分析】 (1)设事件“恰好摸 4 次停止”的概率为 P,利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发 生 k 次的概率计算公式能求出恰好摸 4 次停止的概率. (2)由题意,得 X=0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出 X 的分布列. 【解答】解: (1)设事件“恰好摸 4 次停止”的概率为 P, 则 . …

(2)由题意,得 X=0,1,2,3, ,

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, , ,… ∴X 的分布列为 X 0 1 P … 26.设实数 a1,a2,…,an 满足 a1+a2+…+an=0,且|a1|+|a2|+…+|an|≤1(n∈N*且 n≥2) , 令 bn= (n∈N*) .求证:|b1+b2+…+bn|≤ (n∈N*) .

2

3

【考点】数学归纳法;数列递推式. 【分析】按照数学归纳法的证题步骤:先证明 n=2 时命题成立,再假设当 n=k 时结论成立, 去证明当 n=k+1 时,结论也成立,从而得出命题对任意 n≥2,n∈N*,等式都成立 【解答】证明: (1)当 n=2 时,a1=﹣a2, ∴2|a1|=|a1|+|a2|≤1,即 ∴ (2)假设当 n=k(k∈N*且 k≥2)时,结论成立, 即当 a1+a2+…+ak=0,且|a1|+|a2|+…+|ak|≤1 时, 有 . , ,即当 n=2 时,结论成立.

则当 n=k+1 时,由 a1+a2+…+ak+ak+1=0,且|a1|+|a2|+…+|ak+1|≤1, ∵2|ak+1|=|a1+a2+…+ak|+|ak+1|≤a1|+|a2|+…+|ak+1|≤1, ∴ ,

又∵a1+a2+…+ak﹣1+(ak+ak+1)=0,且|a1|+|a2|+…+|ak﹣1|+|ak+ak+1|≤|a1|+|a2|+…+|ak+1|≤ 1, 由假设可得 ∴ = = 即当 n=k+1 时,结论成立. 综上,由(1)和(2)可知,结论成立. , , , ,

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2016 年 8 月 27 日

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